专题04 全等三角形（16大基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题04 全等三角形 全等三角形的概念 1．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知，如图所示，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有（　　）对全等三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 全等三角形的性质 1． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 3． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   　） A． B． C． D． 5． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数为(　　) A．105° B．75° C．60° D．45° 6． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知：如图，≌，，，，．则的度数 ，的长 ． 7． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，，若，，则的长为 ．    8． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图， ，则 ， ；若，，则 ． 9． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）一个三角形的三边为3、4、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ． 10． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，． (1)求的长； (2)求证：． 11． （23-24八年级上·新疆省直辖县级单位·期中）如图，已知，，，，求，的度数． 13．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)当，时，求线段AE的长； (2)已知，，求与的度数． 用SSS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是（    ） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是(        ) A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 3．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，，求证：． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，，，A、D、B、F共线，且，求证：． 全等的性质和SSS综合 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，平面上有与，其中与相交于P点，如图，若，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN. 4． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点在一条直线上，． (1)求证：， (2)若，求的度数． 5． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 6． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D． 用SAS证明三角形全等 1． （23-24八年级上·新疆和田·期中）已知：如图，，点C，点F在 上，，．求证：． 2． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，，平分，求证：．    3． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）已知：如图，，求证：．    4． （23-24八年级上·新疆双河市·期中）已知：如图，OA＝OD，OB＝OC．求证：∠B＝∠C． 用SAS间接证明三角形全等 1． （23-24八年级上·新疆兵团·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 全等的性质和SAS综合 1． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 2． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 尺规作一个角等于已知角 1．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．（23-24八年级上·新疆兵团·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在作图过程中确定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）若用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．    用ASA（AAS）证明三角形全等 1．（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（    ） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　） A． B． C．≌ D．与互余 3．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，，，，，求证：． 证明：∵， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）. ∵， ∴ （ ）. 在和中， ∴． 4．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若求的长． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，． 求证：； 6．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 7．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证： 全等的性质和ASA（AAS）综合 1. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，，，，，BC=2cm，则等于（　　） A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，∠A=∠E， AC⊥BE，AB=EF，BE=18，CF=8，则AC= . 3. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图， (1)试判断线段与的关系，并说明理由． (2)证明． 4. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，和交于点O，，，求证：． 5．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在和中，，，，求证：．      6.（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD． 7．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，BE=0.8cm．求DE的长． 8．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，AB、CD相交于点O，△AOC≌△BOD，点E在AC上，EO的延长线交BD于点F．求证：O是EF的中点． 9.（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． (1)求证：； (2)若，求证：． 用HL证全等 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，O是∠BAC内一点，OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是(　　) A．HL B．SAS C．SSS D．ASA 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有 个．①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等． 4．（23-24八年级上·新疆和田·期中）有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    6．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD． 全等的性质和HL综合 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，点B、C、E、F在同一直线上，于点C，于点F，， 求证：．    2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：如图，相交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，是的平分线，，，垂足为F，且，求证：．    4．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知：如图，，，，，是垂足，．求证：    (1)； (2)． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，，，与交于点，．    (1)求证：； (2)已知：，求证：． 角平分线性质定理 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 2． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 3． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为(　　) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 4． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（ ） A．36 B．54 C．63 D．72 5． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，，D是上一点，于点E，平分，连接，若cm，则等于（    ）    A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 6． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直．若，，则的面积为 ． 8． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ．    9． （23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为 ． 10． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在中，是它的角平分线，且，垂足分别为E，F．求证：． 角平分线的判定定理 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ） A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且．求证：平分． 3． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，交于点O，．求证：．    4． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，．    (1)求证：； (2)连接，这时平分吗？请说明理由． 5． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，于E，于F，若，，    (1)求证：平分； (2)已知，，，求四边形的面积． 6． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 7． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：CE平分∠BCD； (2)求证：AD+BC=CD． 角平分线性质的实际应用 1．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    2．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 作角平分线(尺规作图) 1．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（    ） A．边角边，全等三角形对应角相等 B．角边角，全等三角形对应角相等 C．边边边，全等三角形对应角相等 D．斜边直角边，全等三角形对应角相等 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． (1)如图，下列操作中，作的平分线的正确顺序是___________（将序号按正确的顺序写在横线上） ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，在内，两弧交于点． ②以点为圆心，适当长为半径画弧．交于点，交于点． ③画射线，交于点． ④线段即为的一条角平分线． (2)上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的___________（判定方法）； (3)如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，图中与相等的角是___________；请你猜想与的数量关系，并说明理由． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，以A点为圆心，的长为半径画弧交于D点，分别以B，D点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E点，作射线，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 全等的性质和SAS综合 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，等边三角形中，，为内一点，且，为外一点，且，，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（填序号） ． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，是的中线，E，F 分别是和 延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②④⑤ 3． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中，，，，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，且，下列四个结论：①；②；③；④是等腰三角形，你认为正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明． 5． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 全等的性质和ASA（AAS）综合 1. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D． 2. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在RtAEB和RtAFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④ACN≌ABM．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. （23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E    (1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明： (2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系 4. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明． 5. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）问题背景： (1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．    拓展延伸： (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明． 实际应用： (3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标． 全等三角形综合问题 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，在中，点为的中点． 问题发现 如图①，若点分别是的中点，连接则线段与的数量关系是 ___ _，线段与的位置关系是 ___ _； 拓展探究 如图②，若点分别是上的点，且连接上述结论是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 解决问题 当点分别为延长线上的点，且连接直接写出的面积． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，，且满足. (1)于，交轴于，求点坐标； (2)过点作于，交于，若，求的长； (3)为第一象限一点，交轴于.在上截取，为的中点，求的度数. 角平分线的性质定理 11． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是角平分线，于点在边上，．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，求证：． 12． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有 （填写正确的序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形 全等三角形的概念 1．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知，如图所示，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有（　　）对全等三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等三角形的概念 【详解】△ACO和△ADO，△ADB和△ACB，△COB和△DOB全等， 故选C． 全等三角形的性质 1． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质可得，即可获得答案．本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】D 【知识点】判断命题真假、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补、全等三角形的性质 【分析】利用对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对顶角相等，正确，为真命题； B、直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； C、全等三角形对应边相等，所以周长也相等正确，为真命题； D、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题错误，为假命题； 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，难度不大． 4． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据三角形全等的性质可知，两个三角形全等，对应角相等，由三角形内角和减去已知角度即可得所求角度数． 【详解】解：因为图中两个三角形是两个全等的三角形，所以对应角相等，故， 故选：A． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和三角形内角和，熟记全等的性质是解题的关键，注意对应边所对的角为对应角，边角关系要找到对应的． 5． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数为(　　) A．105° B．75° C．60° D．45° 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】因为两三角形全等，对应边相等，对应角相等，根据全等三角形的性质进行求解即可求出. 【详解】∵两个三角形全等, ∴ 故选：B. 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的性质. 6． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知：如图，≌，，，，．则的度数 ，的长 ． 【答案】 /35度 6 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得，再根据得出答案，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的对应角相等得，得出答案． 【详解】∵≌， ∴，． ∵，， ∴， ∴. 故答案为：，6． 7． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，，若，，则的长为 ．    【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质，，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图， ，则 ， ；若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】 根据 ，可得其对应边对应角相等，即可得，，；由是公共角易证得，已知，，即可求得的度数． 【详解】 解： ， ，，； 是公共角 ，即， 已知，， ，． 故答案为：、、． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边． 9． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）一个三角形的三边为3、4、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ． 【答案】10 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质求出x，y，故可求解． 【详解】∵这两个三角形全等， ∴x=6，y=4 ∴x+y＝10 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应边相等． 10． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质、线段的和与差、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据可得，再根据线段的和差关系即可求解； （2）根据可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 11． （23-24八年级上·新疆省直辖县级单位·期中）如图，已知，，，，求，的度数． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理；先根据全等三角形的性质得到，进而可求出，即为，再根据三角形的内角和定理即可求解；熟练掌握全等三角形的性质是关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)当，时，求线段AE的长； (2)已知，，求与的度数． 【答案】(1)3 (2)， 【知识点】全等三角形的性质、线段的和与差、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； (2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 用SSS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是（    ） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】原来已经有两条边相等，垂下的射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等． 【详解】在△ADC和△ABC中 ∵ 所以△ADC≌△ABC（SSS） 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键． 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是(        ) A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【详解】试题解析：要利用“SSS”证明≌时，需 故选C. 3．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，，，A、D、B、F共线，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】先根据线段的和差得出，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 全等的性质和SSS综合 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，平面上有与，其中与相交于P点，如图，若，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题、全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】易证，由全等三角形的性质可知：，再根据已知条件和四边形的内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出． 2． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等. 【详解】解：在与中， 所以补充： 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键. 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN. 【答案】见解析． 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN． 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴AC＋BC＝BD＋BC， 即AB＝CD， ∵在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN（SSS）， ∴∠MBA＝∠D， ∴BM∥DN． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，此题难度一般． 4． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点在一条直线上，． (1)求证：， (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，再根据三角形的内角和为180度，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出． 5． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】根据得到，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 6． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】先连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，利用SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D． 【详解】证明：连接AC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠B=∠D． 用SAS证明三角形全等 1． （23-24八年级上·新疆和田·期中）已知：如图，，点C，点F在 上，，．求证：． 【答案】见详解 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查全等三角形的判定，现根据平行线的性质得到，再证明，由“”可证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 2． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，，平分，求证：．    【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、角平分线的有关计算 【分析】首先根据角平分线的定义得到 再利用定理便可证明其全等． 【详解】证明：平分 在和中， ， 【点睛】判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）已知：如图，，求证：．    【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据已知条件得出，结合已知即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4． （23-24八年级上·新疆双河市·期中）已知：如图，OA＝OD，OB＝OC．求证：∠B＝∠C． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由对顶角相等可得，利用即可证得，即有． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是找到图中的隐藏条件． 用SAS间接证明三角形全等 1． （23-24八年级上·新疆兵团·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵BE＝CF，            ∴BE＋EC＝CF＋EC．             即 ∴BC＝EF． 又∵ABDE，            ∴∠B＝∠1.    在△ABC和△DEF中， ∴△ABC ≌△DEF（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 全等的性质和SAS综合 1． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行 【分析】根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查了1．全等三角形的的判定和性质；2．平行线的判定． 2． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 【答案】证明见解析. 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【详解】证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 尺规作一个角等于已知角 1．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查的是作图基本作图，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．由作法易得，，，利用得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ， ． 故选：D 2．（23-24八年级上·新疆兵团·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在作图过程中确定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据尺规作图的过程判断三角形全等即可得结论． 【详解】解：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧交、于点C、D， （2）以点为圆心，长为半径画弧交于点， （3）以点为圆心，长为半径画弧交前弧于点， （4）连接并延长到， 则． 理由：连接、，由作图可知： 有，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是准确进行作图． 3．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）若用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．利用基本作图和作图痕迹得到，则根据“”可判断，从而得到． 【详解】解：作一个角等于已知角如图，由作图痕迹得， 所以， 所以． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．    【答案】/边边边 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果． 【详解】解：如图，由作图可知：    ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键． 用ASA（AAS）证明三角形全等 1．（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（    ） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“”来配一块一样的玻璃． 【详解】解：③中含原三角形的两角及夹边，根据“”，能够唯一确定三角形．其它两个不行． 故选：A． 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　） A． B． C．≌ D．与互余 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】利用同角的余角相等求出∠A=∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答． 【详解】解：∵∠B=∠E=90°， ∴∠A+∠1=90°，∠D+∠2=90°， ∵AC⊥CD， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠A=∠2，故B正确； ∴∠A+∠D=90°，故D正确； 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确； ∴AB=CE，DE=BC， ∴BE=AB+DE，故A错误． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2是解题关键． 3．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，，，，，求证：． 证明：∵， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）. ∵， ∴ （ ）. 在和中， ∴． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定，平行线性质，邻补角互补，根据邻补角及平行线得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴ (邻补角的性质)， 又∵， ∴ (等量代换)， ∵， ∴ (两直线平行,内错角相等)， 在和中， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法（即）和性质（即全等三角形的对应边相等）． （1）由条件证明即可求得； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的长和差可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，． 求证：； 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后得到，最后证明即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴在和中 ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 6．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 【答案】证明见详解． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论. 【详解】证明：在△ABE和△ACD中， ∵, △ABE≌△ACD (ASA)， ∴AE=AD， ∴BD=AB–AD=AC-AE=CE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 7．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证： 【答案】见解析. 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE． 【详解】证明：∵FC∥AB ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F 所以在△ADE与△CFE中： , ∴△ADE≌△CFE. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握是解题的关键. 全等的性质和ASA（AAS）综合 1. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，，，，，BC=2cm，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了（角、角、边）判定，全等三角形对应边相等性质，证，利用性质得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ∵在与中， ， ， ，， ， 故选：B． 2. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，∠A=∠E， AC⊥BE，AB=EF，BE=18，CF=8，则AC= . 【答案】10 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据垂直的定义求出∠ACB=∠ECF=90°，然后利用“角角边”证明△ABC和△EFC全等，再根据全等三角形对应边相等可得AC=CE，BC=CF，然后根据CE=BE-BC代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵AC⊥BE， ∴∠ACB=∠ECF=90°， 在△ABC和△EFC中， ， ∴△ABC≌△EFC(AAS)， ∴AC=CE，BC=CF=8， ∵CE=BE−BC=18−8=10， ∴AC=10 故答案为10． 【点睛】本题考查了全等三角的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 3. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图， (1)试判断线段与的关系，并说明理由． (2)证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由平行线的性质得到，进而利用证明即可证明； （2）由可得，进而可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 4. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，和交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，利用直接证明三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：在与中， ∵，，， ∴． 5．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在和中，，，，求证：．      【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明，即可证明； 【详解】， ， ， 在 与中， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 6.（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】求出∠B=∠D，根据AAS证△ABC≌△ADC，即可推出结论． 【详解】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B=∠D=90°， ∵在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB=AD． 7．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，BE=0.8cm．求DE的长． 【答案】1.7 cm 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明△BCE≌△CAD，得BE=CD=0.8，CE=AD=2.5，然后根据线段和差定义即可解决． 【详解】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠E=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠BCE=∠CAD， ∴△BCE≌△CAD， ∴CD=BE=0.8cm，CE=AD=2.5cm， ∴DE=CD-CE=2.5-0.8=1.7 cm． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 8．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，AB、CD相交于点O，△AOC≌△BOD，点E在AC上，EO的延长线交BD于点F．求证：O是EF的中点． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由题意易得∠A＝∠B，OA＝OB，进而可证△AEO≌△BFO，然后问题可求． 【详解】证明：∵△AOC≌△BOD， ∴∠A＝∠B，OA＝OB， 在△AEO与△BFO中， ， ∴△AEO≌△BFO（ASA）， ∴OE＝OF， 即O是EF的中点． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 9.（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 用HL证全等 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，O是∠BAC内一点，OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是(　　) A．HL B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】由OE⊥AB，OF⊥AC，可知△AEO和△AFO是直角三角形，利用HL证明△AEO≌△AFO即可得出答案． 【详解】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO=∠AFO=90°， 又∵OE=OF，AO为公共边， ∴△AEO≌△AFO． 故选A． 【点睛】本题考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形． 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有 个．①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等． 【答案】3 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】根据已知及直角三角形全等的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】①两条直角边对应相等，利用SAS，故本选项正确； ②斜边和一锐角对应相等，符合判定AAS或ASA，故本选项正确； ③斜边和一条直角边对应相等，符合判定HL； ④面积相等不一定全等，故本选项错误． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 4．（23-24八年级上·新疆和田·期中）有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”． 【答案】 斜边 直角边 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等直角三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“”． 故答案为：斜边，直角边，． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--，熟记定理内容是解题关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ 6．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD． 【答案】证明见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】由题意可知和都为直角三角形，即可直接利用“HL”证明． 【详解】证明：∵AD是的高， ∴，即和都为直角三角形． ∴在和中 ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键． 全等的性质和HL综合 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，点B、C、E、F在同一直线上，于点C，于点F，， 求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据即可证明，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：如图，相交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）证明 ，根据全等三角形对应边相等即可得到结论； （2）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可得到答案． 此题考查了直角三角形全等的判定和性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：∵是的外角，，， ∴． 3．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，是的平分线，，，垂足为F，且，求证：．    【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先由“两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”求得，可得，再由“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”求得，可得即可证明； 【详解】证明：∵是的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知：如图，，，，，是垂足，．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题； （1）由可得，进而得出对应线段、对应角相等，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 在和中， ，， ， ； （2）由（1）中， 可得， ． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，，，与交于点，．    (1)求证：； (2)已知：，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）利用定理得出； （2）即可得出，再利用含30度角的直角三角形得出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出是解题关键． 角平分线性质定理 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线性质定理及证明 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 2． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、三角形三边关系的应用 【分析】过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系求解． 【详解】解：过点作于，于，于，如图， 是的三条角平分线的交点， ， ，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握解平分线的性质是解题的关键． 3． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为(　　) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质；先利用基本作图得到平分，然后根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】解：由作法得平分， 过作于， ， ， ， ∴的面积 故选：C． 4． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（ ） A．36 B．54 C．63 D．72 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【详解】试题解析：过E作EF⊥BC于F， ∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=8， ∴DE=EF=8， ∵BC=18， ∴×BC×EF=×18×8=72， 故选D． 5． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，，D是上一点，于点E，平分，连接，若cm，则等于（    ）    A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质，得到，得到，即可得解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 6． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】作DH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理得出CD=DH，代入求出即可． 【详解】解：如图，作DH⊥AB于H． ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD=DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵CD=10， ∴DH=10，即点D到AB的距离是10． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 7． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直．若，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点P作于E， ∵，过点P且与垂直．， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ， 故答案为：． 8． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ．    【答案】7 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 9． （23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理、垂线段最短 【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小， 当PM⊥OC时， 又∵OP平分∠AOC，，， ∴PM=PD=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 10． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在中，是它的角平分线，且，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明． 角平分线的判定定理 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ） A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【详解】试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E． ∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3． 又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5． 故选A． 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的判定定理、用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的判定定理，解题的关键是先运用证明，然后利用角平分线的判定定理得到结论． 【详解】证明：∵D是的中点， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 3． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，交于点O，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定．熟练掌握角平分线的判定是解题的关键． 证明，则，由，可知平分，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 4． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，．    (1)求证：； (2)连接，这时平分吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)平分，理由见解析． 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（）由于是的中点，那么，利用易证，可得； （）利用角平分线的判定定理可知点在的平分线上，即可证平分． 【详解】（1）∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴； （2）平分，理由如下：    ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【点睛】此题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键在于对知识的灵活运用． 5． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，于E，于F，若，，    (1)求证：平分； (2)已知，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)52 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据角平分线的判定方法即可证明平分． （2）先根据证明，则可得，由此得，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明： ∵，，     ， 在和中 ， ， ， ∴平分． （2）∵在和中 ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，定理及用割补法求四边形的面积．熟练掌握以上知识是解题的关键． 6． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，由角平分线的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 7． （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：CE平分∠BCD； (2)求证：AD+BC=CD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明； （2）只要证明△DEA≌△DEM得AD＝DM，同理可证CB＝CM．即可得结论． 【详解】（1）证明：如图，作EM⊥CD垂足为M， ∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD， ∴AE＝EM， ∵AE＝EB， ∴EM＝EB， ∵EB⊥BC，EM⊥CD， ∴EC平分∠BCD． （2）证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB， 在Rt△DEA和Rt△DEM中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL）， ∴DA＝DM， 同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL）， ∴CB＝CM， ∴CD＝DM+MC＝AD+BC． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． 角平分线性质的实际应用 1．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 2．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等． 【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置． 【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作角平分线(尺规作图) 1．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（    ） A．边角边，全等三角形对应角相等 B．角边角，全等三角形对应角相等 C．边边边，全等三角形对应角相等 D．斜边直角边，全等三角形对应角相等 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】结合题意，根据角平分线尺规作图、全等三角形的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：， 在和中 ∴ ∴，即 ∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图、全等三角形的性质，从而完成求解． 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． (1)如图，下列操作中，作的平分线的正确顺序是___________（将序号按正确的顺序写在横线上） ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，在内，两弧交于点． ②以点为圆心，适当长为半径画弧．交于点，交于点． ③画射线，交于点． ④线段即为的一条角平分线． (2)上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的___________（判定方法）； (3)如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，图中与相等的角是___________；请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)②①③④ (2) (3)；，理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）连接，然后根据全等三角形的判定定理解答即可； （3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可找到与相等的角；在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③④； 故答案为：②①③④； （2）如图：连接， 由作图可知：， 又， ∴ 故答案为； （3）∵， ∴， ∵的平分线与平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、与角平分线有关的三角形的内角和定理，以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，以A点为圆心，的长为半径画弧交于D点，分别以B，D点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E点，作射线，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由作图知是的平分线，，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形的外角性质即可求解. 【详解】（1）证明：由作图知是的平分线，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和三角形的外角性质． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线性质的实际应用 【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等． 【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置． 【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 全等的性质和SAS综合 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，等边三角形中，，为内一点，且，为外一点，且，，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（填序号） ． 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，证≌得出；再证≌，得出；其他两个条件运用假设成立推出答案即可． 【详解】解：连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 由此得出正确． ， ， ，， 设， ， ， ， 在中三角的和为， ， ， ，这时是边上的中垂线，结论错误． 边上的高， ，结论正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，是的中线，E，F 分别是和 延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②④⑤ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积、内错角相等两直线平行 【分析】根据三角形的中线，等底等高的三角形面积相等即可判断出①正确；根据三角形的中线得，即不一定和相等，则②错误；利用边角边可证明，可判断出③正确；根据全等三角形的性质得，则，可判断出④正确，⑤错误，即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等， 故①正确； ∵是的中线， ∴， ∴不一定和相等，否则可以证明， 故②错误； 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵， ∴， 条件不足，无法证明， 故⑤错误； 综上，①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了中线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 3． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中，，，，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，且，下列四个结论：①；②；③；④是等腰三角形，你认为正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】①根据AD⊥BC，若∠ABC=45°则∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明显不成立； ②③可以通过证明△AEH与△CEB全等得到； ④CE⊥AB，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形． 【详解】解：①假设∠ABC=45°成立， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD=45°， 又∠BAC=45°， 矛盾，所以∠ABC=45°不成立，故本选项错误； ∵CE⊥AB，∠BAC=45度， ∴AE=EC， 在△AEH和△CEB中， ， ∴△AEH≌△CEB（SAS）， ∴AH=BC，故选项②正确； 又EC-EH=CH， ∴AE-EH=CH，故选项③正确． ∵AE=CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故选项④正确． ∴②③④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要利用全等三角形的对应边相等进行证明，找出相等的对应边后，注意线段之间的和差关系． 4． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得． （2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ． （2），，理由如下： 由（1）知，， ； ， ， ， ， ， 则． 5． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴， 解得； 综上所述，存在或使得与全等； 全等的性质和ASA（AAS）综合 1. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 首先作于,作交的延长线于.根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积． 【详解】解：作于,作交的延长线于 ， 在和中， 的高即为, 故选：A． 2. （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在RtAEB和RtAFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④ACN≌ABM．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】只要证明△ABE≌△ACF，△ACN≌△ABM即可判断． 【详解】解：∵∠EAC＝∠FAB， ∴∠EAB＝∠CAF， 在△ABE和△ACF， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴∠B＝∠C．AE＝AF， 故①正确； 由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB； 在△ACN和△ABM， ， ∴△ACN≌△ABM（ASA）， 故④正确； ∴AN＝AM． ∵AC＝AB， ∴CM＝BN， 故③正确； 由于条件不足，无法证得②CD＝DN； 综上所述，正确的结论是①③④，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 3. （23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E    (1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明： (2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握利用证明三角形全等是解本题的关键． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由，可得， 证明，可得，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，； 理由：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， .∴． 4. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①根据余角的性质易证得，已知，，根据全等三角形的判定“”即可证明， ②根据全等三角形的性质，各边的相等关系即可得； （2）同理可证得，再根据各边的相等关系可得． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； （2），证明如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，利用角度的等量转换得到，通过全等三角形的性质进行线段的转换是解题的关键． 5. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）问题背景： (1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．    拓展延伸： (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明． 实际应用： (3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)数量关系DE=BD＋CE，理由见解析 (3)点B的坐标为 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据等腰三角形性质可以得到，，再用角度等量代换，可以证得，从而证得≌，得到，，用等量代换证得结论． （2）同问题1，也可以证明≌，得到，，用等量代换证得结论DE=BD＋CE； （3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，然后根据上述结论可以直接写出B点坐标为 ． 【详解】（1）证明：∵⊥直线m，直线m， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， 即：． （2）解：数量关系． 理由如下： 在中，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴； （3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌， ， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题考查了三角形全等的运用，利用三角形的全等来解决几何问题，找到对应边，合理利用等量代换是解题的关键． 全等三角形综合问题 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，在中，点为的中点． 问题发现 如图①，若点分别是的中点，连接则线段与的数量关系是 ___ _，线段与的位置关系是 ___ _； 拓展探究 如图②，若点分别是上的点，且连接上述结论是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 解决问题 当点分别为延长线上的点，且连接直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）结论成立，，证明见解析；（3）10 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】(1)利用三角形中位线的性质，先证明四边形EFDB和四边形EFCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得到答案； (2) 连接，证，根据即可算出答案； (3) 连接，求出，根据三角形的面积公式即可得到答案； 【详解】解：， 证明：若点分别是的中点， 则EF是三角形ABC的中位线， 又∵点为的中点， ∴,, ∴四边形EFDB和四边形EFCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴∠EFD=∠B=45°，∠FED=∠C=45°（平行四边形对角相等）， ∴， ∴∠EDF=180°-45°-45°=90°， ∴； (2)结论成立， 证明：如解图①，连接 ，点为的中点， 且平分 在和中， ， ， 即 即； (3)三角形的面积为． 如解图②，连接 为等腰三角形， ，点为的中点， 又 ， 为等腰直角三角形． 在中， ； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定定理，综合性较强，需要理解并掌握相关知识点，结合图形并分类讨论，灵活运用所学知识是解题的关键； 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，，且满足. (1)于，交轴于，求点坐标； (2)过点作于，交于，若，求的长； (3)为第一象限一点，交轴于.在上截取，为的中点，求的度数. 【答案】（1）M(0,2)；（2）AN=4；（3）∠OPF=45°. 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题 【分析】（1）先由条件推出△AOC是等腰直角三角形，再推出△BOM是等腰直角三角形，根据OB=2，得出OM=2，即可得出M的坐标； （2）由等角的余角相等可得∠BCO=∠OAN=30°，再判定△BOC≌△NOA（ASA），得到BC=NA，再根据Rt△BOC中，BC=2BO=4，即可得AN=4； （3）连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，再判定△PEF≌△PAD，得出PF=PD，∠FPE=∠DPA，进而判定△OPF≌△OPD，即可出结果. 【详解】(1)由题可得，a−c≥0，c−a≥0， ∴a=c，即OA=OC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠OAD=45∘， 又∵BD⊥AC， ∴∠ABD=45∘， 又∵∠BOM=90∘， ∴△BOM是等腰直角三角形， ∴OB=OM， ∵，且a=c， ∴b=−2，即OB=2， ∴OM=2， ∴M(0,2)； (2)∵∠CAN=15°,∠OAC=45°, ∴∠OAN=30°， ∵AG⊥BC，CO⊥AO， ∴∠CNG+∠BCO=90°，∠ANO+∠OAN=90°， ∵∠ANO=∠CNG， ∴∠BCO=∠OAN=30°， 在△BOC和△NOA中， ∴△BOC≌△NOA(ASA)， ∴BC=NA， 又∵Rt△BOC中，∠BCO=30°， ∴BC=2BO=4， ∴AN=4； (3)如图3,连接OF,把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处,连接DP, 由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD， ∵∠AOQ+∠APQ=180°， ∴∠OAP+∠OQP=180°， 又∵∠EQC+∠OQP=180°， ∴∠OAP=∠EQC， ∴∠PEF=∠PAD， 在△PEF和△PAD中， ∴△PEF≌△PAD(SAS)， ∴PF=PD，∠FPE=∠DPA， ∴∠FPD=∠QPA=90°， ∵在△OPF和△OPD中， ∴△OPF≌△OPD(SSS)， ∴∠OPF=∠OPD=∠FPD=45°. 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质构造全等三角形是解决本题的关键. 角平分线的性质定理 11． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是角平分线，于点在边上，．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，再证明； （2）过点D作于点G，根据角平分线的性质得出，再证明，得出，证明，得出，根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：过点D作于点G， ∵是角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ．    【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有 （填写正确的序号） 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ①平分正确； 无法证明， ③平分错误； ，， ， ，， ，， ， ④正确； ，， ， ②正确． 故答案是：①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，解题的关键是利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$