专题05 轴对称（18大基础题+7大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题05 轴对称 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和诸平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列道路交通指示标志图是轴对称图形的是（    ） A． B．   C．   D．   4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）在第届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取金、银、铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）下列图案是轴对称图形的是(   ) A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图所示，这是我国四所著名大学的校徽图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形，其中不是轴对称图形的是（    ） A．北京大学校徽 B．清华大学校徽 C．中山大学校徽 D．中国大学校徽 7．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是　　 A．   B．   C．   D．   根据成轴对称图形的特征进行求解 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数； (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，点P为∠BAC内的一点，点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点，若EF=2013cm．则△QPK的周长是 ．    折叠问题 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则 ．    2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）若， ①如图2，当时，求x的值； ②若，求x的值． 线段垂直平分线的性质 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 2． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 3． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 4． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线相交于点M，且与边分别相交于点D、E，连接、，则的周长（ ） A．大于10 B．等于10 C．小于10 D．不能确定 5． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD=5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为（        ） A．18 B．21 C．26 D．28 6． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，为的中垂线，若，则的长为 ．    7． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）尺规画图：（不写作法，保留作图痕迹．） 如图，在中，已知其周长为．    (1)在中，用直尺和圆规作边的垂直平分线分别交、于点D，E； (2)画的平分线交于点F； (3)连接，若为，求的周长． 8． （23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在中，AC=5，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D． （1）若的周长为8，求BC的长； （2）若BC=4，求的周长． 线段垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知：如图，P是平分线上的一点，垂足分别为C，D．求证： (1) (2)是的垂直平分线 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．    (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的面积． 作垂线(尺规作图) 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（　　） A．7 B．10 C．15 D．17 3．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（    ）    A．7 B．8 C．12 D．13 4．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（  　 ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置． 求对称轴条数 1．（23-24八年级上·新疆和田·期中）有无数条对称轴的图形是（    ） A．圆 B．线段 C．等边三角形 D．正方形 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）正五边形有 条对称轴． 钟表的镜面对称 1．（23-24八年级上·新疆兵团·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．    2．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是 ． 画轴对称图形 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)直接写出的面积 ； (2)已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； (3)点与点关于x轴对称，求的值． 3.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．    (1)画出关于轴对称的； (2)画出将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度的，并写出点的坐标． (3)求的面积． 4．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．      (1)请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标： (2)求的面积： (3)在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置． 5．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方组成的网格中，按要求画出△A1B1C1与△A2B2C2． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2； （3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，他们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 坐标与图形变化——轴对称 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）点关于x轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）点A(－1，4)关于y轴对称的点的坐标为（    ） A．(1，4) B．(－1，－4) C．(1，－4) D．(4，－1) 3．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如果点和点关于x轴对称，则的值是 ． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知点，点 P 关于 x 轴的对称点坐标为 ，y轴的对称点坐标是 ． 5．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）已知点关于轴对称的点在第一象限，则的取值范围是 ． 6．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于y轴对称的点为 ． 等腰三角形等边对等角 1．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，中，，，平分，于，则下列结论： ①平分； ②； ③平分； ④， 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，过点作若则的大小为（ ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，等腰三角形中，，是线段的垂直平分线，交于点E，连接，则的度数 ．    4．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 6．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 度． 7．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐期中）如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 8．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中，过的中点作，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 根据三线合一证明 1．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，将折叠，使点落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ）    A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上均不是 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（  ） A． B． C．4 D．8 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点D、E在的边上，，求证：． 根据等角对等边证明边相等 1. （23-24八年级上·新疆和田·期中）在中，，则是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 2. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知，如图，与交于点O，且．求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质 3. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．    等腰三角形的性质和判定 1． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，中，，点在线段上，，，若，则（　　） A．7 B． C．6 D． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D．若，，则的周长是（    ） A． B． C．3a D． 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．    4． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．    5． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD＝6cm，则CD的长为 cm．    6． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并说明理由． 7． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图所示，和的平分线相交于F，过F 作，交于D，交于E，求证：    (1)是等腰三角形 (2) 8． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，，点为的中点，D，E分别为，上的点，且．      (1)求证：． (2)若，，求的度数． 9． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE＝5，求BC长． 10． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 11． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．（1）求证：AD=BD；（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数． 等边三角形的性质 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①都含有70°的两个直角三角形一定全等； ②都含有100°的两个等腰三角形一定全等； ③底边相等的两个等腰三角形一定全等； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知等边的边长为2，点D在射线上，点E在射线上，且，则线段 ． 3．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交，于点交BE于点Q．    (1)求证：； (2)求的度数． 4．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为F，若，求的周长． 等边三角形的判定 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．    2．（23-24八年级上·新疆兵团·期中）如图，在中，，，点D是的中点，连接，，求证：是等边三角形． 等边三角形的判定和性质 1． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在中，点为上一点，过点作、，且，求证：是等边三角形． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，垂足为D． (1)求证：是等边三角形； (2)若交于点F，，求的长． 含30度角的直角三角形 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 2． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）在中，，，，则AB的长为 ． 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 4． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，中，，是高，，，则 ．    5． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(    ) A．30° B．60° C．30°或150° D．不能确定 6． （23-24八年级上·新疆兵团·期中）如图所示．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，求AC 最短路径问题 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．    2． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）    A．12 B．6 C．7 D．8 线段垂直平分线的性质 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为(   )    A． B． C． D． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G． 求证：（1）BF=CG；（2）AF=（AB+AC）． 等腰三角形等边对等角 1． （23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝ °；第n个三角形的内角∠ABnCn＝ °． 等腰三角形三线合一 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，点P在的内部．与P关于OB对称，与P关于OA对称，则O、、三点所构成的三角形是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 根据等角对等边求边长 1．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．    等腰三角形的性质和判定 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，点在上且满足的垂直平分线分别交的延长线、的延长线于点点点，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（　　）个 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2. （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，求证：    (1)点D为的中点； (2)． 3.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt． (1)如图1，若，则点的坐标为______； (2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：； (3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度． 4. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）如图1，，，，，垂足分别为C，F，若，，则的长为______；（直接写出答案） （2）如图2，等腰直角中，，D为上一点，连接，，且，连接交于P． ①求证：； ②若，求的值． 5.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，当点P到达点O，两点同时停止运动． (1)用含t的式子表示______； (2)如图2，过点Q作，且，点M在第一象限，求点M的坐标（用含t的式子表示）； (3)点R为x轴负半轴上一点，且，坐标系内有一点，若为等腰直角三角形，则______． 6. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F． （1）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE＝2AF． 等边三角形的判定和性质 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和诸平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义依次判断即可．“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形”．判断一个图形是否是轴对称图形，关键是看能否找到对称轴． 【详解】解A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列道路交通指示标志图是轴对称图形的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）在第届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取金、银、铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：、是轴对称图形，故正确，符合题意； 、不是轴对称图形，故错误，不符合题意； 、不是轴对称图形，故错误，不符合题意； 、不是轴对称图形，故错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查轴对称图形识别，掌握轴对称图形的定义，图形结合分析是解题的关键． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）下列图案是轴对称图形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图所示，这是我国四所著名大学的校徽图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形，其中不是轴对称图形的是（    ） A．北京大学校徽 B．清华大学校徽 C．中山大学校徽 D．中国大学校徽 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】由题意利用轴对称图形的定义对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 7．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 8．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是　　 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据成轴对称图形的特征进行求解 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数； (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)BF＝3cm (2)∠CAD＝18° (3)直线MN垂直平分线段EC 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC﹣FC＝3cm． （2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°． （3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图， ∵E，C关于直线MN对称， ∴直线MN垂直平分线段EC． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，点P为∠BAC内的一点，点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点，若EF=2013cm．则△QPK的周长是 ．    【答案】2013cm 【知识点】轴对称的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【详解】试题解析：∵点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点， ∴EQ=PQ，PK=FK， ∴△QPK的周长=EQ+QK+KF=EF=2013（cm）， ∴△QPK的周长=2013cm． 折叠问题 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则 ．    【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】先根据平角的定义求出，再由折叠的性质得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，正确求出是解题的关键． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）若， ①如图2，当时，求x的值； ②若，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）①15°，②22.5° 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】（1）由，根据同角的余角相等，可得，由折叠的性质可知，等量代换，从而得证； （2）①根据翻折，和已知条件，求得，从而求得的值；②由①的结论可求得，，当∠DFE=∠FDE时，当解方程即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由翻折可知，，∴，∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； ②，则 ， ， 由翻折可知：， ， ， ∴当∠DFE=∠FDE时，有， 解得，． 【点睛】本题考查了折叠，轴对称的性质，平行线的判定，直角三角形中两锐角互余，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键． 线段垂直平分线的性质 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线．当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点， 故选：C． 2． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答． 【详解】解：公共厕所到出口、的距离相等， 公共厕所到在线段的垂直平分线上， 同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 3． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．根据垂直平分线的性质，得；根据的周长为9，则，的周长为：，，即可计算结果． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线相交于点M，且与边分别相交于点D、E，连接、，则的周长（ ） A．大于10 B．等于10 C．小于10 D．不能确定 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=EC，可知的周长等于BC长，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线和边的垂直平分线相交于点M，且与边分别相交于点D、E， ∴AD=BD，AE=EC， 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出的周长等于边长． 5． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD=5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为（        ） A．18 B．21 C．26 D．28 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】先根据DE是线段BC的垂直平分线得出BE=CE，即BE+AE=CE+AE=AB，再由△ACE的周长=AB+AC即可求出答案． 【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，BC=2BD=10，即BE+AE=CE+AE=AB， ∵△ABC的周长为31， ∴∴△ACE的周长=AB+AC=31-10=21． 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，为的中垂线，若，则的长为 ．    【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据中垂线的性质可得，最后计算即可． 【详解】解：为的中垂线， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查中垂线的性质，较简单，熟记性质是关键． 7． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）尺规画图：（不写作法，保留作图痕迹．） 如图，在中，已知其周长为．    (1)在中，用直尺和圆规作边的垂直平分线分别交、于点D，E； (2)画的平分线交于点F； (3)连接，若为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了基本作图，垂直平分线和角平分线； （1）根据“作线段的垂直平分线的基本作法”作图； （2）根据“作角平分线的基本作法”作图； （3）根据线段的垂直平分线的性质求解． 解题的关键是掌握常见的几种基本作图，垂直平分线的性质． 【详解】（1）解：点D、E即为所求； （2）解：点F即为所求； （3）解：∵垂直平分， ∴，， ∵中的周长为：， ∴， ∴， 即的周长为：．    8． （23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在中，AC=5，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D． （1）若的周长为8，求BC的长； （2）若BC=4，求的周长． 【答案】（1）3；（2）9． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据AC的长可得，再根据垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】（1）， ， 是AB的垂直平分线， ， ， 又 的周长为8， ，即， 解得； （2）， ， 是AB的垂直平分线， ， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 线段垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知：如图，P是平分线上的一点，垂足分别为C，D．求证： (1) (2)是的垂直平分线 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再判定，得出； （2）由（1）得到点在的垂直平分线上，再根据，可得点在的垂直平分线上，进而得到是的垂直平分线． 【详解】（1）证明：是的平分线上一点，，， ． 在和中， ， ， ； （2）证明：， 点在的垂直平分线上． 又， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．    (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）可证点D在的垂直平分线上，再证，从而可证点A在的垂直平分线上，即可得证； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：平分且，， ，，， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， （）， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 作垂线(尺规作图) 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选A 2．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（　　） A．7 B．10 C．15 D．17 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论． 【详解】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴AD+CD＝BC． ∵△ABC的周长为17，AB＝7， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD=AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10． 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，尺规作图-作线段垂直平分线，熟练掌握用尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·新疆双河市·期中）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（    ）    A．7 B．8 C．12 D．13 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】根据题意可以知道MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=5，因此可以求出BC的长度． 【详解】解：∵顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧 ∴MN为AB的垂直平分线 ∴AD=BD=5 ∵BC=BD+CD ∴BC=AD+CD=5+3=8 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的画法以及垂直平分线的性质，能够准确的将线段进行转化是解决本题的关键． 4．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（  　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图) 【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故选B． 5．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点． 求对称轴条数 1．（23-24八年级上·新疆和田·期中）有无数条对称轴的图形是（    ） A．圆 B．线段 C．等边三角形 D．正方形 【答案】A 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题主要考查了图形的对称性，根据图形的性质结合轴对称的定义即可作出判断．对于常见图形的对称性的理解是解决本题的关键． 【详解】解：线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴．等边三角形有三条对称轴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）正五边形有 条对称轴． 【答案】五 【知识点】求对称轴条数 【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答；根据正五边形的特点，即可得出所有的对称轴． 【详解】解：正五边形经过每个顶点的有一条对称轴，共有五条对称轴． 故答案为：五． 【点睛】本题考查了正多边形和轴对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键． 钟表的镜面对称 1．（23-24八年级上·新疆兵团·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．    【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2． 【详解】解：电子表的实际时刻是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观． 2．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是 ． 【答案】21：05 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为21：05， 故答案为：21：05． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解决此类题应认真观察，注意技巧． 画轴对称图形 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，，，． (2) 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形． （1）先在平面直角坐标系中描出点、、关于轴的对称点，，，再依次连接即可由图即可得，，的坐标； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用割补法求三角形得面积． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，，，． （2） 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)直接写出的面积 ； (2)已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； (3)点与点关于x轴对称，求的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据网格得出的底和高，利用三角形面积公式求解； （2）在坐标系中找出三个顶点关于y轴的对应点，顺次连接即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”求出a和b的值，再代入求解即可．掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：6； （2）解：如图； （3） ． 3.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．    (1)画出关于轴对称的； (2)画出将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度的，并写出点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3) 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】（1）先画出点A、B、C关于x轴对称的对应点、、，再依次连接即可； （2）先画出点、、平移后的对应点D、E、F，再依次连接即可，根据点平移的规律“左移减，右移加，上移加，下移减”，即可得出点F的坐标． （3）用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； ∵，和关于x轴对称， ∴， ∵先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度的， ∴，即；    （3）解：． 【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，求三角形面积，掌握“左移减，右移加，上移加，下移减”，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．      (1)请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标： (2)求的面积： (3)在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)的面积为； (3)作图见解析 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积、坐标与图形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）分别确定，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可，再根据，，的位置可得其坐标； （2）根据割补法利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可； （3）先作A关于y轴的对称点，再连接与y轴的交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，是所求作的三角形； ∴，，； （2）； （3）如图，点P即为所求；      【点睛】本题考查的是画关于x轴对称的三角形，利用割补法求解三角形的面积，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，坐标与图形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键． 5．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方组成的网格中，按要求画出△A1B1C1与△A2B2C2． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2； （3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，他们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移6个单位的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （3）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是l：x＝3． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）如图所示：直线l即为所求． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质和作图−平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 坐标与图形变化——轴对称 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）点关于x轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答本题． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为 故选：D． 2．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）点A(－1，4)关于y轴对称的点的坐标为（    ） A．(1，4) B．(－1，－4) C．(1，－4) D．(4，－1) 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【详解】分析：根据关于y轴对称的点的特点解答即可． 详解：∵两点关于y轴对称，∴横坐标为1，纵坐标为4，∴点P关于y轴对称的点的坐标是（1，4）．     故选A． 点睛：考查关于y轴对称的点的特点．用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 3．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如果点和点关于x轴对称，则的值是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接利用关于x轴对称点的坐标特征得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称 ∴，， ∴． 故答案为： 4．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）已知点，点 P 关于 x 轴的对称点坐标为 ，y轴的对称点坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【详解】解：点关于 x 轴的对称点坐标为，y轴的对称点坐标是． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）已知点关于轴对称的点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】点关于轴的对称点在第一象限，则点在第四象限，符号为． 【详解】解：依题意得P点在第四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，第四象限的符号特征，根据题意得出点在第四象限是解题的关键． 6．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于y轴对称的点为 ． 【答案】(-1，0) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【详解】∵点P（m，m﹣1）在x轴上， ∴m﹣1=0，则m=1， 故P（1，0）， 则点P关于y轴对称的点坐标为：（﹣1，0）． 故答案为（﹣1，0）． 等腰三角形等边对等角 1．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，中，，，平分，于，则下列结论： ①平分； ②； ③平分； ④， 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由“”可证，可得，，，可判断①④，由等腰直角三角形的性质可判断②③． 【详解】解：平分， ，且，， ， ，，， 平分，， ①④正确， ，， ，且， ， ，， ②正确，③错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明是本题的关键． 2．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，过点作若则的大小为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AD∥BC，∠1=70°， ∴∠C=∠1=70°， ∴∠B=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C． 3．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，等腰三角形中，，是线段的垂直平分线，交于点E，连接，则的度数 ．    【答案】/60度 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可求得，然后由“等边对等角”，可求得的度数，又由等腰三角形的性质可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 【答案】或 【知识点】等边对等角 【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论． 【详解】解：分两种情况： 当的角是底角时，则顶角度数为； 当的角是顶角时，则顶角为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解答问题的关键． 5．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或/或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： ， 则， ， 等腰三角形的顶角为， 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： ， 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 6．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 度． 【答案】34 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】先根据尺规作图可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：由同圆的半径相等得：， ， ， ， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 7．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐期中）如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答 (2)的度数是 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证； （2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，D是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数是． 8．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中，过的中点作，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识． （1）先证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据，求出的值，然后根据三角形内角和即可求出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， ∴． 根据三线合一证明 1．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，将折叠，使点落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ）    A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上均不是 【答案】C 【知识点】根据三线合一证明、折叠问题、画三角形的高 【分析】根据折叠的性质和等腰三角形的性质得到，即可判定． 【详解】解：由折叠可知：，， 则直线垂直平分，即， ∴是的高线， 故选：C．    【点睛】本题考查折叠的性质和高线的定义、等腰三角形的性质，理解高的定义是解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（  ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】由AE为角平分线，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD为平行四边形，得到DC//AB，推出AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的长． 【详解】解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC//AB， ∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴AD=FD， 又F为DC的中点， ∴DF=CF， ∴AD=DF=DC=AB=2， 在Rt△ADG中，DG=1， ∴AG==， ∵DG⊥AE， ∴AF=2AG=2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF， 在△ADF和△ECF中，， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF， 则AE=2AF=4． 故选：B． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点D、E在的边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证． 【详解】证明：如图，过点A作C于P． ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 根据等角对等边证明边相等 1. （23-24八年级上·新疆和田·期中）在中，，则是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设三个内角的度数分别为，，，根据三角形的内角和等于，列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 【详解】解：设三个内角的度数分别为，，则 ， 解得， ∴，， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：． 2. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知，如图，与交于点O，且．求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．    【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 等腰三角形的性质和判定 1． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，中，，点在线段上，，，若，则（　　） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】过作交于，延长与的延长线交于点，由得到，则为等腰直角三角形，于是，由得到平分，根据等腰三角形性质得，即，然后根据“”证明，则，所以． 【详解】解：过作交于，延长与的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∴平分， 而， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质，掌握判定三角形全等的方法“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等是解题的关键． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D．若，，则的周长是（    ） A． B． C．3a D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据等边对等角求出，，进而求出，，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】解： 中，，， ， 如图，连接， 由作图知，， ， ， ， ， ， 的周长， 故选B． 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．    【答案】30 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质与判定．先根据角平分线的定义得到，进而根据平行线的性质证明，则，同理可证，即可推出的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴的周长 ， 故答案为：30． 4． （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．    【答案】7 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当三点共线时，的周长最小，为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 如图所示，连接，交于点，   ，， 周长， 当三点共线时，的周长最小，为的长， 为边的中点，，， ，， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 5． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD＝6cm，则CD的长为 cm．    【答案】6 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【详解】∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC； 又∵CD//OB， ∴∠C=BOC， ∴∠C=∠AOC； ∴CD=OD=6cm． 故答案为：6 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形． 6． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，理由见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，由E是的中点，可得，证明； （2）由（1）可知，则，由，可知是等腰三角形，进而可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：，理由如下： 连接， 由（1）可知， ∴，． ∴ ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∴． 7． （23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图所示，和的平分线相交于F，过F 作，交于D，交于E，求证：    (1)是等腰三角形 (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等， （1）利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，即可证出是等腰三角形； （2）同（1）证出：是等腰三角形，所以得到，从而得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵是等腰三角形， ∴， 同理：是等腰三角形， ∴， ， ． 8． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，，点为的中点，D，E分别为，上的点，且．      (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)55度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由可得，再根据“两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”即可； （2）等腰三角形中由顶角度数可得两底角度数，由（1）题结论根据全等三角形的性质可得，然后在中根据内角和可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 9． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE＝5，求BC长． 【答案】（1）∠ECD=36°；（2）BC长是5． 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A； （2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，由外角和定理求出∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，继而得∠BEC=∠B，推出BC=CE即可． 【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴CE＝AE， ∴∠ECD＝∠A＝36°； （2）∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC＝5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 10． （23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】证明：（1）见解析 （2）见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 11． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．（1）求证：AD=BD；（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）20° 【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题、用SAS证明三角形全等（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【详解】试题分析：（1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角边”证明△ACD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABD=45°，再根据∠ABE=∠ABD-∠CBF代入数据计算即可得解． 试题解析：（1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC， ∴∠C+∠CBE=90°， ∠BED+∠CBE=90°， ∴∠C=∠BED， 在△ACD和△BED中， ∴△ACD≌△BED（AAS）， ∴AD=BD； （2）∵BF⊥AC， ∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°， ∵AD⊥BC，AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABE=∠ABD -∠CBF=45°-25°=20°． 等边三角形的性质 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①都含有70°的两个直角三角形一定全等； ②都含有100°的两个等腰三角形一定全等； ③底边相等的两个等腰三角形一定全等； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可得到结果． 【详解】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误； ②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误； ③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； 因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． 因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确； 所以正确的有④⑤这2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知等边的边长为2，点D在射线上，点E在射线上，且，则线段 ． 【答案】1或4/4或1 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】分点D、点E分别在线段和上和点D、点E分别在的延长线和的延长线上两种情形画出符合题意的图形，再结合已知条件分别进行分析解答即可． 【详解】①如图1，当点D、点E分别在线段和上时，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形边上的中线， ∴； ②如图2，当点D、点E分别在的延长线和的延长线上时，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和直角三角形的性质，能根据题意分两种情况画出符合题意的图形，且熟悉等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交，于点交BE于点Q．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由可得； （2）结合（1），由三角形的内角和和三角形的外角性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等边三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 4．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出后即可求解； （2）利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出，求出三角形的边长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、等角对等边等知识，解题关键是牢记相关性质并能熟练应用． 等边三角形的判定 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．    【答案】证明见解析． 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，，可得，求出，根据线段垂直平分线的性质得到，从而求出，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是中线， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质． 2．（23-24八年级上·新疆兵团·期中）如图，在中，，，点D是的中点，连接，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据条件得到，即可证得结论． 【详解】证明：在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的 判定定理，正确掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 等边三角形的判定和性质 1． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在中，点为上一点，过点作、，且，求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】根据可证，可得，进而得出，即可得结论． 【详解】证明：∵、， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，解题关键是证明三角形全等． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】作点Q关于BD的对称点，连接交BD于E，连接，此时的值最小，最小值． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 作点Q关于BD的对称点，连接交BD于E，连接，此时的值最小，最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为5． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，准确计算是解题的关键． 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，垂足为D． (1)求证：是等边三角形； (2)若交于点F，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）证明，得出，求出，即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，中，根据，，得出． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 含30度角的直角三角形 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， 所以斜边=2×2=4cm 故选B． 【点睛】题目主要考查在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握运用此定理是解题关键． 2． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）在中，，，，则AB的长为 ． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】根据所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：，，， ．    故答案为：6． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 3． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得到答案，此题考查了直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，即， ∴， 又∵， ∴， ∵梯子的长为5米，即， ∴， 即梯子与墙角的距离为米， 故答案为： 4． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，中，，是高，，，则 ．    【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答．熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 【详解】解： ，，， ，， 是高， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角形性质是解题的关键． 5． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(    ) A．30° B．60° C．30°或150° D．不能确定 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题要分两种情况解答：当BD在三角形内部以及当BD在三角形外部．再根据等腰三角形的性质进行解答． 【详解】本题分两种情况讨论： （1）当BD在三角形内部时． ∵BDAB，∠ADB=90°， ∴∠A=30°； （2）当BD在三角形外部时． ∵BDAB，∠ADB=90°， ∴∠DAB=30°， ∴∠BAC=180°﹣∠DAB=180°-30°=150°． 故选C．    【点睛】本题较简单，考查的是等腰三角形及直角三角形的性质，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解． 6． （23-24八年级上·新疆兵团·期中）如图所示．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，求AC 【答案】3cm 【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质 【分析】由直角三角形两锐角互余的性质可求得∠BAC的度数，由线段垂直平分线的性质可得BE=AE，从而可得∠EAB的度数，进而可得∠EAC及∠AEC，再由30度的直角三角形的性质即可求得AC的长． 【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15° ∴∠BAC=90°-15°=75° ∵DE垂直平分AB，BE=6cm ∴BE=AE=6cm ∴∠EAB=∠B=15° ∴∠EAC=75°-15°=60° ∵∠C=90° ∴∠AEC=30° ∴AC=AE=×6=3(cm) 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，30度的直角三角形的性质及三角形两锐角互余，关键是线段垂直平分线的性质定理． 最短路径问题 1． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．    【答案】图见解析，说明见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置． 【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置． 由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC， 在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE， 根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求； 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． 2． （23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）    A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B，C关于对称． ∴当点P和点D重合时，的值最小． 此时， ∵， 周长的最小值是， 故选：C． 线段垂直平分线的性质 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 2． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G． 求证：（1）BF=CG；（2）AF=（AB+AC）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线性质的实际应用、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，即可Rt△BFE≌Rt△CGE； （2）证明△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案． 【详解】证明：（1）连接BE和CE， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE=CE， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG， 在Rt△BFE和Rt△CGE中 ∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）， ∴BF=CG； （2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE， 在△AFE和△AGE中 ∴△AFE≌△AGE， ∴AF=AG， ∵BF=CG， ∴（AB+AC）=（AF-BF+AG+CG） =（AF+AF） =AF， 即AF=（AB+AC）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键． 等腰三角形等边对等角 1． （23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝ °；第n个三角形的内角∠ABnCn＝ °． 【答案】 40 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、图形类规律探索 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C1B1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律即可得出∠ABnCn的度数． 【详解】解：△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°， ∴∠C1B1A＝ ， ∵B1B2＝B1C2，，∠C1B1A是△B1B2C2的外角， ∴∠B1B2C2＝ ； 同理可得， ∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°， ∴∠ABnCn＝． 故答案为：40，． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律是解答此题的关键． 等腰三角形三线合一 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【知识点】三线合一、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接交与点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【详解】解：连接交与点，连接． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， ． ． 当点位于点处时，有最小值，最小值6． 的周长的最小值为． 故答案为：8 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，点P在的内部．与P关于OB对称，与P关于OA对称，则O、、三点所构成的三角形是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】作出图形，连接OP，根据轴对称的性质可得OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，然后求出∠P1OP2=2∠AOB，再根据等腰直角三角形的定义判定即可． 【详解】解：如图，连接OP， ∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称， ∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP， ∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2（∠BOP+∠AOP）=2∠AOB， ∵∠AOB=45°， ∴∠P1OP2=2×45°=90°， ∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 根据等角对等边求边长 1．（23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．    【答案】10 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进一步可得，，可得，，进一步可得的长． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 等腰三角形的性质和判定 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，点在上且满足的垂直平分线分别交的延长线、的延长线于点点点，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（　　）个 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】通过证明为垂直平分线，即可判断①；②没有条件证明，故②不正确，不符合题意；③通过证明，即可判断③；④通过证明，即可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴，平分， ∴为垂直平分线， ∴，故①正确，符合题意； ②没有条件证明，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴， ∵由（1）可知：为垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵为垂直平分线， ∴，则， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一；垂直平分线到两端距离相等；全等三角形对应边相等，对应角相等． 2. （23-24八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，求证：    (1)点D为的中点； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先证明，即有，根据“三线合一”可得，再证明，问题得证； （2）在（1）中已得，再根据“三线合一”即可作答． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点D为的中点； （2）在（1）中已得， 即是等腰三角形， 又∵是的角平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 3.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt． (1)如图1，若，则点的坐标为______； (2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：； (3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度． 【答案】(1)点C（3，7）； (2)证明见详解过程； (3)2． 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH=OB=3，BH=AO=4，可求解； （2）过点E作EF⊥x轴于F，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得BO=DF=4，OD=EF，由等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，∠EAF=∠AEF=45°，可得结论； （3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO=GC，AO=BG=4，再由“AAS”可证△CPG≌△FPB，可得PB=PG=2． 【详解】（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H， ∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°， ∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO， ∴∠ABO=∠BCH， 在△ABO和△BCH中， ， ∴△ABO≌△BCH（AAS）， ∴CH=OB=3，BH=AO=4， ∴OH=7， ∴点C（3，7）， 故答案为：（3，7）； （2）过点E作EF⊥x轴于F， ∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°， ∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO， ∴∠DBO=∠EDF， 在△BOD和△DFE中， ， ∴△BOD≌△DFE（AAS）， ∴BO=DF=4，OD=EF， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA=OB=4， ∴∠BAO=45°， ∵OA=DF=4， ∴OD=AF=EF， ∴∠EAF=∠AEF=45°， ∴∠BAE=90°， ∴BA⊥AE； （3）过点C作CG⊥y轴G， 由（1）可知：△ABO≌△BCG， ∴BO=GC，AO=BG=4， ∵BF=BO，∠OBF=90°， ∴BF=GC，∠CGP=∠FBP=90°， 又∵∠CPG=∠FPB， ∴△CPG≌△FPB（AAS）， ∴BP=GP， ∴BP=BG=2． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 4. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）如图1，，，，，垂足分别为C，F，若，，则的长为______；（直接写出答案） （2）如图2，等腰直角中，，D为上一点，连接，，且，连接交于P． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1）4；（2）①见解析；② ； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，（1）由“同角的余角相等”可得，由此可得，所以，，进而可得结论； （2）①过E作于H，得，所以，再由可知，所以； ②由①可得：，设，则，则，由全等可知，，所以，则由此可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 则； （2）①证明：过E作于H，如图所示，    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ②由①可得：， ∵， ∴设， 则，， 又， ∴， ∴， ∴． 5.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，当点P到达点O，两点同时停止运动． (1)用含t的式子表示______； (2)如图2，过点Q作，且，点M在第一象限，求点M的坐标（用含t的式子表示）； (3)点R为x轴负半轴上一点，且，坐标系内有一点，若为等腰直角三角形，则______． 【答案】(1)； (2)； (3)秒或秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先由运动知，，，进而可得出答案； （2）过点M作轴于B，作轴于C，先判断出，得出，，即可得出答案； （3）利用点N的坐标，分三种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图2， 过点M作轴于B，作轴于C， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵点，点R为x轴负半轴上一点，且， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴Ⅰ、当，时， ∴点N，R的横坐标相等， ∴， ∴； Ⅱ、当，时， ∴点N在y轴上， ∴，， ∴，，此种情况不存在； Ⅲ、当，时， ∴点N在的垂直平分线上，且点N到的距离等于， ∴①，且②， 解①得，，解②得，或， 综上，， ∴当t为秒或秒时，为等腰直角三角形． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，对称的性质，直角三角形的性质，解本题关键是用方程的思想和分类讨论的思想解决问题． 6. （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F． （1）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE＝2AF． 【答案】(1)50;(2)见解析;(3)见解析. 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【详解】试题分析：（1）根据条件证明△ABC≌△ADE，然后四边形ABCD的面积可转化为等腰直角△ACE的面积，然后利用三角形的面积公式计算即可；（2）根据条件证明∠ACB=∠ACE=45°即可；（3））过点A作AG⊥CG，垂足为点G，利用角的平分线的性质证得AF=AG，利用直角三角形斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质证得CG=AG=GE，即可得出结论． 试题解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAC=∠EAD 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∵ ∴ （2）∵△ACE是等腰直角三角形， ∴∠ACE=∠AEC=45°， 由△ABC≌△ADE得： ∠ACB=∠AEC=45°， ∴∠ACB=∠ACE， ∴AC平分∠ECF （3）过点A作AG⊥CG，垂足为点G ∵AC平分∠ECF，AF⊥CB， ∴AF=AG， 又∵AC=AE， ∴∠CAG=∠EAG=45°， ∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°， ∴CG=AG=GE， ∴CE=2AG， ∴CE=2AF 考点：1．全等三角形的判定与性质2．角的平分线的性质3．直角三角形的性质4．等腰三角形的性质． 等边三角形的判定和性质 1． （23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°， ∴OB=OC， ∴∠OBD=∠OCD， ∵OB=OP， ∴OC=OP， ∴∠APO=∠OCP， ∵∠OCP -∠OCB=∠ACB=30°， ∴，故①正确； ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠PBO， ∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°， ∴∠PBO=∠PBA+∠APO， ∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°， ∴2∠OPB+60°=180°， ∴∠OPB=60°， ∴△BPO是正三角形，故②正确； 在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示： ∵∠PAE=60°， ∴△PAE是等边三角形， ∴AP=PE=AE，∠APE=60°， ∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO， ∴∠BPE=∠OPA， ∵OP=BP， ∴△BPE≌△OPA（SAS）， ∴BE=AO， ∵AB-BE=AE， ∴AB-OA=AP， ∴，故③正确； 延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABF=60°， ∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°， ∴∠PBA=∠OBF， ∵PB=OB，AB=BF， ∴△APB≌△FOB（SAS）， ∴， 如要证，需证，由题意无法证明，故④错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 2． （23-24八年级上·新疆阿勒泰·期中）如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有 ． 【答案】①②③④ 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，想办法证明CN＝CM即可判断④正确； 【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°， ∴△ECD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD，（①正确） ∠CBD＝∠CAE， ∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC， ∴△BCF≌△ACG（ASA）， ∴AG＝BF，（②正确） 同理：△DFC≌△EGC（ASA）， ∴CF＝CG， ∴△CFG是等边三角形， ∴∠CFG＝∠FCB＝60°， ∴FG∥BE，（③正确） 过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N， ∵△ECD≌△ACE， ∴∠BDC＝∠AEC， ∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°， ∴△CDN≌△CEM， ∴CM＝CN， ∵CM⊥AE，CN⊥BD， ∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL） ∴∠BOC＝∠EOC， ∴④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$