专题03 圆锥曲线的方程（5种经典基础练+4种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

专题03 圆锥曲线的方程（5种经典基础练+4种优选提升练） 椭圆及其标准方程 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•市南区校级期中）已知 的周长为20，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是 　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•南海区校级期中）已知方程 表示的曲线是椭圆，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•永昌县校级期中）椭圆 的焦点坐标是 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 4．（2023秋•沙坪坝区校级期中）若 为椭圆 的左焦点， 为椭圆 上一动点， ，则△ 周长的最大值为 　　 A． B． C．7 D．10 5．（2023秋•东丽区校级期中）“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的 　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023秋•临渭区校级期中）如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． 或 D． 且 二．填空题（共3小题） 7．（2023秋•浦东新区校级期中）已知椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点坐标为 ，且椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，则此椭圆的标准方程为 　 　． 8．（2023秋•龙岩期中）写出一个焦点在 轴上，离心率小于 的椭圆的标准方程：　 　 ． 9．（2023秋•古浪县校级期中）椭圆经过 ， ，则该椭圆的标准方程为　 　． 三．解答题（共1小题） 10．（2023秋•陇县校级期中）（1）已知椭圆的焦距为10，离心率为 ，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为 ，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 椭圆的简单几何性质 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•雨花区校级期中）已知椭圆 的离心率为 ， ， 是 的两个焦点， 为 上一点，若△ 的周长为 ，则椭圆 的焦距为 　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•武汉期中）椭圆 左右焦点分别为 、 ，焦距为2，直线 经过 交椭圆于 ， 两点，若 的周长为12，则椭圆标准方程为 　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•德保县校级期中）已知椭圆方程为 ，则该椭圆的长轴长为 　　 A．6 B．12 C．8 D．16 4．（2023秋•钟楼区校级期中）已知椭圆 的左，右焦点 ， ，过原点的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．其中 在第一象限． ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为 　　 A． B． C． D． 二．多选题（共2小题） 5．（2023秋•连云区校级期中） 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 点处变轨进以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在 点处变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 ，圆形轨道Ⅲ的半径为 ，则下列结论中正确的序号为 　　 A．轨道Ⅱ的焦距为 B．轨道Ⅱ的长轴长为 C．若 不变， 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小 D．若 不变， 越大，轨道Ⅱ的离心率越大 6．（2023秋•运城期中）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，下列说法正确的是 　　 A．若椭圆 上存在点 ，使 ，且 ，则 B．若 ， 的最大值为6，则 C．若 的方程为 是线段 的中点， ，则 D．若 关于直线 的对称点 在椭圆 上，则 的离心率为 三．填空题（共9小题） 7．（2023秋•沙坪坝区校级期中）若 是椭圆 上一动点， ，则 的最大值为 　 　． 8．（2023春•武陵区校级期中）已知焦点在 轴的椭圆 的离心率为 ，则 的值为 　 　． 9．（2023秋•射洪市校级期中）已知 为椭圆 的右焦点， 为 上的一点，若 ，则点 的坐标为 　 　． 10．（2023秋•黎川县校级期中）已知椭圆 ，点 ， 为椭圆上任意一点， ， 为椭圆的左，右顶点，当 不与 ， 重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线 ， 交于点 ，则动点 的轨迹方程为 　 　． 11．（2023秋•翔安区校级期中）椭圆 ， ， 是左、右焦点，点 ，点 为椭圆上一动点，则 的取值范围为 　 ． 12．（2023秋•梁溪区校级期中）设 是椭圆 的左焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为 ，则 的最大值为 　　． 13．（2023秋•宁蒗县校级期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上的一点，延长 交椭圆 于点 ，且△ 为等边三角形，则椭圆 的离心率为 　 　． 14．（2023秋•德城区校级期中）已知椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆 上一点且 ，则 　 　． 15．设点 为椭圆 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，且 ，则△ 的面积为 　 　． 四．解答题（共5小题） 16．（2023秋•鸡冠区校级期中）已知椭圆 的长轴长为10，焦距为6． （1）求 的方程； （2）若直线 与 交于 ， 两点，且线段 的中点坐标为 ，求 的方程． 17．（2023秋•东坡区校级期中）已知椭圆 ，其中一个焦点坐标是 ，长轴长是短轴长的2倍． （1）求 的方程； （2）设直线 与 交于 ， 两点，若 ，求 的值． 18．（2023秋•天河区校级期中）已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点及上顶点分别记为 、 、 ，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，求 面积的最大值，以及取得最大值时直线 的方程． 19．（2023秋•浙江期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点 在 ， 之间），直线 ， 交于点 ，记△ ，△ 的面积分别为 ， ，求 的取值范围． 20．（2023秋•四平期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 是 轴上的一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 双曲线及其标准方程 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•东丽区期中）与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为 　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•兴庆区校级期中）中心在原点，实轴在 轴上，一个焦点在直线 上的等轴双曲线方程是 　　 A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 3．（2023秋•昌吉市校级期中）与椭圆 有公共焦点，且离心率为 的双曲线方程为 　 　． 4．（2023秋•奉贤区校级期中）以椭圆 的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 　 　． 三．解答题（共3小题） 5．（2023秋•庐山市 校级期中）求适合下列条件的曲线的标准方程． （1）实轴长为8，焦点坐标为 ，求双曲线的标准方程； （2）焦点在 轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． 6．（2023春•福田区校级期中）求下列各曲线的标准方程 （1）长轴长为12，离心率为 ，焦点在 轴上的椭圆； （2）一个焦点为 ，实轴长为6的双曲线． 7．（2023秋•香格里拉市校级期中）已知双曲线 的焦点坐标为 ，实轴长为4． （1）求双曲线 标准方程； （2）若双曲线 上存在一点 使得 ，求△ 的面积． 双曲线的简单几何性质 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•北流市期中）双曲线 的焦点坐标为 　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•五华区校级期中）双曲线 的两个焦点分别是 和 ，焦距为8； 是双曲线上的一点，且 ，则 的值为 　　 A．1 B．4 C．9 D．1或9 3．（2023秋•内蒙古期中）双曲线 的实轴长比虚轴长短 　　 A．4 B．2 C．10 D．20 4．（2023秋•越城区校级期中）已知双曲线 的左焦点为 ， 为 的渐近线上一点， 关于原点的对称点为 ，若 ，且 ，则 的渐近线方程为 　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•杨浦区校级期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练．如图，教练员指导运动员沿着与边路 平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置 处起脚射门进球的可能性最佳（即点 对球门 所张的角 最大），假如每条虚线都表示在规定的区域 内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点 ，为了研究方便，如图建立坐标系，设 、 ，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点 应在怎样的曲线上 　　 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（2023秋•奉贤区校级期中）已知四条双曲线， ， ， ， ， 关于下列三个结论的正确选项为 　　 ① 的开口最为开阔； ② 的开口比 的更为开阔； ③ 和 的开口的开阔程度相同． A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 7．（2023秋•东丽区期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 与圆 相切，与双曲线在第四象限交于一点 ，且有 轴，则离心率为 　　 A．3 B． C． D．2 8．（2023秋•青岛期中）过双曲线 的左焦点 ， 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为 　　 A． B． C． D． 二．多选题（共1小题） 9．（2023秋•重庆期中）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线 年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系 中，把到定点 、 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线 ．已知点 ， 是双纽线 上一点，下列说法正确的有 　　 A．双纽线 既关于 轴对称，也关于 轴对称 B．△ 面积的最大值为 C．双纽线 上满足 的点 有两个 D． 的最大值为 三．填空题（共3小题） 10．（2023秋•徐汇区校级期中）双曲线 焦点坐标为 　 　． 11．（2023秋•万源市校级期中）已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，点 为双曲线上一点，若 到原点的距离 ，则△ 的面积是 　 　． 12．（2023秋•浦东新区校级期中）已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，则△ 的面积为 　 　． 四．解答题（共9小题） 13．（2023秋•海陵区校级期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在 轴上，两顶点间的距离是8，离心率 ； （2）渐近线方程是 ，虚轴长为4． 14．（2023秋•明光市校级期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ． （1）若点 的坐标是 ，且△ 的面积为 ，求双曲线 的渐近线方程； （2）若以 为直径的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 为原点），求双曲线 的离心率． 15．（2023秋•安徽期中）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，且右顶点 到该条渐近线的距离为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 与双曲线 交于 、 两点，线段 的中点为 ，求直线 的斜率． 16．（2023秋•盐城期中）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． （1）求双曲线 的标准方程； （2）双曲线 的左支与 轴交于点 ，经过点 的直线与 交于 ， 两点，求 的值． 17．（2023春•麒麟区校级期中）已知双曲线 的左，右焦点为 ， ，离心率为 ． （1）求双曲线 的渐近线方程； （2）过 作斜率为 的直线 分别交双曲线的两条渐近线于 ， 两点，若 ，求 的值． 18．（2023秋•浑南区校级期中）已知双曲线 的两个焦点为 ， ，并且 经过点 ． （1）求双曲线 的方程； （2）过点 的直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，求直线 的方程． 19．（2023秋•平定县校级期中）已知双曲线 的离心率 ， ， 分别为其两条渐近线上的点，若满足 的点 在双曲线上，且△ 的面积为8，其中 为坐标原点． （1）求双曲线 的方程； （2）过双曲线 的右焦点 的动直线与双曲线相交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2023秋•碑林区校级期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近线与直线 垂直． （1）求 的标准方程； （2）点 为 上一动点，直线 ， 分别交 于不同的两点 ， （均异于点 ，且 ， ，问： 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21．（2023秋•辽宁期中）已知 ，双曲线 ，椭圆 ， 与 的离心率之积为 ． （1）求 的渐近线方程； （2）设 ， 分别是 的两条渐近线上的动点，且 ，若 是坐标原点， ，求动点 点的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 抛物线及其标准方程 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•南岗区校级期中）抛物线 的准线方程是 　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•贺兰县校级期中）准线方程为 的抛物线的标准方程是 　　 A． B． C． D． 二．多选题（共2小题） 3．（2023秋•高碑店市校级期中）平面内到定点 和到定直线 的距离相等的动点的轨迹为曲线 ．则 　　 A．曲线 的方程为 B．曲线 关于 轴对称 C．当点 在曲线 上时， D．当点 在曲线 上时，点 到直线 的距离 4．（2023秋•香坊区校级期中）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 的抛物线的标准方程为 　　 A． B． C． D． 三．填空题（共2小题） 5．（2023秋•乐平市校级期中）以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 　 　． 6．（2023秋•思明区校级期中）焦点为 的抛物线标准方程为　 　． 抛物线的简单几何性质 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•兴庆区校级期中）如果抛物线 的准线是直线 ，那么它的焦点坐标为 　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•牡丹江校级期中）准线方程为 的抛物线的标准方程为 　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•陇县校级期中）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且倾斜角角为 ，若抛物线 上存在点 与点 ， 关于直线 对称，则抛物线 的准线方程为 　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•余干县校级期中）定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是 　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•全南县校级期中）设抛物线 的准线为 ，定点 ，过准线 上任意一点 作抛物线的切线 ， ， ， 为切点，过原点 作 ，垂足为 ．则线段 长的最大值为 　　 A． B．1 C． D．2 二．多选题（共2小题） 6．（2023秋•丰城市校级期中）（多选）设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率可以是 　　 A． B． C．1 D．2 7．（2023秋•余干县校级期中）已知方程 表示曲线 ，则 　　 A．当 时，曲线 一定是椭圆 B．当 或 时，曲线 一定是双曲线 C．若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 D．若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 三．填空题（共4小题） 8．（2023秋•安岳县校级期中）已知抛物线的离心率为 ，焦点为 ，则抛物线的标准方程为 　 　 9．（2023秋•溧阳市期中）直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且以 为直径的圆过坐标原点，则 　 ． 10．（2023秋•红谷滩区校级期中）已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ， ， 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ， ，且 ， ，则 的取值范围为 　 　． 11．（2023秋•芜湖期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上任意一点， 为圆 上任意一点，则 的最小值为 　 ． 四．解答题（共7小题） 12．（2023秋•扬中市校级期中）已知抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且 ，求线段 的中点 到准线的距离． 13．（2023秋•柞水县校级期中）已知抛物线 上的点到 的距离等于到直线 的距离． （1）求抛物线 的标准方程； （2）过点 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求直线 的方程． 14．（2023秋•新吴区校级期中）已知 是抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ． （1）求抛物线的标准方程； （2）设直线 过椭圆 的左焦点，且和抛物线 相切，求直线 的方程． 15．（2023秋•延吉市校级期中）已知抛物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交于两点 ， ，当直线 的倾斜角为 时， ． （1）求抛物线 的标准方程和准线方程； （2）记 为坐标原点，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，求证：以 为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 16．（2023秋•重庆期中）已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为4． （1）求抛物线 的标准方程； （2）直线 与抛物线 交于 ， 两个不同的点，若 ，求直线 的方程． 17．（2023秋•市南区校级期中）在平面直角坐标系 中，点 到 ， 两点的距离之和为4． （1）写出 点轨迹的方程； （2）若直线 与轨迹 有两个交点，求 的取值范围． 18．（2023秋•榆阳区校级期中）如图，已知抛物线 与圆 交于 ， ， ， 四点，直线 与直线 相交于点 ． （1）求 的取值范围； （2）求点 的坐标． 直线与椭圆的综合 1．（2023秋•兴庆区校级期中）椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点 且短轴长为2． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中垂线与 轴交于点 ， 是椭圆 上的一点，求 的最小值． 2．（2023秋•博爱县校级期中）已知椭圆 的长轴长为 ，且其离心率小于 ， 为椭圆 上一点， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，△ 的面积的最大值为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2） 为椭圆 的上顶点，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 为过点 且与 平行的直线，设 与直线 的交点为 ．证明：直线 过定点． 3．（2023秋•沈阳校级期中）已知椭圆 的一个焦点为 ，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 面积的最大值及此时直线 的方程． 4．（2023秋•秦皇岛期中）已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 过 ，斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，记 的中点为 坐标为 且 ，求直线 的方程，并写出 的坐标． 5．（2023秋•东安区校级期中）椭圆 的离心率是 ，点 ， 是椭圆 上一点，过点 的动直线 与椭圆相交于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）求 面积的最大值； （3）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023秋•湖北期中）已知点 为椭圆 内一点，过点 的直线 与 交于 、 两点．当直线 经过 的右焦点 时，点 恰好为线段 的中点． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．设从椭圆 的左焦点 出发的一束光线经过点 ，被直线 反射，反射后的光线经椭圆二次反射后恰好经过点 ，由此形成的三角形称之为“光线三角形”．求此时直线 的方程，并计算“光线三角形”的周长． 7．（2023秋•虹口区校级期中）已知椭圆 中， 为 的上顶点， 为 上异于上、下顶点的动点， ， 为 轴上的动点． （1）若 ，求点 的纵坐标； （2）设 ，若 是直角三角形，求 的值； （3）若 ，是否存在以 ， 为邻边的平行四边形 ，使得点 在 上？若存在，求出此时点 的纵坐标；若不存在，说明理由． 8．（2023秋•商丘期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 经过原点，交 于不同两点 ， ，且 ， ． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 的直线与 轴正半轴交于点 ，与曲线 交于点 ，点 在 轴的投影为点 ，过点 的另一直线与曲线 交于 ， 两点，若 ，求 所在直线的方程． 9．（2023秋•石家庄期中）已知椭圆 两焦点坐标分别为 ， ， ， ，一个顶点为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）是否存在斜率为 的直线 ，使直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，满足 ．若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由． 10．（2023秋•新吴区校级期中）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 上一点 到点 的距离最大值为4，过点 的直线交椭圆 于点 、 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 为椭圆上一点，且满足 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围． 直线与双曲线的综合 一．解答题（共10小题） 1．（2023秋•四平期中）如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为 ，过点 ， 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点． （1）求双曲线 的标准方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值； （3）证明：直线 过定点． 2．（2023秋•湖北期中）已知点 在双曲线 上． （1）已知点 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点 到 的两条渐近线的距离之积为定值； （2）已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 、 ，在线段 上取异于点 、 的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上． 3．（2023秋•渝中区校级期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 到其中一条渐近线的距离为1，过 且垂直于 轴的直线交双曲线于 ， ，且 ． （1）求 的方程； （2）过 的直线 交曲线 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程． 4．（2023秋•崂山区校级期中）已知点 在双曲线 上． （1）双曲线上动点 处的切线交 的两条渐近线于 ， 两点，其中 为坐标原点，求证： 的面积 是定值； （2）已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 、 ，在线段 上取异于点 、 的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上． 5．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线 的渐近线为 ，左焦点为 ，左顶点 到双曲线 的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线 的左、右支分别交于点 、 ，直线 与双曲线 的左支交于点 ，直线 与双曲线 的右支交于点 ． （1）求双曲线 的方程； （2）求证：直线 过定点． 6．（2023秋•南关区校级期中）已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，直线 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，且 ． （1）求双曲线 的标准方程； （2）设 为双曲线右支上的一个动点，证明：在 轴的负半轴上存在定点 ，使得 ． 7．（2023秋•红山区校级期中）已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为2． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）直线 的方程为 ， 与曲线 交于 ， 两点．求线段 的长． 8．（2023秋•东湖区校级期中）已知双曲线 的离心率为 ，虚轴长为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 、 ，且线段 的中点在圆 上，求 的值． 9．（2023秋•丰都县校级期中）已知双曲线 的中心为坐标原点，对称轴为 轴， 轴，且过 ， 两点． （1）求双曲线 的方程； （2）已知点 ，设过点 的直线 交 于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，当 时，求直线 的斜率． 10．（2023秋•新吴区校级期中）已知双曲线 的中心为坐标原点，右焦点为 ，离心率为 ． （1）求 的方程； （2）记 的左、右顶点分别为 ， ，点 在定直线 上运动，直线 与 双曲线分别交于 ， 两点，证明：直线 恒过定点． 直线与抛物线综合 1．（2023秋•浦东新区校级期中）设抛物线 的焦点为 ，经过 轴正半轴上点 的直线 交 于不同的两点 和 ． （1）若 ，求 点的坐标； （2）若 ，求 的值； （3）若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问：△ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出 点的坐标；若不存在，请说明理由（三角形面积公式：在△ 中，设 ， ，则△ 的面积为 ． 2．（2023秋•上城区校级期中）已知过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，当直线 过抛物线 的焦点时， ． （1）求抛物线 的方程； （2）若点 ，连接 ， 分别交抛物线 于点 ， ，且 与 的面积之比为 ，求直线 的方程． 3．（2023秋•高安市校级期中）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为4． （1）求 ； （2）若点 在 上， ， 为 的两条切线， ， 是切点，求 面积的最大值． 4．（2023秋•红谷滩区校级期中）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． （Ⅰ）求直线 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 为原点， ， ，求证： 为定值． 5．（2023秋•浑南区校级期中）设抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为4的点， ． （1）求抛物线 的方程； （2）设过点 且斜率为1的直线 交抛物线 于 ， 两点， 为坐标原点，求 的面积． 6．（2023秋•江西期中）设抛物线 ，圆 ．已知 上的点到 的准线的距离的最大值为8． （1）求 ； （2）倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点． （ⅰ）若 为圆 的直径，求 的面积； （ⅱ）当 取最大值时，求直线 在 轴上的截距． 7．（2023秋•浑南区校级期中）已知点 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，过点 的直线交抛物线于 ， 两点． （1）求抛物线 的方程； （2）求 的值； （3）如图，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点（点 ， 在 轴的同侧， ，且 ，直线 与直线 的交点为 ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围． 圆锥曲线综合 1．（2023秋•历下区校级期中）已知圆 ，点 ，点 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，点 的轨迹记为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）已知曲线 上一点 ， ，动圆 ，且点 在圆 外，过点 作圆 的两条切线分别交曲线 于点 ， ． 求证：直线 的斜率为定值； 若直线 与 交于点 ，且 时，求直线 的方程． 2．（2023秋•番禺区校级期中）已知椭圆 的离心率是 ，其左、右焦点分别为 ， ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ． （1）求证： ； （2）若点 ，过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 是点 关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 ， ， 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2023秋•湖北期中）平面直角坐标系内有两点 ， ，存在点 使得 恒为 ． （1）求 点轨迹方程； （2）若 点在第三象限，连接 交 轴于点 ，连 交 轴于点 ，四边形 面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由． 4．（2023秋•台州期中）已知 是椭圆 的一个焦点，点 在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于不同两点 ， ，且 为坐标原点），求直线 的斜率的取值范围． 5．（2023秋•青秀区校级期中）在平面直角坐标系 中，动点 在抛物线 上运动，点 在 轴上的射影为 ，动点 满足 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 作直线与曲线 顺次交于 、 两点，过点 作斜率为1的直线与曲线 的另一个交点为点 ，求证：直线 过定点． 6．（2023秋•北碚区校级期中）已知在平面直角坐标系 中， ， ，平面内动点 满足 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）点 轨迹记为曲线 ，若曲线 与 轴的交点为 ， 两点， 为直线 上的动点，直线 ， 与曲线 的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴交点为 ，求 的最小值． 7．（2023秋•杏花岭区校级期中）已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ． （Ⅰ） 求椭圆 的方程； （Ⅱ） 若不经过点 的直线 与 交于 ， 两点，且直线 与直线 的斜率之和为0，证明：直线 的斜率为定值． 8．（2023秋•上城区校级期中）如图，已知： ， 为椭圆 长轴的两个端点， ， 是椭圆 上不同于 ， 的一点，从原点 向圆 作两条切线分别交椭圆 于点 ， ，记直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ， （1）若圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，求圆 的半径． （2）若 ，求半径 的值． 9．（2023秋•东安区校级期中）图， 地在 地东偏北 方向相距 处， 地与东西走向的高铁线（近似看成直线） 相距 ．已知曲线形公路 上任意一点到 地的距离等于到高铁线 的距离，现要在公路旁建造一个变电房 （变电房与公路之间的距离忽略不计）分别向 地、 地送电． （Ⅰ）试建立适当的直角坐标系求环形公路 所在曲线的轨迹方程； （Ⅱ）问变电房 应建在相对 地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 10．（2023秋•越城区校级期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．点 到抛物线 的准线的距离为 ． （1）求椭圆 和抛物线 的方程； （2）如图过抛物线 的焦点作 作斜率为 的直线交抛物线 于 ， 两点（点 在 轴下方），直线 交椭圆 于另一点 记 ， 的面积分别记为 、 ．当 恰好平分 时，求 的值． 11．（2023春•徐汇区校级期中）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 为 上的一点． （1）若点 的坐标为 ， ，求△ 的面积； （2）若点 的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点 、 ，求证： 为定值，并求出该定值； （3）如图，设点 的坐标为 ，过坐标原点 作圆 （其中 为定值， 且 的两条切线，分别交 于点 ， ，直线 ， 的斜率分别记为 ， 如果 为定值，求 的取值范围，以及 取得最大值时圆 的方程． 12．（2023秋•台州期中）已知点 是抛物线 的准线上任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点． （1）写出抛物线 焦点及准线方程； （2）求弦 长的最小值； （3）若直线 交椭圆 于 、 两点， 、 分别是 、 的面积，求 的最小值． 13．（2023秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，已知平行四边形 两条对角线的长度之和等于4． （1）求动点 的轨迹方程； （2）过 作互相垂直的两条直线 、 ， 与动点 的轨迹交于 、 ， 与动点 的轨迹交于点 、 ， 、 的中点分别为 、 ；证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下，求四边形 面积的最小值． 14．（2023秋•丰城市校级期中）已知抛物线 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过 ， ， ， 四点中的两点． （1）求抛物线 的方程： （2）已知圆 ，过点 作圆的两条切线，分别交抛物线 于 ， ， ， 和 ， ， ， 四个点，试判断 是否是定值？若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由． 15．（2023秋•徐汇区校级期中）双曲线 上一点 到左，右两焦点距离的差为2． （1）求双曲线的方程； （2）设 ， 是双曲线的左右焦点， 是双曲线上的点，若 ，求△ 的面积； （3）过 作直线 交双曲线 于 ， 两点，若 ，是否存在这样的直线 ，使 为矩形？若存在，求出 的方程，若不存在，说明理由． 16．（2023秋•滨海新区校级期中）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，短轴长为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线 与椭圆 交于 ， 两点， ， 是椭圆 上位于直线 两侧的动点，且直线 的斜率为 ． 求四边形 面积的最大值； 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，判断 的值是否为常数，并说明理由． 17．（2023秋•天河区校级期中）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，其左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 ．点 在椭圆 上，且满足△ 的周长为6． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个定点 ，使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023秋•蓬江区校级期中）如图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）取平行于 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 、 ，过 、 作圆心为 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 外．求△ 的面积 的最大值，并写出对应的圆 的标准方程． 19．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，椭圆 的一个焦点为 ，且过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若 为垂直于 轴的动弦，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ． （ⅰ）求证：点 恒在椭圆 上； （ⅱ）求 面积的最大值． 20．（2023秋•延吉市校级期中）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 、 为顶点的三角形的周长为 ．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 、 和 、 ． （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题03 圆锥曲线的方程（5种经典基础练+4种优选提升练） 椭圆及其标准方程 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•市南区校级期中）已知 的周长为20，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【解答】解： 的周长为20，顶点 ， ， ， ， 点 到两个定点的距离之和等于定值， 点 的轨迹是椭圆， ， ， 椭圆的方程是 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 2．（2023秋•南海区校级期中）已知方程 表示的曲线是椭圆，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得 ，解可得 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，方程 表示的曲线是椭圆， 则 ， 解可得： ，且 ， 故 的取值范围为 ， ， ； 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题． 3．（2023秋•永昌县校级期中）椭圆 的焦点坐标是 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 【分析】由椭圆的性质求解． 【解答】解：由题意得 ， ， 所以 ，即 ， 又因为椭圆焦点在 轴上， 所以焦点为 ， ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了椭圆性质的应用，属于基础题． 4．（2023秋•沙坪坝区校级期中）若 为椭圆 的左焦点， 为椭圆 上一动点， ，则△ 周长的最大值为 　　 A． B． C．7 D．10 【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有 ，即可求最大值，注意取值条件． 【解答】解：若 为椭圆右焦点，如下图示， ， △ 周长为 ，且 ， 所以 ，而 ， ， 故 ，当且仅当 ， ， 共线且 ， 在 两侧时等号成立， 所以△ 周长的最大值为10． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题． 5．（2023秋•东丽区校级期中）“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的 　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求出方程 表示的曲线为椭圆等价结论，再利用充分必要条件的定义即可求解． 【解答】解： 方程 表示的曲线为椭圆， ， 且 ， 且 ， 是方程 表示的曲线为椭圆的必要不充分条件， 故选： ． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查了圆锥曲线的简单性质，是基础题． 6．（2023秋•临渭区校级期中）如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． 或 D． 且 【分析】根据焦点在 轴上的椭圆方程满足的条件建立不等关系，进而求解结论． 【解答】解： 方程 表示焦点在 轴上的椭圆， ，可得 且 ， 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查解不等式，属于基础题． 二．填空题（共3小题） 7．（2023秋•浦东新区校级期中）已知椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点坐标为 ，且椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，则此椭圆的标准方程为 　 　． 【分析】设椭圆的标准方程为 ，依题意可得 ，从而可求解． 【解答】解：因为椭圆一个焦点坐标为 ，所以设椭圆的标准方程为 ， 依题意可得 ，所以 ， 所以椭圆的标准方程为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题． 8．（2023秋•龙岩期中）写出一个焦点在 轴上，离心率小于 的椭圆的标准方程：　 （答案不唯一，符合 ， 即可）　． 【分析】根据已知求出 ，写出一个即可． 【解答】解：设椭圆的标准方程为 ， 由 ，得 ， 则 ， 不妨 ， ， 故椭圆的标准方程为： ． 故答案为： （答案不唯一，符合 ， 即可）． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题． 9．（2023秋•古浪县校级期中）椭圆经过 ， ，则该椭圆的标准方程为　 　． 【分析】设椭圆的方程为 ， ， ． ，把已知点的坐标代入方程，求解方程组得到 ， 的值，则椭圆方程可求． 【解答】解：设椭圆的方程为 ， ， ， ， 椭圆经过两点 ， ， ，解得 ， ， 椭圆的标准方程为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意待定系数法的合理运用，是基础题． 三．解答题（共1小题） 10．（2023秋•陇县校级期中）（1）已知椭圆的焦距为10，离心率为 ，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为 ，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 【分析】（1）结合椭圆的性质，即可求解； （2）结合双曲线的性质，即可求解． 【解答】解：（1）椭圆的焦距为10，离心率为 ， 则 ，解得 ， ， 故椭圆的标准方程为 或 ； （2）双曲线的渐近线方程为 ，虚轴长为4， 若双曲线的焦点在 轴上， 则 ，解得 ， ， 故双曲线的标准方程为： ， 若双曲线的焦点在 轴上， 则 ，解得 ， ， 故双曲线的标准方程为： ， 综上所述，所求的标准方程为： 或 ． 【点评】本题主要考查圆锥曲线标准方程的求解，属于中档题． 椭圆的简单几何性质 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•雨花区校级期中）已知椭圆 的离心率为 ， ， 是 的两个焦点， 为 上一点，若△ 的周长为 ，则椭圆 的焦距为 　　 A． B． C． D． 【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求 ，可得椭圆的焦距． 【解答】解：设椭圆方程为 ，依题意可知， ， 解得 ，所以椭圆 的焦距为 ． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题． 2．（2023秋•武汉期中）椭圆 左右焦点分别为 、 ，焦距为2，直线 经过 交椭圆于 ， 两点，若 的周长为12，则椭圆标准方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意求得 ， ，得到 ， 的值，结合隐含条件求得 的值，则椭圆的标准方程可求． 【解答】解：由题意可知， ， ， ， ， ， 则椭圆的标准方程为： ． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查椭圆的性质应用，属于基础题． 3．（2023秋•德保县校级期中）已知椭圆方程为 ，则该椭圆的长轴长为 　　 A．6 B．12 C．8 D．16 【分析】利用标准方程可求得 ，再根据长轴定义即可求出结果． 【解答】解：根据椭圆标准方程可知 ，解得 ， 所以该椭圆的长轴长为 ． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 4．（2023秋•钟楼区校级期中）已知椭圆 的左，右焦点 ， ，过原点的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．其中 在第一象限． ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意四边形 为矩形，由勾股定理可得 ，可得 ，可得 的值，又由 的范围，可得 ， 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【解答】解：因为 ，再由椭圆的对称性可得四边形 为矩形，则 ， 因为 ，可得 ， 且 为第一象限，整理可得： ， △ ，可得 ， 所以 ，又 ， 可得 ， 所以 ，整理可得： ， 解得 ， ， 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题． 二．多选题（共2小题） 5．（2023秋•连云区校级期中） 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 点处变轨进以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在 点处变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 ，圆形轨道Ⅲ的半径为 ，则下列结论中正确的序号为 　　 A．轨道Ⅱ的焦距为 B．轨道Ⅱ的长轴长为 C．若 不变， 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小 D．若 不变， 越大，轨道Ⅱ的离心率越大 【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为 ， ，分别结合圆的半径 和 分析选项即可求解． 【解答】解： ，由椭圆的性质知， ， ，解得 ，故 正确； ，由 知 ，故轨道Ⅱ的长轴长为 ，故 正确； ，由 知 ， ，所以 ，若 不变， 越大， 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误，故 错误； ，因为 ，若 不变， 越大，则 越小，所以 越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆、圆的性质，解题中理清数量关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 6．（2023秋•运城期中）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，下列说法正确的是 　　 A．若椭圆 上存在点 ，使 ，且 ，则 B．若 ， 的最大值为6，则 C．若 的方程为 是线段 的中点， ，则 D．若 关于直线 的对称点 在椭圆 上，则 的离心率为 【分析】根据椭圆的几何性质，针对各个选项分别求解即可． 【解答】解：由 ，得 ， 即 ，又 ， 则 ， ， ， 选项错误； ，当线段 长度最小时， 最大． 而根据椭圆的几何性质知 最小时，线段 垂直于 轴， ．故 ，即 ， 选项正确； 由题知 ．由点差法可得 ，又 ， ， 选项正确； 关于直线 的对称点 在椭圆 上．连接 ，交 于点 ， 则 ，且 是 的中点，又 是 的中点． 是△ 的中位线，且 ， 点 到直线 的距离 ， ，由 ，得 ， ， 由 ， ， ， ， 选项正确． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，焦点弦问题，属中档题． 三．填空题（共9小题） 7．（2023秋•沙坪坝区校级期中）若 是椭圆 上一动点， ，则 的最大值为 　4　． 【分析】设 ，应用两点距离公式有 ，结合椭圆的有界性求最大值． 【解答】解：令 ，则 ，又 ， 所以 ，又 ， 所以当 时， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查椭圆的范围，考查两点间距离公式的应用，是基础题． 8．（2023春•武陵区校级期中）已知焦点在 轴的椭圆 的离心率为 ，则 的值为 　21　． 【分析】由题意求出 ，结合离心率为 ，列式求得 值． 【解答】解： 焦点在 轴的椭圆 ， ， ， ，则 ， 又椭圆的离心率为 ，得 ，解得 ． 故答案为：21． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础的计算题． 9．（2023秋•射洪市校级期中）已知 为椭圆 的右焦点， 为 上的一点，若 ，则点 的坐标为 　 　． 【分析】由椭圆的方程可得 ， 的值，再由 ， ， 之间的关系求出 的值，设 的坐标，由椭圆的第二定义可得 的横坐标，代入椭圆的方程可得 的纵坐标． 【解答】解：由椭圆的方程可得 ， ，可得 ， 所以椭圆的右准线的方程为 ，离心率 ， 设 ，由椭圆的第二定义可得 到右准线的距离为 ，则 ， 所以 ，所以 ， 再将 的横坐标代入椭圆的方程可得 ，解得 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的第二定义的应用，属于基础题． 10．（2023秋•黎川县校级期中）已知椭圆 ，点 ， 为椭圆上任意一点， ， 为椭圆的左，右顶点，当 不与 ， 重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线 ， 交于点 ，则动点 的轨迹方程为 　 　． 【分析】由题意，设直线 的方程为 ，联立椭圆方程并由韦达定理得 ， ，再由点斜式写出直线 、 的方程，联立得 ，结合韦达公式化简，即可得轨迹方程． 【解答】解：由题知， 不与 轴重合，设直线 的方程为 ， 联立 ，消 整理得 ，△ ， 设 ， 、 ， ，则 ， ， 因为 的方程为 ， 的方程为 ， 两直线方程联立得： ， 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以动点 的轨迹方程为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，是基础题． 11．（2023秋•翔安区校级期中）椭圆 ， ， 是左、右焦点，点 ，点 为椭圆上一动点，则 的取值范围为 　 　． 【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得 的取值范围，进而求解． 【解答】解：椭圆 ，所以 ， ， ，则 ， ． 如图所示， 点 在椭圆内部， 因为点 为椭圆上的点，则 ，所以 ， 则 ， 又 ，当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立， 所以 ，所以 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的定义，属于基础题． 12．（2023秋•梁溪区校级期中）设 是椭圆 的左焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为 ，则 的最大值为 　11　． 【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案． 【解答】解：由椭圆 ，得 ， ， ， ， 如图： ， ； ， ． 故答案为：11． 【点评】本题考查椭圆的几何性质与椭圆定义的应用，考查数形结合思想，是中档题． 13．（2023秋•宁蒗县校级期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上的一点，延长 交椭圆 于点 ，且△ 为等边三角形，则椭圆 的离心率为 　 　． 【分析】根据椭圆的定义可得 ，则 ，求得 ，结合余弦定理计算可得 ，即可求解． 【解答】解：由椭圆的定义知， △ 的周长为 ， 因为△ 为等边三角形，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 在△ 中，由余弦定理得 ， 整理得， ，所以 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的定义的应用，余弦定理的应用，属于中档题． 14．（2023秋•德城区校级期中）已知椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆 上一点且 ，则 　 　． 【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形的性质即可求解． 【解答】解： 椭圆 得 ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ， ，即 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的标准方程求解焦点三角形，弦长的求法，是中档题． 15．设点 为椭圆 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，且 ，则△ 的面积为 　 　． 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理、三角形的面积公式求解． 【解答】解：设 ， ， 根据椭圆的定义可得， ， 在△ 中，设 ， 由余弦定理可得， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的定义，余弦定理的应用，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 16．（2023秋•鸡冠区校级期中）已知椭圆 的长轴长为10，焦距为6． （1）求 的方程； （2）若直线 与 交于 ， 两点，且线段 的中点坐标为 ，求 的方程． 【分析】（1）由题意得 ， 的值，由 ，即可得所求方程； （2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程． 【解答】解：（1）不妨设 的焦距为 ，长轴长为 ， 此时 ， ， 解得 ， ， 所以 ， 则 的方程为 ； （2）设 ， ， ， ， 因为 ， 两点都在椭圆 上， 代入椭圆方程得 ， 两式相减得 ， 即 ， 线段 的中点坐标为 ， 所以 ， 此时 的斜率 ， 则 的方程为 ， 即 ． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力． 17．（2023秋•东坡区校级期中）已知椭圆 ，其中一个焦点坐标是 ，长轴长是短轴长的2倍． （1）求 的方程； （2）设直线 与 交于 ， 两点，若 ，求 的值． 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系，列出等式即可求解； （2）设出 ， 两点的坐标，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及向量的坐标运算再进行求解即可． 【解答】解：（1）因为椭圆 的其中一个焦点坐标是 ，长轴长是短轴长的2倍， 所以 ， ， 又 ， 解得 ， ， 则椭圆 的标准方程为 ； （2）不妨设 ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ， 解得 ， 由韦达定理得 ， ， 此时 ， 因为 ， 所以 ， 解得 ， 故 ． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 18．（2023秋•天河区校级期中）已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点及上顶点分别记为 、 、 ，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，求 面积的最大值，以及取得最大值时直线 的方程． 【分析】（1）由题意，将 ， 两点的坐标表示出来，得到 ，根据 以及 ，求出 ， 的值，进而即可求解； （2）设 ， ， ， ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形面积公式以及基本不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）易知 ， ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，① 又 ， ② 联立①②，解得 或 （舍去）， 所以 ， ， 则椭圆 的方程为 ； （2）不妨设 ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 所以 ， ， 此时△ ， 解得 ， 所以 ， 而原点 到直线 的距离 ， 所以 ， 令 ， 可得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 面积取得最大值 ，直线方程为 ． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 19．（2023秋•浙江期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点 在 ， 之间），直线 ， 交于点 ，记△ ，△ 的面积分别为 ， ，求 的取值范围． 【分析】（1）利用离心率以及椭圆过的点联立解方程组即可求得椭圆方程； （2）设出直线方程 并与椭圆联立并利用韦达定理得出关系式，解出直线 与 的交点 ，利用弦长公式以及点到直线距离公式可求得面积 ， 的表达式，即可得 ，再由 即可求得 ． 【解答】解：（1）由题意可知离心率为 ， 将点 代入椭圆方程可得 ， 又 ， 解得 ， ， ， 所以椭圆方程为 ． （2）易知 ， ， 设直线 的方程为 ， ， ， ， ，且 ， 联立直线和椭圆方程 ， 整理可得 ， 所以△ ，可得 ， 且 ， 可得直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 解得 ， ， 点到直线 的距离为 ， 所以△ 的面积为 ， △ 的面积为 ， 所以 ， 又 可得 ， 即可得 的取值范围是 ． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 20．（2023秋•四平期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 是 轴上的一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得 ，将点代入方程即可解决； （2） ， ， ， ， ，结合韦达定理得 ，即可解决． 【解答】解：（1）由题知， ， 所以椭圆 为 ， 由点 在椭圆上得 ，解得 ， 故椭圆方程为 ； （2）设 ， ， ， ， ， 由 ，得 ，△ ， 所以 ， 所以 ， ， ， 所以 ，解得 ， 所以存在定点 ，使得 为定值 ． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 双曲线及其标准方程 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•东丽区期中）与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出 的值，结合 可求 的值，则双曲线方程可求． 【解答】解：因为椭圆 的焦点坐标为 ，即 ，所以 ， 记 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以双曲线的标准方程为 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题． 2．（2023秋•兴庆区校级期中）中心在原点，实轴在 轴上，一个焦点在直线 上的等轴双曲线方程是 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意， ， ， ，即可得出结论． 【解答】解：由题意， ， ， ， 中心在原点，实轴在 轴上，一个焦点在直线 上的等轴双曲线方程是 ， 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 二．填空题（共2小题） 3．（2023秋•昌吉市校级期中）与椭圆 有公共焦点，且离心率为 的双曲线方程为 　 　． 【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出 的值，再由双曲线的离心率得出 ，进而可得双曲线的标准方程． 【解答】解：由椭圆方程 ，可得焦点为 ， ， 设双曲线的半焦距为 ，则 ，因双曲线的离心率为 ，则 ， 故 ，所以 ， 所以双曲线的标准方程为： ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，考查计算能力，属于基础题． 4．（2023秋•奉贤区校级期中）以椭圆 的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 　 　． 【分析】由已知求出椭圆的顶点坐标与焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标与顶点坐标，进一步得到 与 的值，则答案可求． 【解答】解：由椭圆的方程 ，得焦点坐标为 ， ，顶点坐标为 、 ， 若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点， 则双曲线的焦点坐标为 ，顶点坐标为 ， ， 则其中 ， ，则 ， 故要求双曲线的方程为： ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，是基础题． 三．解答题（共3小题） 5．（2023秋•庐山市 校级期中）求适合下列条件的曲线的标准方程． （1）实轴长为8，焦点坐标为 ，求双曲线的标准方程； （2）焦点在 轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． 【分析】（1）由题意可知，双曲线为实轴在 轴上的双曲线，并求得 与 的值，代入隐含条件求得 ，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求． （2）由题意设抛物线方程为 ，再由焦点到准线的距离为2，得 ，则抛物线方程可求． 【解答】解：（1） 双曲线焦点坐标 ， 双曲线为实轴在 轴上的双曲线，且 ， 又实轴长为8，即 ，得 ， ，则 ， 双曲线标准方程为： ； （2）由题意可设抛物线方程为 ， 且 ，则抛物线方程为： ． 【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，并考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题． 6．（2023春•福田区校级期中）求下列各曲线的标准方程 （1）长轴长为12，离心率为 ，焦点在 轴上的椭圆； （2）一个焦点为 ，实轴长为6的双曲线． 【分析】（1）由条件求出 ， ，根据椭圆的焦点位置写出椭圆的标准方程； （2）由条件求出 ， ，根据双曲线的焦点位置写出双曲线的标准方程． 【解答】解：（1）由题意， ， ， 又 ，即 ， ， ，又焦点在 轴上， 椭圆的标准方程为 ． （2）由题意， ，双曲线焦点在 轴上， ，即 ， ， 双曲线的标准方程为 ． 【点评】本题主要考查椭圆方程和双曲线方程的求解，属于基础题． 7．（2023秋•香格里拉市校级期中）已知双曲线 的焦点坐标为 ，实轴长为4． （1）求双曲线 标准方程； （2）若双曲线 上存在一点 使得 ，求△ 的面积． 【分析】（1）由题意可得条件 ， ，可得 ，即可求双曲线 标准方程， （2）根据双曲线的定义和勾股定理和三角形的面积公式即可求出． 【解答】解：（1）由条件 ， ， ， 双曲线方程为 ， （2）．由双曲线定义 ， ， ， △ 的面积 【点评】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题． 双曲线的简单几何性质 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•北流市期中）双曲线 的焦点坐标为 　　 A． B． C． D． 【分析】利用双曲线的标准方程，求解焦点坐标即可． 【解答】解：双曲线： ，可得 ， ，则 ，且焦点在 轴上， 所以双曲线的焦点坐标为 ． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 2．（2023秋•五华区校级期中）双曲线 的两个焦点分别是 和 ，焦距为8； 是双曲线上的一点，且 ，则 的值为 　　 A．1 B．4 C．9 D．1或9 【分析】利用双曲线的焦距求解 ，通过双曲线的定义求解即可． 【解答】解：双曲线 的两个焦点分别是 与 ，焦距为8； 可得 ，解得 ， 是双曲线上的一点，且 ， 所以 在双曲线的左支上，所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属基础题． 3．（2023秋•内蒙古期中）双曲线 的实轴长比虚轴长短 　　 A．4 B．2 C．10 D．20 【分析】根据双曲线方程求出实轴长和虚轴长，进而求解即可． 【解答】解：由双曲线 ，得 ， ， 即 ， ， 所以实轴长为 ，虚轴长为 ， 所以实轴长比虚轴长短4． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题． 4．（2023秋•越城区校级期中）已知双曲线 的左焦点为 ， 为 的渐近线上一点， 关于原点的对称点为 ，若 ，且 ，则 的渐近线方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据直角三角形的性质得到 ，再进行求解即可． 【解答】解：根据对称性，不妨设 在左支， 因为 ，且 ， 所以 ， ， 因为 ， 关于原点对称， 所以 ， 又 ， 可得 ， 所以 ， 可得渐近线 的倾斜角为 ， 则双曲线 的渐近线方程为 ． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力． 5．（2023秋•杨浦区校级期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练．如图，教练员指导运动员沿着与边路 平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置 处起脚射门进球的可能性最佳（即点 对球门 所张的角 最大），假如每条虚线都表示在规定的区域 内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点 ，为了研究方便，如图建立坐标系，设 、 ，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点 应在怎样的曲线上 　　 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【分析】根据椭圆定义，结合基本不等式、余弦定理即可判断． 【解答】解：设 ， ，在 中， ， 随着 增大而减小， 最大时，则 最小， 由基本不等式可知，当且仅当 为定值时， 有最小值， 即 为定值且 ， 射门点 应该在椭圆上． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的定义及性质、基本不等式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（2023秋•奉贤区校级期中）已知四条双曲线， ， ， ， ， 关于下列三个结论的正确选项为 　　 ① 的开口最为开阔； ② 的开口比 的更为开阔； ③ 和 的开口的开阔程度相同． A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 【分析】根据离心率的几何意义可知，离心率越大，开口越大，所以求出四条曲线的离心率即可． 【解答】解： ，等轴双曲线，故 ， ， ， ，故 ， ， ， ， ，故 ， ， ，等轴双曲线，故 ， 所以 ，即 ， 根据离心率越大，开口越大，可知①②③都不对． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的标准方程、离心率的计算和几何意义，属于基础题． 7．（2023秋•东丽区期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 与圆 相切，与双曲线在第四象限交于一点 ，且有 轴，则离心率为 　　 A．3 B． C． D．2 【分析】由题意，先求出点 的坐标，设直线 与圆 相切于点 ，求出 ， ， 和 ，再利用三角函数，离心率公式和 ， ， 之间的关系进行求解即可． 【解答】解：易知圆 的圆心为 ，半径 ， 易知双曲线方程为 ， 当 时，解得 ， 因为点 在第四象限， 所以 ， 不妨设直线 与圆 相切于点 ， 此时 ， 易知 ， ， ， 所以 ， 可得 ， 即 ，① 又 ， ，② 联立①②，解得 或 （舍去）． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力． 8．（2023秋•青岛期中）过双曲线 的左焦点 ， 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为 　　 A． B． C． D． 【分析】通过双曲线的特点知原点 为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出 的长度及判断出 垂直于 ，通过勾股定理得到 ， 的关系，进而求出双曲线的离心率． 【解答】解：如图，记右焦点为 ， 则 为 的中点， ， 可得 为 的中点， 为△ 的中位线， ， 为切点， ， ， 点 在双曲线上， ， ， 在 中，有： ， ，即 ， 离心率 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数 ， ， 的关系，注意解题方法的积累，属于中档题． 二．多选题（共1小题） 9．（2023秋•重庆期中）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线 年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系 中，把到定点 、 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线 ．已知点 ， 是双纽线 上一点，下列说法正确的有 　　 A．双纽线 既关于 轴对称，也关于 轴对称 B．△ 面积的最大值为 C．双纽线 上满足 的点 有两个 D． 的最大值为 【分析】根据双纽线的定义求出曲线方程，利用曲线对称性的定义可判断 选项；根据三角形的面积公式可判断 选项；由题意得 ，从而可得点 在 轴上，可判断 选项；由向量的性质结合余弦定理分析判断 选项． 【解答】解：在双纽线 上任取一点 ， 由题意可得 ， 即 ， 化简可得 ， 对于 选项，因为点 为双纽线上一点， 则 ， 点 关于 轴的对称点为 ， ， 则 ， 所以，点 在双纽线 上，故双纽线 关于 轴对称， 同理可知，双纽线 关于 轴对称， 对； 对于 选项，当 时，即当 时， 即当 或 时， ， 此时，△ 的面积取得最大值，即 ， 对； 对于 选项，若双纽线 上的点 满足 ， 则点 在 轴上，即 ， 所以 ，得 ， 所以这样的点 只有一个， 错； 对于 选项，因为 ， 所以 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最大值为 ， 对． 故选： ． 【点评】本题考查曲线方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 10．（2023秋•徐汇区校级期中）双曲线 焦点坐标为 　 　． 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出焦点坐标即得． 【解答】解：双曲线 化为 ，因此双曲线半焦距 ， 所以双曲线 焦点坐标为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查双曲线的标准方程的应用，简单性质的应用，是基础题． 11．（2023秋•万源市校级期中）已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，点 为双曲线上一点，若 到原点的距离 ，则△ 的面积是 　16　． 【分析】由 可得点 在圆 上，且 ，利用双曲线定义和勾股定理可得 ，即可知△ 的面积为16． 【解答】解：如图： 不妨取点 在双曲线的右支上，由 可得点 在圆 上， 由已知可得 ，所以 即为圆 的直径，可得 ， 利用双曲线定义可得 ，再由勾股定理得 ， 所以 ，可得 ， 因此△ 的面积为 ． 故答案为：16． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题． 12．（2023秋•浦东新区校级期中）已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，则△ 的面积为 　 　． 【分析】由题意，设 为双曲线 的右焦点， 为第一象限点，求出 点坐标，再利用三角形面积公式进行求解即可． 【解答】解：不妨设 为双曲线 的右焦点， 为第一象限点， 易知 ， ， 所以 ， 此时以 为圆心，以3为半径的圆的方程为 ， 联立 ， 解得 ， 则 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查双曲线的方程以及圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 四．解答题（共9小题） 13．（2023秋•海陵区校级期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在 轴上，两顶点间的距离是8，离心率 ； （2）渐近线方程是 ，虚轴长为4． 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息，结合双曲线的性质再进行求解即可； （2）根据双曲线的性质，对双曲线的焦点在 轴还是 轴这两种情况进行分析，进而即可求解． 【解答】解：（1）因为该双曲线的顶点在 轴上，两顶点间的距离是8，离心率 ， 所以 ， 解得 ， ， 则 ， 故双曲线的标准方程为 ； （2）当双曲线焦点在 轴上时， 因为渐近线方程是 ，虚轴长为4， 所以 ， 解得 ， ， 则双曲线的标准方程为 ； 当双曲线焦点在 轴上时， 因为渐近线方程是 ，虚轴长为4， 所以 ， 解得 ， ， 则双曲线的标准方程为 ． 综上所述，双曲线的标准方程为 或 ． 【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于基础题． 14．（2023秋•明光市校级期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ． （1）若点 的坐标是 ，且△ 的面积为 ，求双曲线 的渐近线方程； （2）若以 为直径的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 为原点），求双曲线 的离心率． 【分析】（1）由题意，结合三角形面积公式可得 ，再利用 化简整体求出 ，进而可得双曲线 的渐近线方程； （2）作出满足条件的函数图象，利用余弦定理求出 ，进而得到 ，其为渐近线的倾斜角，计算出 的值，结合 得到关于离心率的齐次方程，再求解即可． 【解答】解：（1）若点 的坐标是 ，且△ 的面积为 ， 则 ， 整理得 ， 所以 ， 解得 或 （舍去）， 所以 ， 故双曲线 的渐近线方程是 ； （2）若以 为直径的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ， 此时 ， 又 为原点）， 所以 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 因为 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 即 ，① 又 ，② 联立①②，解得 ， 则 ， 故双曲线 的离心率为2． 【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力． 15．（2023秋•安徽期中）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，且右顶点 到该条渐近线的距离为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 与双曲线 交于 、 两点，线段 的中点为 ，求直线 的斜率． 【分析】（1）根据已知条件求出 的值，利用点到直线的距离求出 的值，即可得出 的值，由此可得出双曲线 的方程； （2）利用点差法可求得直线 的斜率． 【解答】解：（1）因为双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，且直线 的斜率为 ， 因为双曲线 的渐近线为 ， 所以 ， 解得 ， 则双曲线 的渐近线方程为 ， 即 ， 因为右顶点 到该条渐近线的距离为 ， 所以 ， 解得 ， 可得 ， 所以双曲线 的方程为 ； （2）若直线 轴， 此时 ， 两点关于 轴对称， 可得线段 的中点在 轴上，不符合题意； 若直线 与 轴不垂直， 不妨设 ， 、 ， ，直线 的斜率为 ， 此时 ， 即 ， 此时 ， 整理得 ． 因为线段 的中点为 ， 所以 ， ， 则 ， 解得 ， 故直线 的斜率为6． 【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力． 16．（2023秋•盐城期中）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． （1）求双曲线 的标准方程； （2）双曲线 的左支与 轴交于点 ，经过点 的直线与 交于 ， 两点，求 的值． 【分析】（1）根据双曲线的几何性质列出方程组，求得 ， 的值，即可得出双曲线的方程． （2）对直线 的斜率分类讨论：直线 的斜率为0时， ；直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，与双曲线的方程联立化为关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得 的值． 【解答】解：（1）因为双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ， 所以 ，解得 ， 所以双曲线 的标准方程为 ． （2）当直线 斜率为0时， ． 直线 斜率不为0时，设直线 方程为 ， ， ， ， ， 联立方程 ，消去 并整理得 ， 因为直线与 交于两点，故 ，△ ， 所以 ， 而 ， ， 所以 ． 综上可得， ． 【点评】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题． 17．（2023春•麒麟区校级期中）已知双曲线 的左，右焦点为 ， ，离心率为 ． （1）求双曲线 的渐近线方程； （2）过 作斜率为 的直线 分别交双曲线的两条渐近线于 ， 两点，若 ，求 的值． 【分析】（1）由双曲线的离心率可得 ， 的关系，进而可得渐近线的方程； （2）设 ， 的坐标，可得 的中点 的坐标，由 ，可知 ，设直线 的方程，与渐近线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由直线 ，可得 的值． 【解答】解：（1）设 ，则 ， 又 ，所以 ，得 ， 所以双曲线的渐近线方程为 ； （2）设 ， ， ， ，则 的中点为 ， ， ， ， 由 ，可知 ，所以 ， 即 ， 因为 的方程为 ， 双曲线的渐近线方程可写为 ， 由 消去 ，得 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 即 ． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查学生的运算能力与分类整合、转化化归的数学思想，属中档题． 18．（2023秋•浑南区校级期中）已知双曲线 的两个焦点为 ， ，并且 经过点 ． （1）求双曲线 的方程； （2）过点 的直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，求直线 的方程． 【分析】（1）法一：由已知可设双曲线 的方程为 ，利用已知条件列出方程组，求解 、 即可得到双曲线方程． 法二：由已知可设双曲线 的方程为 ，根据双曲线定义得 ，转化求解即可． （2）当直线 斜率不存在，验证不符合题意；设直线 方程为 ，联立 ，得 ，通过①当 ，②当 ，转化求解直线 的方程为 或 ． 【解答】（1）解法一：由已知可设双曲线 的方程为 ， 则 ， 解得 ， 所以双曲线 的方程为 ． 法二：由已知可设双曲线 的方程为 根据双曲线定义得 ， 即 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以双曲线 的方程为 ． （2）当直线 斜率不存在，显然不合题意 所以可设直线 方程为 ， 联立 ，得 ， ①当 ，即 或 ，方程 只有一解，直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，此时，直线 方程为 ， ②当 ，即 ，要使直线 与双曲线 有且仅有一个公共点， 则△ ，解得 ， 此时，直线 方程为 ， 综上所述，直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质以及直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力是中档题． 19．（2023秋•平定县校级期中）已知双曲线 的离心率 ， ， 分别为其两条渐近线上的点，若满足 的点 在双曲线上，且△ 的面积为8，其中 为坐标原点． （1）求双曲线 的方程； （2）过双曲线 的右焦点 的动直线与双曲线相交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由双曲线的离心率可得 ，再由向量的关系，可得 为 的中点，而 在双曲线上，可得 为双曲线的顶点，再由△ 的面积，可得 ， 的关系，进而求出 ， 的值，即求出双曲线的方程； （2）分直线 的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，假设存在 点满足条件，求出 的表达式，要使其值为常数，可得分子分母的对应项成比例，可得定点 的坐标． 【解答】解：（1）由双曲线的离心率 ，可得 ， 因为 ， 为 的中点，由双曲线的对称性及渐近线的对称性，可得 为双曲线的顶点， 所以 ， ， 所以 ，所以可得 ， 所以双曲线的方程为： ； （2）当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ， 联立 ，整理可得： ，可得 ，△ ，即 ， 且 ， ， 假设存在 ， 满足条件， 则 ， ， ， 要使 为定值，则 ，解得 ， 即 满足条件使得 为常数； 当直线 的斜率为0时，则直线 的方程为 ，则 ， ， ， ， ， 可得 ， ， ，也成立， 综上所述： 满足 为常数 ． 【点评】本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合应用，数量积为常数的求法，属于中档题． 20．（2023秋•碑林区校级期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近线与直线 垂直． （1）求 的标准方程； （2）点 为 上一动点，直线 ， 分别交 于不同的两点 ， （均异于点 ，且 ， ，问： 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得 ①， ②， ③，解得 ， ， ，即可得出答案． （2）设 ， ，则 ， ，设 ， ， ， ，由 ，得 ，同理可得 ，则 ，联立直线 与双曲线的方程，结合韦达定理可得 ，则 ，进而可得 ，同理 ，再计算 ，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ，① 因为双曲线 的渐近线与直线 垂直， 所以 ，② 又 ，③ 解得 ， ， 所以双曲线 的方程为 ． （2）设 ， ，则 ， ， 设 ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 同理可得 ， 所以 ， 直线 的方程为 ， 联立双曲线的方程可得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 同理 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 代入 ，得 ， 所以 ， 所以 是定值，定值为 ． 【点评】本题考查双曲线与向量，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题． 21．（2023秋•辽宁期中）已知 ，双曲线 ，椭圆 ， 与 的离心率之积为 ． （1）求 的渐近线方程； （2）设 ， 分别是 的两条渐近线上的动点，且 ，若 是坐标原点， ，求动点 点的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 【分析】（1）先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得 ，从而直接求出双曲线的渐近线方程； （2）设出 ， 的坐标，根据两点距离公式得 ，再利用向量坐标运算公式得 ，代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹． 【解答】解：（1） 离心率是 ， 离心率是 ． 由 ，得 ，所以 的渐近线方程是 ． （2）设 ， ， ， ，则 ， ． 因为 ，所以 ， 即 ， 因为 ，设 ，则 ，故 ， 化简得 点轨迹方程是 ． 则 点轨迹是长轴是4，焦距是 的椭圆． 【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 抛物线及其标准方程 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•南岗区校级期中）抛物线 的准线方程是 　　 A． B． C． D． 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得 ，再根据抛物线性质得出准线方程． 【解答】解：整理抛物线方程得 ， ， 抛物线方程开口向下， 准线方程是 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单性质．属基础题． 2．（2023秋•贺兰县校级期中）准线方程为 的抛物线的标准方程是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为 ，从而可得 ，求解即可． 【解答】解：由抛物线的准线方程为 ，可知抛物线是焦点在 轴负半轴上的抛物线， 设其方程为 ，则其准线方程为 ，得 ． 该抛物线的标准方程是 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题． 二．多选题（共2小题） 3．（2023秋•高碑店市校级期中）平面内到定点 和到定直线 的距离相等的动点的轨迹为曲线 ．则 　　 A．曲线 的方程为 B．曲线 关于 轴对称 C．当点 在曲线 上时， D．当点 在曲线 上时，点 到直线 的距离 【分析】根据抛物线的定义可判断曲线 为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案． 【解答】解：由抛物线定义，知曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， 则焦准距 ，故其方程为 ，故 正确； 抛物线 关于 轴对称，不关于 轴对称，故 错误； 由 知 ，故 正确； 当点 在曲线 上时，由于抛物线 开口向上， 当点 位于原点时，到直线 的距离最小为1， 故点 到直线 的距离 ，所以 错误． 故选： ． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 4．（2023秋•香坊区校级期中）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 的抛物线的标准方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】分焦点在 轴上和 轴上两种情况，利用待定系数法求解即可． 【解答】解：若焦点在 轴上，设方程为 ，将点 的坐标代入，得 ， 解得 ，所以抛物线的标准方程为 ； 若焦点在 轴上，设方程为 ，将点 的坐标代入，得 ， 解得 ，所以抛物线的标准方程为 ． 故抛物线方程为 或 ． 故选： ． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题． 三．填空题（共2小题） 5．（2023秋•乐平市校级期中）以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 　 　． 【分析】分别求出直线 与 轴， 轴的交点，再结合抛物线的性质，即可求解． 【解答】解：①直线 与 轴的交点为 ， 则 ，抛物线的标准方程为 ； ②直线 与 轴的交点为 ， 则 ，抛物线的标准方程为 ． 故答案为： 和 ． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查分类讨论的思想，属于基础题． 6．（2023秋•思明区校级期中）焦点为 的抛物线标准方程为　 　． 【分析】根据题意，设其方程为： ，利用公式可得系数 ，可得此抛物线的标准方程． 【解答】解：由题意，设抛物线方程为： 抛物线的焦点坐标为 ， 抛物线的标准方程是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了抛物线的定义与简单性质，属于基础题 抛物线的简单几何性质 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•兴庆区校级期中）如果抛物线 的准线是直线 ，那么它的焦点坐标为 　　 A． B． C． D． 【分析】结合抛物线的准线确定其焦点即可． 【解答】解：由于抛物线 的准线是直线 ， 所以它的焦点为 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题． 2．（2023秋•牡丹江校级期中）准线方程为 的抛物线的标准方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在 轴正半轴上的抛物线，并求得 值，则答案可求． 【解答】解：由抛物线的准线方程为 ，可知抛物线是焦点在 轴正半轴上的抛物线， 设其方程为 ， 则其准线方程为 ，得 ． 该抛物线的标准方程是 ． 故选： ． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础的计算题． 3．（2023秋•陇县校级期中）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且倾斜角角为 ，若抛物线 上存在点 与点 ， 关于直线 对称，则抛物线 的准线方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】直线 的方程为 ，过点 ， 与直线 垂直的直线方程为 ，联立解得交点坐标，利用中点坐标公式可得 ，即可得出结论． 【解答】解：由抛物线 ，可得焦点 ， ， 直线 的方程为 ， 过点 ， 与直线 垂直的直线方程为 ， 联立 ，解得 ， 设点 ， ，则 ， ， 化为 ， ， 解得 ， 抛物线 的准线方程为 ， 故选： ． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的解法、垂直平分问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．（2023秋•余干县校级期中）定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是 　　 A． B． C． D． 【分析】利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质，根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果． 【解答】解：选项 表示圆心在原点，半径为2的圆， 由圆的性质知 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴， 即 既是中心对称，也是轴对称，故 错误； 选项 ：由椭圆的性质知 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴， 即 既是中心对称，也是轴对称，故 错误； 选项 ：由双曲线的性质知， 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴， 即 既是中心对称，也是轴对称，故 错误； 选项 ：由 ，得到 ，由抛物线性质知， 关于 轴对称，无对称中心，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查圆锥曲线的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 5．（2023秋•全南县校级期中）设抛物线 的准线为 ，定点 ，过准线 上任意一点 作抛物线的切线 ， ， ， 为切点，过原点 作 ，垂足为 ．则线段 长的最大值为 　　 A． B．1 C． D．2 【分析】设切点 ， ， ， ，分别求出切线 ， 的方程，联立方程利用韦达定理求出 ，然后再利用 得到 点在以 为直径的圆上，利用数形结合求出 的最大值即可． 【解答】解：因为抛物线 的准线为 ，焦点为 ， 所以过点 作抛物线的切线 ， ， 设切点 ， ， ， ， 所以 ，则 ， 所以直线 ， 的方程分别为 ； ， 联立可得 ， 所以 ，即 ， 又因为点 在准线 上， 则 ， ， 设直线 的方程为： 代入抛物线的方程可得： ， 所以 ，则 ， 所以直线 过定点 ， 又因为焦点 ， ， 所以 点在以 为直径的圆上， 又因为 的中点为 ， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 二．多选题（共2小题） 6．（2023秋•丰城市校级期中）（多选）设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率可以是 　　 A． B． C．1 D．2 【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围． 【解答】解： 抛物线 的准线与 轴交于点 ， 准线为 ， 点的坐标 ， 又直线 过点 ，且斜率必存在， 可设 ， 联立 ，可得 ， 当 时，得 ，即交点为 ， 当 时，由△ 得，即 ， 解得， 或 ， 综上， 的取值范围是 ， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（2023秋•余干县校级期中）已知方程 表示曲线 ，则 　　 A．当 时，曲线 一定是椭圆 B．当 或 时，曲线 一定是双曲线 C．若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 D．若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 【分析】结合 的范围判断选项 ， ，利用曲线的形状，求解 的范围判断 ， ． 【解答】解：方程方程 表示的曲线为 ． 当 ， 时，曲线 表示椭圆，所以 不正确； 当 或 时，曲线 表示双曲线，所以 正确； 曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，可得 ，解得 ，所以 不正确； 曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，可得 ，并且 ，解得 ，所以 正确； 故选： ． 【点评】本题考查曲线与方程的应用，双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题． 三．填空题（共4小题） 8．（2023秋•安岳县校级期中）已知抛物线的离心率为 ，焦点为 ，则抛物线的标准方程为 　 　 【分析】由抛物线的离心率为1求出 的值，从而得出抛物线的焦点坐标求出抛物线方程． 【解答】解： 抛物线的离心率为1， ， 抛物线的焦点为 ， 抛物线的方程为： ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了抛物线方程，以及抛物线的离心率，是基础题． 9．（2023秋•溧阳市期中）直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且以 为直径的圆过坐标原点，则 　0或 　． 【分析】将题意转化为平面向量数量积问题进而求解即可． 【解答】解：设 ， ， ， ， 由 ， 得 ， 则△ ， 即 ， 则 ， 因为以 为直径的圆过坐标原点， 所以 ， 所以 或 ． 故答案为：0或 ． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题． 10．（2023秋•红谷滩区校级期中）已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ， ， 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ， ，且 ， ，则 的取值范围为 　 ， 　． 【分析】利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理推得 ，再根据 的范围可求出 的范围． 【解答】解：设 ， ，且 在第一象限， 由椭圆和双曲线的定义可得 ， ， 解得 ， ， 在△ 中， ， 由余弦定理可得 所以 ，可得 ，即 ， 即有 ， 当 ， 时，可得 ， ． 故答案为： ， ． 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 11．（2023秋•芜湖期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上任意一点， 为圆 上任意一点，则 的最小值为 　 　． 【分析】根据椭圆的定义，将 的最小值转化为 ，再根据 （当且仅当 ， ， ， 共线时，等号成立），再结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：如图所示， 椭圆 ， 又 为椭圆 上任意一点， 为圆 上任意一点， ， （当且仅当 ， ， 共线时取等号）， ， 当且仅当 ， ， ， 共线时，等号成立， ， ， ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，考查数形结合能力，属于中档题． 四．解答题（共7小题） 12．（2023秋•扬中市校级期中）已知抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且 ，求线段 的中点 到准线的距离． 【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得 ，解出 即可求解； （2）根据抛物线的定义可得 ，从而可得点 的横坐标，再根据抛物线的定义可求解． 【解答】解：（1） 双曲线 的焦点坐标为 ， 又抛物线 的焦点 ， ，即 ． 抛物线 的方程为 ． （2）设 ， ， ， ， 由抛物线定义，知 ， ，于是线段 的中点 的横坐标是1， 又准线方程是 ， 点 到准线的距离等于 ． 【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程，同时还涉及了双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 13．（2023秋•柞水县校级期中）已知抛物线 上的点到 的距离等于到直线 的距离． （1）求抛物线 的标准方程； （2）过点 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求直线 的方程． 【分析】（1）由题意可得 的值，进而求出抛物线的方程； （2）设直线 的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由 ，可得 ，将两根之和及两根之积代入，求出参数的值，求出直线 的方程． 【解答】解：（1）由抛物线的性质，且抛物线 上的点到 的距离等于到直线 的距离， 可得 ， 所以抛物线的方程为： ； （2）由题意可得直线 的斜率不为0， 设直线 的方程为 ，设 ， ， ， ， 联立 ，整理可得： ， 显然△ ， ， ， 因为 ，可得 ，及 ， ， ， 整理可得： ，即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 解得 ， 所以直线 的方程为 ， 即 ． 【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 14．（2023秋•新吴区校级期中）已知 是抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ． （1）求抛物线的标准方程； （2）设直线 过椭圆 的左焦点，且和抛物线 相切，求直线 的方程． 【分析】（1）由题意，设出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系以及的弦长公式进行求解即可； （2）设出直线 的方程，将直线 分别与椭圆和抛物线联立，利用判别式为0，得到 ， 的值，进而求出直线 的方程． 【解答】解：（1）易知 ， 不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ， 由韦达定理得 ， 可得 ， 解得 ， 则抛物线的标准方程为 ； （2）因为椭圆 的左焦点 ， 易知直线 的斜率存在且不为零， 不妨设直线 的方程为 ， 联立 消去 并整理得 ， 因为直线 和抛物线 相切， 所以△ ， 解得 ， 故直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 15．（2023秋•延吉市校级期中）已知抛物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交于两点 ， ，当直线 的倾斜角为 时， ． （1）求抛物线 的标准方程和准线方程； （2）记 为坐标原点，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，求证：以 为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【分析】（1）根据已知得出直线 的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出 ； （2）设直线 的方程为 ，联立方程根据韦达定理得出 ， 的关系．进而表示出 ， 的方程，求出 ， 的坐标，得出圆的方程．取 ，即可得出定点坐标． 【解答】解：（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为 ，直线 的方程为 ， 联立抛物线与直线的方程 ，可得 ， 设 ， ， ， ， 由韦达定理可得 ， 所以 ， 所以 ， 所以抛物线的方程为 ，准线方程为 ． （2）证明：设直线 ， 联立直线与抛物线的方程 ，可得 ， 所以 ， ， 又 ， ， 所以 ， 同理可得 ， 设圆上任意一点为 ， 则由 ，可得圆的方程为 ， 整理可得 ， 令 ，可得 或 ， 所以 为直径的圆过定点，定点坐标为 和 ． 【点评】直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标． 16．（2023秋•重庆期中）已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为4． （1）求抛物线 的标准方程； （2）直线 与抛物线 交于 ， 两个不同的点，若 ，求直线 的方程． 【分析】（1）根据已知条件，结合抛物线的定义可求出 的值，从而可求出抛物线的方程； （2）设点 ， ， ， ，将直线方程代入椭圆方程中消去 ，整理利用根与系数的关系，结合 列方程可求出 ，从而可得直线方程． 【解答】解：（1）因为抛物线 上的点 到焦点 的距离为4， 所以 ，解得 ， 所以抛物线方程为 ． （2）抛物线 的焦点 ，设点 ， ， ， ， 由 ，得 ， △ ，解得 ， ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， 化简得 ， ， 所以直线 的方程为 ． 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用、向量的坐标数量运算，属于中档题． 17．（2023秋•市南区校级期中）在平面直角坐标系 中，点 到 ， 两点的距离之和为4． （1）写出 点轨迹的方程； （2）若直线 与轨迹 有两个交点，求 的取值范围． 【分析】（1）由椭圆定义可判断曲线 为椭圆，且 ， ，根据 ， ， 的关系，可求出 的值，进而得到椭圆方程； （2）若直线 与曲线 有交点，则联立椭圆与直线 的方程，得到的方程组必有解，消去 ，利用判别式求出 的范围． 【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：动点 得轨迹是以 、 为焦点，以4为长轴的椭圆， ， ，即 ， ，解得 ， 点的轨迹方程为： ； （2）联立方程组 ， 消去 得 因为轨迹 与直线 有两个交点，所以△ ， 化简得 解得 ， 所以 的取值范围为 ， ． 【点评】本题主要考查了定义法求椭圆方程，以及直线与椭圆相交位置关系的判断，属于中档题． 18．（2023秋•榆阳区校级期中）如图，已知抛物线 与圆 交于 ， ， ， 四点，直线 与直线 相交于点 ． （1）求 的取值范围； （2）求点 的坐标． 【分析】（1）利用抛物线与圆由4个交点，结合判别式列出不等式组，求解即可． （2）设点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，求解 、 坐标，利用对称性，转化求解即可． 【解答】解：（1）圆 ，化为 ， 将抛物线 的方程代入圆 的方程有 ， ， 由抛物线 与圆 相交有四个交点，必有 解得 ， 故 的取值范围为 ； （2）设点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ， 由对称性可知 ， ， ， ，直线 与直线 相交于点 ． 点 在 轴上，点 的坐标为 ， 由 ，可知 ， ，有 ，可得 ， 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 有 ，有 ，有 ，可得 ， 又由 ，有 ， 故点 的坐标为 ． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，圆与抛物线的位置关系的应用，是中档题． 直线与椭圆的综合 1．（2023秋•兴庆区校级期中）椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点 且短轴长为2． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中垂线与 轴交于点 ， 是椭圆 上的一点，求 的最小值． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可； （2）求出线段 的中点坐标，得到线段 的中垂线方程，求出 的坐标，由椭圆的参数方程得 的坐标，再利用两点间的距离公式和复合函数求最值即可． 【解答】解：（1）由题意，设椭圆 的方程为 ， 因为椭圆 经过点 且短轴长为2，所以 ， ， 所以椭圆的标准方程为 ． （2）由已知，得直线 的方程为 ，设 ， ， ， ， 将直线 代入 ，得 ，解得 ， 不妨设 ，则 ，同理，得 ， 即 ，所以线段 的中点坐标 ， 所以线段 的中垂线 的方程为 ， 因为线段 的中垂线 与 轴交于点 ， 所以令 ，得 ，所以 ， 因为椭圆的标准方程为 ． 所以设椭圆的参数方程为 ， ， ， 因为 是椭圆 上的一点，所以 ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 当 时， 取得最小值为 ． 【点评】本题考查了椭圆的参数方程和性质，直线与椭圆的综合，考查了方程思想和转化思想，属难题． 2．（2023秋•博爱县校级期中）已知椭圆 的长轴长为 ，且其离心率小于 ， 为椭圆 上一点， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，△ 的面积的最大值为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2） 为椭圆 的上顶点，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 为过点 且与 平行的直线，设 与直线 的交点为 ．证明：直线 过定点． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，将长轴长为 ，△ 的面积的最大值为 ，转化为 ， ，结合 ， ， 的关系可得 ， ， 的值，从而可得椭圆的标准方程； （2）先设 ，联立椭圆 ，得 ，根据 ，可得直线 的方程，进而根据对称性可得 过定点． 【解答】解：（1）由题意可知 ， ， ， ， ， 椭圆 的标准方程为： ． （2）证明：设 ， ， ， ， ． 联立直线 与椭圆 的方程 ，消去 可得 ， 则 ， ，则 ， 令 ，解得 ， ， 故直线 的方程为： ， 根据对称性，直线 所过的定点在 轴上，不妨令 ， 则 ， 将 ， 代入得： ， 代入 ， ， 得 ， 故直线 过定点 ． 【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 3．（2023秋•沈阳校级期中）已知椭圆 的一个焦点为 ，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 面积的最大值及此时直线 的方程． 【分析】（1）将 坐标代入椭圆方程，再结合 ， 可求出 ， ，从而可求得椭圆方程； （2）将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式和点到直线的距离公式即可求出 面积的最大值及此时直线 的方程． 【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）设 ， ， ， ， 由 ，得 ， 因为直线 与椭圆 交于 ， 两点， 所以△ ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 因为点 到直线 的距离为 ， 所以 的面积为 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ． 【点评】此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程代入椭圆方程化简结合根与系数的关系求解，考查计算能力，属于较难题． 4．（2023秋•秦皇岛期中）已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 过 ，斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，记 的中点为 坐标为 且 ，求直线 的方程，并写出 的坐标． 【分析】（1）根据题意，得到 和 ，结合 ，求出 ， ，再求出椭圆的方程； （2）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表示出 ， ，根据 得到方程，求出直线 的方程，并写出 的坐标． 【解答】解：（1）由题意，得 △ 中， ， ，且 ， 所以 ，又椭圆 过 ， 所以 ，解得 ， ， 故椭圆方程为 ． （2）设直线 的方程为 ， 联立 与 ，得 ， 则△ ，解得 ， 设 ， ， ， ，则 ， 则 ， 则 ， 故 ，故 ， 因为线段 的垂直平分线交 轴于点 ， 故 ，解得 ， 且 ， 因为 ，所以 ， 平方后，将 代入，化简得 ， 即 ，解得 ， 当 时， ，此时满足 ，直线 方程为 ， 当 时， ，此时满足 ，直线 方程为 ． 【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，直线与椭圆的综合，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题． 5．（2023秋•东安区校级期中）椭圆 的离心率是 ，点 ， 是椭圆 上一点，过点 的动直线 与椭圆相交于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）求 面积的最大值； （3）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）代入公式即可；（2）将 面积表示出来，然后将根与系数的关系代入，转化成求分式函数的最值；（3）分类讨论存在与点 不同的定点 ，使 恒成立． 【解答】解：（1）根据题意，得 ，解得 ， ， ，椭圆 的方程为 ； （2）依题意，设 ， ， ， ，设直线 为 ，联立 ，消去 ， 得 ，△ 恒成立， ， ， 所以 ， 令 ， ， ， 当且仅当 ，即 时取得等号，综上可知， 面积的最大值为 ； （3）结论：存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立．理由如下： 当直线 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点， 如果存在定点 满足条件，则有 ，即 ， 点在直线 轴上，可设 ， 当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 、 两点，如果存在定点 满足条件， 则 ，即 ，解得 或 ， 若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点坐标只能是 ； 当直线 不平行于 轴且不垂直与 轴时，可设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得： ， △ ， ， ， 又点 关于 轴对称的点 的坐标为 ， ， 又 ， ， 则 、 、 三点共线， ； 故存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，属于难题． 6．（2023秋•湖北期中）已知点 为椭圆 内一点，过点 的直线 与 交于 、 两点．当直线 经过 的右焦点 时，点 恰好为线段 的中点． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．设从椭圆 的左焦点 出发的一束光线经过点 ，被直线 反射，反射后的光线经椭圆二次反射后恰好经过点 ，由此形成的三角形称之为“光线三角形”．求此时直线 的方程，并计算“光线三角形”的周长． 【分析】（1）运用点差法，以及 ， ， 的关系，可得 ， ，进而得到椭圆方程； （2）利用直线的对称性，结合椭圆的定义和椭圆的光学性质求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设点 ， 的坐标为 ， ， ， ， 将其代入椭圆方程可得 ， ， 两式相减可得 ， 整理可得 ， 其中 为直线 的斜率，可利用点 及点 计算可得 ， 其中 ， 代入上式可得 ， 即可得 ，根据椭圆三个参数间的关系： ， 可得 ， 综上可得椭圆 的方程为 ； （Ⅱ）设直线 的方程为 ，设点 关于直线 的对称点为 ， 从椭圆 的左焦点 发射一束光线经过直线 进行反射后的反射光线必经过点 ， 现计算点 的坐标，设过点 且与直线 垂直的直线为 ． 直线 与直线 的交点为 ， 从而可得点 的坐标为 ， 为了保证经过椭圆反射后再回到点 ， 根据椭圆的光学性质可知上述反射光线会经过椭圆的右焦点 ， 综上可知点 ， ， 三点共线， 即可知 ，即有 ， 经计算可得 ，符合条件的直线方程为 ， 当直线 为 时，根据条件易知 ， ， 根据椭圆的定义经过点 的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为 ， 此时“光线三角形”的周长为 ， 当直线 为 时，根据条件易知 ， ， 根据椭圆的定义经过点 的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为 ， 此时“光线三角形”的周长为 ． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题． 7．（2023秋•虹口区校级期中）已知椭圆 中， 为 的上顶点， 为 上异于上、下顶点的动点， ， 为 轴上的动点． （1）若 ，求点 的纵坐标； （2）设 ，若 是直角三角形，求 的值； （3）若 ，是否存在以 ， 为邻边的平行四边形 ，使得点 在 上？若存在，求出此时点 的纵坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设点 坐标，由条件点在椭圆上及 ，建立方程组求解即可； （2）按直角顶点的位置分类求解； （3）设直线 ，联立直线 与椭圆方程，可得 点坐标，已知点 ， ，点 ，则由条件 转化为垂直关系，再由平行四边形 得 ，可表达点 坐标，而点 在椭圆上，故可建立 ， 的方程组，求解 ，进而求得点 的纵坐标 ． 【解答】解：（1）由题意知 ，设 ， ，则有 ，且 ， 由 ，则 ， 即 ，解得 ，或 ． 故点 的纵坐标为0或 ； （2）由题意得 ， ， ， ， 则 ， 若 ，则 ， 解得 ， 若 ，则 ， 解得 ，或 ； 若 ，则 ， 解得 ，由已知 ，故舍去， 综上所述， 的值为 或 或1； （3）假设存在点 ， ， ， ，设 中点 ， ， 因为 ，则 ， 当直线 与 轴垂直时，如图可知，不存在满足题意的平行四边形； 故直线 不与 轴垂直， 设直线 的方程为 ， ， 由 ，可得， ， 由已知直线 与椭圆的一个交点 ， 则有 ，则 ， ，则 ， 即 ， 由 ， ， 整理得 ，即 ①， 由 是平行四边形，设 ， ，则 ， 则 ， ， ， ， 则有 ， 即 ，由点 在椭圆 上， 所以 ②， 联立①②消 ，得 ， 解得 ， 则点 的纵坐标为 ， 所以存在以 ， 为邻边的平行四边形 ，使得点 在 上，点 的纵坐标约为0.72． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查方程思想，考查运算求解能力，属难题． 8．（2023秋•商丘期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 经过原点，交 于不同两点 ， ，且 ， ． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 的直线与 轴正半轴交于点 ，与曲线 交于点 ，点 在 轴的投影为点 ，过点 的另一直线与曲线 交于 ， 两点，若 ，求 所在直线的方程． 【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的的定义，以及对称性，即可求解； （2）根据已知条件，结合三角形的面积公式，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，过点 的直线 经过原点， 所以 的方程为 ，且点 ， 关于原点对称． 设 ， ，将 代入 ，化简得 ，即 ， ． ， ． 根据对称性， ， 根据椭圆定义得 ， ． ． 所以 的方程为 ． （2）点 在 轴的投影为点 ，所以 ， 设 ，则 ， ，即 ， ， ， ， ，即 ， 设 ， ， ， ，则 ， ， ． ①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， ，得 ， ，即 ，解得 ， ②当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ， 此时 ，不符合条件． 综上， 所在直线的方程为 或 ． 【点评】本题主要考查椭圆的综合应用，考查转化能力，属于难题． 9．（2023秋•石家庄期中）已知椭圆 两焦点坐标分别为 ， ， ， ，一个顶点为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）是否存在斜率为 的直线 ，使直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，满足 ．若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆 两焦点坐标和一个顶点 ．因此可设椭圆方程 ．得到 ， ，再利用 即可． 假设存在这样的直线 ．设直线 的方程为 ，与椭圆的方程联立可得 ，得到△ ．设 ， ， ， ，线段 中点为 ， ，得到根与系数的关系，再利用中点坐标公式可得 的坐标．由于 ，可得 ，于是 即可得出． 【解答】解：（Ⅰ） 椭圆 两焦点坐标分别为 ， ， ， ，一个顶点为 ． 可设椭圆方程为 ． ， ， ． 椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）存在这样的直线 ． 设直线 的方程为 ，代入椭圆方程化为 △ 得 ① 设 ， ， ， ，线段 中点为 ， ， 则 ， ． 于是 ， ． ， ． 若 ，则直线 过原点， ，不合题意． 若 ，由 得， 得到 ，整理得 ② 由①②知， ， ． 又 ， ， ， ． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线与斜率之间的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 10．（2023秋•新吴区校级期中）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 上一点 到点 的距离最大值为4，过点 的直线交椭圆 于点 、 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 为椭圆上一点，且满足 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由离心率 及 可得关于 ， 的方程，由此可简化椭圆方程，设 ，则 可表示为关于 的函数，据此可求得其最大值为4，解得 ，进而求得 ； （Ⅱ）设 ， ， ， ， ， 方程为 ，与椭圆方程联立消掉 得 的二次方程，由△ 得 ，由韦达定理及 可用 、 表示出点 的坐标，代入椭圆方程得 ①，由弦长公式及 可得 ，故 ②，联立①②可求得 的范围； 【解答】解：（Ⅰ） ， ， 则椭圆方程为 ，即 ． 设 ，则 ， 当 时， 有最大值为 ， 解得 ， ，椭圆方程是 ； （Ⅱ）设 ， ， ， ， ， 方程为 ， 由 ，整理得 ． 由△ ，得 ， ． ， 则 ， ． 由点 在椭圆上，得 ，化简得 ①， 又由 ，即 ， 将 ， 代入得 ，化简得 ，则 ， ②，由①，得 ，联立②，解得 ， 或 ． 【点评】本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强． 直线与双曲线的综合 一．解答题（共10小题） 1．（2023秋•四平期中）如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为 ，过点 ， 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点． （1）求双曲线 的标准方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值； （3）证明：直线 过定点． 【分析】（1）由已知可得 ，求解即可； （2）设直线 ，其中 ， ， ， ， ，联立方程组可得 ， ．可求得 的值； （3）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立方程组可得 ， ，结合（2）可得 ，可证直线 过定点． 【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ， ， 所以双曲线 的标准方程为 ； （2）设直线 ，其中 ， ， ， ， ， 联立方程组 ，整理得 ， 由于 ，且△ ， 所以 ， ． 因为直线 的斜率 ， 的斜率 ， 所以 ， ， 所以 ， 即 为定值为 ． （3）证明：设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 由 ，可得 ， 所以 ， ， 所以 ， 又 ， ， 或 ， 当 时， ，直线过定点 ，不符合题意， 当 时， ，直线过定点 ，符合题意， 所以直线 过定点． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属难题． 2．（2023秋•湖北期中）已知点 在双曲线 上． （1）已知点 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点 到 的两条渐近线的距离之积为定值； （2）已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 、 ，在线段 上取异于点 、 的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上． 【分析】（1）设将 代入双曲线中，求出 ，可得到双曲线的两条渐近线 ， 的方程，点 的坐标为 ， ，点 到两条渐近线的距离分别为 ，则求解 即可证明； （2）设直线 的方程为 ，将直线 的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件 进行等价转化为 ，结合韦达定理化简求出 ， ，最后利用点 坐标满足 ，进而证明点 恒在定直线 上． 【解答】证明：（1）将 代入双曲线中有 ， 解得 ，故双曲线方程为 ， 设点 的坐标为 ， ，则 ，即 ， 双曲线的两条渐近线 ， 的方程分别为 ， 则点 到两条渐近线的距离分别为 ， 则 ， 所以点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为定值； （2）证明：若直线 斜率不存在，此时直线 与双曲线右支无交点，不满足条件， 故直线 斜率存在，设直线 方程 ， 则联立方程 ，消去 得： ， 则 ，因为 恒成立，所以 ，故 ， 解得： ，设 ， ， ， ， 则 ， 设点 的坐标为 ， ，则由 得 ， 变形得到 ， 将 代入上式，解得 ， 将 代入 中，解得 ， 则 ， 故点 恒在一条定直线 上． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的综合应用，属于难题． 3．（2023秋•渝中区校级期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 到其中一条渐近线的距离为1，过 且垂直于 轴的直线交双曲线于 ， ，且 ． （1）求 的方程； （2）过 的直线 交曲线 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程． 【分析】（1）根据 到其中一条渐近线的距离为1求出 的值，根据 求出 的值，再得到双曲线的方程即可； （2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案． 【解答】解：（1）由题意知，双曲线 的渐近线方程为 ， ， ， 到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线 ， 即 ，则 ， 又过 且垂直于 轴的直线交双曲线于 ， ，且 ， 将 代入 中，得 ， 故 ，所以 ， 故 的方程为 ． （2）若直线 的斜率不存在，其方程为 ， 代入 ，得 ，即 ，不符合题意； 故直线 的斜率存在，设其方程为 ，联立 ， 得 ，需满足 ，且△ ， 设 ， ， ， ，则 ， 则 ，即 ，解得 或 ， 故直线 的方程为 或 ， 所以 或 或 ． 【点评】本题考查了利用待定系数法求双曲线的方程，直线与双曲线的综合，考查了方程思想和转化思想，属难题． 4．（2023秋•崂山区校级期中）已知点 在双曲线 上． （1）双曲线上动点 处的切线交 的两条渐近线于 ， 两点，其中 为坐标原点，求证： 的面积 是定值； （2）已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 、 ，在线段 上取异于点 、 的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上． 【分析】（1）由题意，先求出双曲线方程，设 ，得到双曲线过点 的切线方程，将切线方程与双曲线两条渐近线方程联立，得到 ， 点坐标，利用 求出面积为定值； （2）对直线直线 的斜率是否存在进行讨论，当直线 的斜率存在时，设出直线 方程和 ， 的坐标，将直线 的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到相关表达式，设出点 的坐标，根据 得到 ， ，消去参数得到点 恒在一条定直线 上． 【解答】解：（1）证明：因为点 在双曲线 上， 所以 ， 解得 ， 则双曲线方程为 ， 当切线方程的斜率存在时， 不妨设过点 ， 的切线方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 因为 ， 即 ， 又 ， 可得 ， 所以 ， 对等式两边同除以 ，得 ， 即 ， 因为 ， ， 所以 ， 联立 ， 两式相乘得 ， 所以 ， 可得 ， 即 ， 不妨令 ， 此时 ， 即 ， 解得 ， 所以 ， 当切线斜率不存在时， 此时切点为 ，切线方程为 ，满足 ， 综上， 上一点 ， 的切线方程为 ， 不妨设 ， 此时 过点 的切线方程为 ， 所以 为 过点 的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为 ， 联立 ， 解得 ， 联立 ， 解得 ， 所以直线 方程为 ， 即 ， 此时点 到直线 的距离为 ， 又 ， 则 的面积 ，为定值； （2）证明：若直线 斜率不存在，此时直线 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线 斜率存在， 不妨设直线 方程 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 易知 ， 因为 恒成立， 所以 ， 即 ， 解得 ， 由韦达定理得 ， 不妨设 ， ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 由 ， 可得 ， 当 时， 解得 ， 则 ， 故点 恒在一条定直线 上． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力． 5．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线 的渐近线为 ，左焦点为 ，左顶点 到双曲线 的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线 的左、右支分别交于点 、 ，直线 与双曲线 的左支交于点 ，直线 与双曲线 的右支交于点 ． （1）求双曲线 的方程； （2）求证：直线 过定点． 【分析】（1）由条件列关于 ， ， 的方程，解方程求得 ， ， ，即可得双曲线方程； （2）设 ， ， ， ，分别联立直线 ， 与双曲线方程，结合根与系数关系，求点 和点 坐标，利用点斜式表示直线 的方程，即可证明直线过定点． 【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为 ，则 ， 因为双曲线 的渐近线为 ，则 ， 又点 到双曲线渐近线的距离 ， 解得 ，则 ， 所以双曲线 的方程为 ； （2）证明：设 ， ， ， ， 若 ，则 ， 故 ， ， ， ， ， 此时直线 的方程为 ； 若 ，设直线 的方程为 ， 直线 的方程与双曲线方程 联立， 可得 ， 又 ，则 ， 所以 ，即 ， 同理 ， ， 则 ， 则直线 方程为 ， 令 ，则 ， 即 ， 所以直线 过定点 ． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的综合应用，属难题． 6．（2023秋•南关区校级期中）已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，直线 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，且 ． （1）求双曲线 的标准方程； （2）设 为双曲线右支上的一个动点，证明：在 轴的负半轴上存在定点 ，使得 ． 【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线 ，则可求出交点 的坐标，结合 与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案； （2）设 ， ，讨论当 时求出点 ；当 ，设出点 ，由 可知 ，化简利用恒成立，即可求出点 的坐标． 【解答】解：（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线 与渐近线 的交点为 ， 由 ，得 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 又离心率为2，所以 ，故 ． 所以双曲线 的标准方程为 ． （2）证明：由（1）知双曲线 的右焦点为 ． 设 ， ，则 ． ①当 时， ． 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，符合题意． ②当 时，设 ， ． ， ， 因为 ， 所以 （结合正切倍角公式）． 当 时，上式化简为 ， 又 ，所以 ，对任意 ， 恒成立． 所以 ，解得 ，即 ． 当 ， 时，即 也能满足 ． 综上，在 轴的负半轴上存在定点 ，使得 ． 【点评】本题考查双曲线的标准方程、双曲线中满足某条件的定点问题，属于难题，解本题的关键在于将角度的关系转化为斜率的关系，从而列出方程，由恒成立求出答案． 7．（2023秋•红山区校级期中）已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为2． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）直线 的方程为 ， 与曲线 交于 ， 两点．求线段 的长． 【分析】（1）设 ，利用动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为2，建立方程，化简可得结论； （2）直线 的方程与轨迹 的方程联立，消去 ，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段 的长． 【解答】解：（1）设 ，则 动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为2， ， 化简可得 ； （2）设交点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ， 直线 的方程与轨迹 的方程联立，消去 可得 ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键． 8．（2023秋•东湖区校级期中）已知双曲线 的离心率为 ，虚轴长为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 、 ，且线段 的中点在圆 上，求 的值． 【分析】（1）由 ， ，知 ，由此能求出双曲线方程． （2）由 ，得 ，故 ，所以 中点 ，代入圆方程能求出 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， 所求双曲线方程为 ； （2）由 ， 消 得 ， △ ， ， 中点 ， 代入圆方程得 ， ． 【点评】本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想． 9．（2023秋•丰都县校级期中）已知双曲线 的中心为坐标原点，对称轴为 轴， 轴，且过 ， 两点． （1）求双曲线 的方程； （2）已知点 ，设过点 的直线 交 于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，当 时，求直线 的斜率． 【分析】（1）由题意，设双曲线方程的一般式，然后将 ， 的坐标代入，即可得到其标准方程； （2）根据题意，设出过点 的直线方程，然后与双曲线方程联立，结合韦达定理分别表示出 ， 的坐标，再由 列出方程，求解即可得到结果． 【解答】解：（1）设曲线 的方程为 ，由曲线 过点 ， 两点， 得 ，解得 ， 所以曲线 的方程为 ； （2） 由题意可知过点 的直线的方程为 ， 设 ， ， ， ， 由 消去 ，得 ， 则 ， 解得 且 ①， 设 ， ， ， ， 则有 ②， 设直线 的方程为 ， 令 得 ， 所以直线 与 轴交点 的坐标为 ， 同理可得直线 的方程为 ， 令 得 ， 所以直线 与 轴交点 的坐标为 ． 由题意可知 ， 即 ， 即 ， 所以 ③， 将②代入③得 ， 整理得 ， 所以 ， 满足①式， 综上， ． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题． 10．（2023秋•新吴区校级期中）已知双曲线 的中心为坐标原点，右焦点为 ，离心率为 ． （1）求 的方程； （2）记 的左、右顶点分别为 ， ，点 在定直线 上运动，直线 与 双曲线分别交于 ， 两点，证明：直线 恒过定点． 【分析】（1）根据已知条件求得 ， ，从而求得双曲线 的方程． （2）设直线 并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由直线 、 的交点 在 上列方程，整理后求得定点坐标． 【解答】解：（1）设双曲线 ， 右焦点为 ，离心率为 ， ， ， ， ， 的方程为 ． （2）设 ， ， ，直线 ，代入 ， 得 ， 则△ ，且 ， ． ， 直线 ，直线 ， 由直线 ， 的交点 在直线 上，得 ， 即 ， ， ， 化为 ， 若 ，即 ，代入 ， 可得 ， 过曲线的顶点，与题意不符，故舍去， ， 直线 过定点 ． 【点评】本题考查待定系数法求双曲线得标准方程，直线与双曲线的位置关系，直线过定点，属于难题． 直线与抛物线综合 1．（2023秋•浦东新区校级期中）设抛物线 的焦点为 ，经过 轴正半轴上点 的直线 交 于不同的两点 和 ． （1）若 ，求 点的坐标； （2）若 ，求 的值； （3）若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问：△ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出 点的坐标；若不存在，请说明理由（三角形面积公式：在△ 中，设 ， ，则△ 的面积为 ． 【分析】（1）由题意，设 ， ，根据抛物线方程得到焦点坐标和准线，结合抛物线的定义得到点 的横坐标，将点 的横坐标代入抛物线方程中即可求出点 的坐标； （2）设 ， ， ， ，若 ，设出直线 的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的数量积运算即可求解； （3）不妨设 ， ，若 ，可得 ，此时 ， ，推出直线 的斜率 ，结合直线 与直线 平行，设直线 的方程为 ，将直线 的方程代入抛物线方程中，结合根的判别式得到 ，设 ， ，得到其横、纵坐标的表达式，代入三角形面积公式中，结合基本不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）已知抛物线 的焦点为 ，准线 ， 不妨设 ， ，所以 ，解得 ， 所以 ，所以 点的坐标为 或 ； （2）不妨设 ， ， ， ， 若 ，则 ，因为直线 的斜率不为0， 所以设直线 ， 联立 ，消去 ，整理得 ， 所以 ， ， 此时 ； （3）不妨设 ， ，此时 ， 由 ，可得 ， 又 ， ，得到 或 ， 即 或 （舍 ， 故 ， ，所以直线 的斜率为 ， 由题意，可设 的方程为 ， 由 ，可得 ， 由题可知 ，解得 ， 代入 ，得 ，所以 ， 设 ， ，则 ，所以 ， 所以 ， 所以△ 的面积 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 由 ，解得 ， ，所以最小面积为2， 此时 的坐标为 ． 【点评】本题考查抛物线的性质和直线与圆锥曲线的综合问题，属难题． 2．（2023秋•上城区校级期中）已知过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，当直线 过抛物线 的焦点时， ． （1）求抛物线 的方程； （2）若点 ，连接 ， 分别交抛物线 于点 ， ，且 与 的面积之比为 ，求直线 的方程． 【分析】（1）直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出 的值，即可得解； （2）设直线 的方程为 ，与抛物线联立可得 ，直线 的方程 与抛物线联立，设 ， ，则 ，设 ， ，同理可得 ，利用三角形面积公式可得 ，求解即可． 【解答】解：（1）设 ， ， ， ，因为抛物线 的焦点为 ， 所以当直线 过 的焦点时，直线 的方程为 ， 由 得 ， 则 ， ， 整理得 ， 所以 ，故抛物线 的方程为 ． （2）易知直线 的斜率在且不为零，设直线 的方程为 ， 由 得 ， 则△ ，即 或 ， ． 易知直线 的方程为 ， 由 得 ， 设 ， ，则 ， 设 ， ，同理可得 ， 则 ， 得 ，故直线 的方程为 ． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 3．（2023秋•高安市校级期中）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为4． （1）求 ； （2）若点 在 上， ， 为 的两条切线， ， 是切点，求 面积的最大值． 【分析】（1）由点 到圆 上的点最小值为4建立关于 的方程，解出即可； （2）对 求导，由导数的几何意义可得出直线 及 的方程，进而得到点 的坐标，再将 的方程与抛物线方程联立，可得 ， 以及点 到直线 的距离，进而表示出 的面积，再求出其最小值即可． 【解答】解：（1）点 到圆 上的点的距离的最小值为 ，解得 ； （2）由（1）知，抛物线的方程为 ，即 ，则 ， 设切点 ， ， ， ，则易得 ，从而得到 ， 设 ，联立抛物线方程，消去 并整理可得 ， △ ，即 ，且 ， ， ， ， ， ①， 又点 在圆 上，故 ，代入①得， ， 而 ， ， 当 时， ． 【点评】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 4．（2023秋•红谷滩区校级期中）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． （Ⅰ）求直线 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 为原点， ， ，求证： 为定值． 【分析】（Ⅰ）将 代入抛物线方程，即可求得 的值，设直线 的方程，代入抛物线方程，由△ ，即可求得 的取值范围； （Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得 ， ，求得直线 的方程，令 ，求得 点坐标，同理求得 点坐标，根据韦达定理即可求得 为定值． 【解答】解：（Ⅰ） 抛物线 经过点 ， ，解得 ， 设过点 的直线方程为 ， ， ， ， 联立方程组可得 ，消 可得 ， △ ，且 解得 ， 且 ， ， ， 又 、 要与 轴相交， 直线 不能经过点 ，即 ， 故直线 的斜率的取值范围 ， ， ， ； （Ⅱ）证明：设点 ， ， 则 ， 因为 ，所以 ，故 ，同理 ， 直线 的方程为 ， 令 ，得 ，同理可得 ， 因为 ， ， 为定值． 【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题． 5．（2023秋•浑南区校级期中）设抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为4的点， ． （1）求抛物线 的方程； （2）设过点 且斜率为1的直线 交抛物线 于 ， 两点， 为坐标原点，求 的面积． 【分析】（1）利用抛物线的定义求出抛物线的 ，即可顶点抛物线方程． （2）求出抛物线的焦点坐标 ，直线 的方程为 ，联立 消 得： ，利用韦达定理求出 ，求出 到直线 的距离，然后求解数据线的面积． 【解答】解：（1）抛物线 的准线方程为： 由抛物线的定义可知： 抛物线 的标准方程为 ． （4分） （2）由已知， ，直线 的方程为 ， （6分） 联立 消 得： ， 所以 ， （8分） （8分） 所以 ， （10分） 又因为 到直线 的距离 ， 所以 ．　　　　 （12分） 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． 6．（2023秋•江西期中）设抛物线 ，圆 ．已知 上的点到 的准线的距离的最大值为8． （1）求 ； （2）倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点． （ⅰ）若 为圆 的直径，求 的面积； （ⅱ）当 取最大值时，求直线 在 轴上的截距． 【分析】（1）利用圆上点到直线距离的最大值可得答案； （2） 联立方程解出交点坐标，利用三角形面积公式可得答案； 利用弦长公式求出 ，结合基本不等式可得答案． 【解答】解：（1）圆 是以 为圆心3为半径的圆，抛物线 的准线方程为 ， 因为 上的点到 的准线距离的最大值为8，所以 ，解得 ； （2） 若 为圆 的直径，则 过点 ， 又因为 的倾斜角为 ，斜率为1，所以 的方程为 ．设 ， ， ， ． 由 得 ，即 ， 解得 ， 因此， 的面积为 ； 设 ，由于 与 交于 ， 两点， 则 到 的距离为 ， 由 ，得 ①， 由勾股定理， ， 由于 与 交于 ， 两点，由 得 ， 判别式△ ，得 ②， 由①②可知 ， 设 ， ， ， ，则 ， ， 所以 ， 则 ， 令 ，则 ，由基本不等式， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 取得最大值， 此时 的方程为 ，在 轴上的截距为 ． 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题． 7．（2023秋•浑南区校级期中）已知点 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，过点 的直线交抛物线于 ， 两点． （1）求抛物线 的方程； （2）求 的值； （3）如图，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点（点 ， 在 轴的同侧， ，且 ，直线 与直线 的交点为 ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围． 【分析】（1）由题意，根据焦点坐标可得 ，进而得到抛物线 的方程； （2）设出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理再进行求解即可； （3）将 ， ， ， 四点的坐标设出，得到直线 的方程，将直线 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可． 【解答】解：（1）因为抛物线 焦点 ， 所以 ， 解得 ， 则抛物线 的方程为 ； （2）不妨设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 由韦达定理得 ， ， 所以 ， 此时 ； （3）不妨设 ， ， ， ， 易知 ， 所以直线 ，① 即 ， 同理得直线 ，② 联立①②，解得 ， 设直线 的方程为： ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 因为△ ， 所以 ， 由韦达定理得 ， ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 则 ， ， ， 此时 ， 又 ， 所以 ， 则 ， 故 ． 【点评】本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 圆锥曲线综合 1．（2023秋•历下区校级期中）已知圆 ，点 ，点 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，点 的轨迹记为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）已知曲线 上一点 ， ，动圆 ，且点 在圆 外，过点 作圆 的两条切线分别交曲线 于点 ， ． 求证：直线 的斜率为定值； 若直线 与 交于点 ，且 时，求直线 的方程． 【分析】（1）结合圆锥曲线的定义，利用中垂线的性质可求得 的国、轨迹方程； （2） 两切线斜率均存在，且互为相反数，设 ， ， ， ，分别将 ， ， ， 表示成 的式子，代入斜率公式即可； 由 得出 ，代入解出 的值，再求出 ， 坐标即可求方程． 【解答】解：（1）因为线段 的垂直平分线交直线 于点 ， 所以 ， 所以点 轨迹是以 ， 为焦点的双曲线， 所以 ， ， 解得 ， ， 所以 ， 所以曲线 的方程为 ． （2）设 ， ， ， ， 直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 其中 ，且△ ， 所以 ， ， 因为曲线 上一点 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 由已知条件可得直线 和直线 关于 对称， 所以 ， 即 ， 整理得： ， ， ， ， ， 即 ， 则 或 ， 当 时，直线方程为 ， 此时直线过定点 ，故舍去； 故直线的斜率为定值 ； 由 可知 ， ， 又因为 ， 所以 ， 由题意可设 ， 所以 ， 即 时， ， 即 ， ， 所以 ， 解得 （舍去）或 ， 当 时，直线方程为 ； 故直线 的方程为： ． 【点评】本题考查了圆锥曲线的定义、直线方程和设而不解方法，计量较复杂，难点在于第（2）问中找出两切线的斜率互为相反数及由面积关系得到 和 的关系，属于难题． 2．（2023秋•番禺区校级期中）已知椭圆 的离心率是 ，其左、右焦点分别为 ， ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ． （1）求证： ； （2）若点 ，过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 是点 关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 ， ， 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，根据题意求得直线 ，得到 ，进而求得向量 ， 的坐标，即可得证． （2）根据题意，求得椭圆方程为 ，设直线 的方程为 ，联立方程组，求得 ，得出 的方程为 ，令 ，求得 ，即可得到结论． 【解答】（1）证明：设椭圆 的半焦距为 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以直线 ， 令 ，解得 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ； （2）解：若点 ，则 ，解得 ，则 ， ， 所以椭圆方程为 ， 如图所示，设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，则 ， ， 联立方程组 ，整理得 ， 则△ ，且 ， 直线 的方程为 ， 令 ，可得 ， 故在 轴上存在一个定点 ，使得 ， ， 三点共线． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查利用韦达定理法解决直线与椭圆的相交问题，属难题． 3．（2023秋•湖北期中）平面直角坐标系内有两点 ， ，存在点 使得 恒为 ． （1）求 点轨迹方程； （2）若 点在第三象限，连接 交 轴于点 ，连 交 轴于点 ，四边形 面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由． 【分析】（1）根据题中条件可直接得到点 的轨迹，根据轨迹类型即可写出方程； （2）设 ，可求得直线 ， 的方程，继而求得点 ， 的坐标，则可求得 ，再利用 计算即可． 【解答】解：（1）因为 ，所以 ， 且 ，故点 在以原点为圆心，4为半径的圆上，但 点应在优弧 上， 则 点的轨迹方程为 或 ． （2）四边形 面积为定值，证明如下： 设 ， 或 ，则 ， ，所以 ， 所以 ， ， ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ， 且 ， 则 ． 【点评】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线的方程，考查了数形结合思想及方程思想，考查了计算能力，属于难题． 4．（2023秋•台州期中）已知 是椭圆 的一个焦点，点 在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于不同两点 ， ，且 为坐标原点），求直线 的斜率的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得点 到两焦点的距离之和为4，得到 ， ，进而求得 ，即可求得椭圆 的方程； （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知， ，不符合题意，故设直线的方程为 ， ， ， ， ，联立方程组，根据根与系数的关系，求得 ， ，结合 ，求得 ，得到 ，再由 ，列出不等式，即可求解直线 的斜率的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，椭圆 的左焦点为 ， 根据椭圆的定义，可得点 到两焦点的距离之和为 ， 即 ，所以 ， 又因为 ，可得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知， ，不符合题意． 故设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立方程组 ，可得 ， 则 ， ， 所以 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 又由△ ，可得 ，所以 ，解得 或 ， 综上可得，直线 的斜率的取值范围是 ， ， ． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题． 5．（2023秋•青秀区校级期中）在平面直角坐标系 中，动点 在抛物线 上运动，点 在 轴上的射影为 ，动点 满足 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 作直线与曲线 顺次交于 、 两点，过点 作斜率为1的直线与曲线 的另一个交点为点 ，求证：直线 过定点． 【分析】（Ⅰ）设点 ， ， ，点 ， 代入到抛物线 中，由 ，列出相应方程组，求出 ，进而求出动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设直线 ，联立直线 与抛物线 ，表示出 、 两点的关系．由点 写出直线 ，联立直线 与抛物线 ，表示出 、 两点的关系，得到直线 的方程，根据两个关系式消掉 点，得到定点坐标． 【解答】解：（Ⅰ）设点 ， ， ， 则 ，且 ， ， 由 ，得 ， ， 代入 ，得 ， ． 动点 的轨迹 的方程为 ． （Ⅱ）证明：显然，直线 斜率存在，设 的方程为 ， 由 ，得 ， ，则△ ， 设 ， ， ， ，则 ， ①， 直线 的方程为 ， 由 ，得 ， 设 ， 则 ②， 由①②，得 ， ③． 若直线 斜率斜率不存在，则 ，又 ， ， ， 的方程为 ； 若直线 斜率存在，则 ， 直线 的方程为 ，即 ， 将③代入，得 ， ， 故直线 斜率存在时过点 ． 由 知，直线 过点 ． 【点评】本题考查了抛物线轨迹方程的求法，抛物线的性质和直线与抛物线的综合，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题． 6．（2023秋•北碚区校级期中）已知在平面直角坐标系 中， ， ，平面内动点 满足 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）点 轨迹记为曲线 ，若曲线 与 轴的交点为 ， 两点， 为直线 上的动点，直线 ， 与曲线 的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴交点为 ，求 的最小值． 【分析】（1）设 ，根据 列式，再化简即可； （2）设 的直线方程，与圆联立方程，列出根与系数关系，再列出直线 ， 的方程，求得 点纵坐标构建方程，代入韦达定理，求得参数，算出直线必过点，再用几何法求得最短弦即可． 【解答】解：（1）设动点坐标 ， 因为动点 满足 ，且 ， ， 所以 ， 化简可得， ，即 ， 所以点 的轨迹方程为 ； （2）曲线 中，令 ，可得 ， 解得 或 ，可知 ， ， 当直线 为斜率为0时， 即为直径，长度为8； 当直线 为斜率不为0时， 设 的直线方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 可得： ， 化简可得： ， 由韦达定理可得 ， ， 因为 ， ， ， ， ， ， 所以 ， 的斜率为 ， ， 又点 ， 在曲线 上，所以 ， 可得 ， 所以 ， 所以 ， 的方程为 ， ， 令 ，可得 ， 化简可得： ， 又 ， ， ， 在直线 上，可得 ， ， 所以 ， 化简可得： ， 又 ， ， 代入可得： ， 化简可得 ， ， ， 所以 或 ， 当 时， 为 ，必过 ，不合题意； 当 时， 为 ，必过 ， 又 ，即为圆的弦长， 所以当 直径 时，弦长 最小， 此时半径 ，圆心到直线 的距离为 ， ， 综上， 的最小值 ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、韦达定理及数形结合思想，也考查了学生的计算能力，属于难题． 7．（2023秋•杏花岭区校级期中）已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ． （Ⅰ） 求椭圆 的方程； （Ⅱ） 若不经过点 的直线 与 交于 ， 两点，且直线 与直线 的斜率之和为0，证明：直线 的斜率为定值． 【分析】（Ⅰ） 由椭圆 的焦距为 ，且过点 ，列出方程组，解得 ， ，由此能求出椭圆 的方程． （Ⅱ）设点 ， ， ， ，则 ， ，由 ，得 ，由此利用韦达定理、直线的斜率、椭圆性质，能证明直线 的斜率为定值． 【解答】解：（Ⅰ） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点 ， 所以 ， ． （2分） 因为 ，解得 ， ， （3分） 所以椭圆 的方程为 ． （4分） 证明：（Ⅱ）设点 ， ， ， ，则 ， ， 由 ，消去 得 ， ． （5分） 则 ， ， （6分） 因为 ，即 ， （7分） 化简得 ． 即 ． （8分） 代入得 ， （9分） 整理得 ， 所以 或 ． （10分） 若 ，可得方程 的一个根为2，不合题意． （11分） 所以直线 的斜率为定值，该值为 ． （12分） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题． 8．（2023秋•上城区校级期中）如图，已知： ， 为椭圆 长轴的两个端点， ， 是椭圆 上不同于 ， 的一点，从原点 向圆 作两条切线分别交椭圆 于点 ， ，记直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ， （1）若圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，求圆 的半径． （2）若 ，求半径 的值． 【分析】（1）由题意可得 ，则有 ，计算即可得 ，即可得半径； （2）由题意计算 可得 ，即可得 ，结合点到直线距离公式计算可得 ，整理可得 、 分别为关于 的方程 的两根，故有 ，又 ，代入计算即可得 ． 【解答】解：（1）由圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，故 ，则有 ， 则 ，即其半径为 ； （2） ， 由 ， 是椭圆 上的点，故有 ， 即有 ， 故 ， 则有 ， 设 ， ， 则有 ， 整理可得 、 ， 即有 ， ， 由直线 、 斜率存在，故 ， 故 、 分别为关于 的方程 的两根， 故有 ，又 ， 故 ，即 ，又 ， 故有 ，化简可得 ， 故其半径 ． 【点评】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 9．（2023秋•东安区校级期中）图， 地在 地东偏北 方向相距 处， 地与东西走向的高铁线（近似看成直线） 相距 ．已知曲线形公路 上任意一点到 地的距离等于到高铁线 的距离，现要在公路旁建造一个变电房 （变电房与公路之间的距离忽略不计）分别向 地、 地送电． （Ⅰ）试建立适当的直角坐标系求环形公路 所在曲线的轨迹方程； （Ⅱ）问变电房 应建在相对 地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 【分析】（Ⅰ）取经过点 且垂直 的直线为 轴，垂足为 ，并使原点与线段 的中点重合，建立直角坐标系 ，由题意可知环形公路 所在曲线的轨迹是抛物线，直接利用抛物线的定义得到其标准方程； （Ⅱ）利用抛物线的定义，把所要求的最小值转化为在抛物线上取一点，使该点到 点的距离和到高铁线 的距离最小． 【解答】解：（Ⅰ）如图， 取经过点 且垂直 的直线为 轴，垂足为 ， 并使原点与线段 的中点重合，建立直角坐标系 ， 则 ， ， 因为环形公路 上任意一点到 地的距离等于到直线 的距离， 所以 所在的曲线是以 为焦点， 为准线的抛物线． 设抛物线方程为 ，则 ． 环形公路 所在曲线的轨迹方程为 ． （Ⅱ）要使架设电线长度最短，即 最小， 过 作 ，垂足为 ，依题意 ， 当 、 、 三点共线时， 取得最小值，即 取得最小值， 此时 ，位于 地正南方且与 地相距 ，所用电线最短长度为 ． 【点评】本题考查了圆锥曲线的轨迹方程问题，考查了抛物线的定义，体现了数学转化思想方法，解答的关键是正确建立平面直角坐标系，是中档题． 10．（2023秋•越城区校级期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．点 到抛物线 的准线的距离为 ． （1）求椭圆 和抛物线 的方程； （2）如图过抛物线 的焦点作 作斜率为 的直线交抛物线 于 ， 两点（点 在 轴下方），直线 交椭圆 于另一点 记 ， 的面积分别记为 、 ．当 恰好平分 时，求 的值． 【分析】（1）由椭圆离心率和经过点 可得答案； （2）设 ，设直线 ， 的斜率为 ， ，且 ， ， 共线得 ，从而 ，可求出直线 的斜率为 ．当 平分 时，利用 ，求出 ，从而 的值，由此直线 ，由于 ，联立直线 和椭圆方程可得 ，再利用 可得答案． 【解答】解：（1）由于椭圆 的离心率为 ， 则 ， 故设 ， 由于椭圆 经过点 ， 从而 ， 故椭圆 的方程为 ； 由于点 到抛物线 的准线 的距离为 ， 则 ，故 ， 从而抛物线 ； （2）由于 ，设 ， ， ， 设直线 ， 的斜率为 ， ， 由于 ，则 ， ， 由于 ， ，且 ， ， 共线 ， 故 ， 从而 ， ， 从而 ， ， 由于 ，则直线 的斜率 ， 当 平分 时，则 ， 即 ， 即 ， 即 ，从而 或 ， 从而 或 ， 由于 ，故 ， 由此直线 ， ， 由于 ， ， ， 考虑到 ， 从而 ，从而 ， 联立 ，即 ， 从而 ，则 ， 从而 ， 因此 ， ， 从而 ， 从而 ． 【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合，属于难题． 11．（2023春•徐汇区校级期中）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 为 上的一点． （1）若点 的坐标为 ， ，求△ 的面积； （2）若点 的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点 、 ，求证： 为定值，并求出该定值； （3）如图，设点 的坐标为 ，过坐标原点 作圆 （其中 为定值， 且 的两条切线，分别交 于点 ， ，直线 ， 的斜率分别记为 ， 如果 为定值，求 的取值范围，以及 取得最大值时圆 的方程． 【分析】（1）将点 ， 代入求出 ，再求出左、右焦点即可求解． （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解． （3）设出直线 ，直线 ，利用点到直线的距离公式可得 、 是关于 的方程 的两实根，根据题意 为定值，可得 ，设 ， ， ， ，将直线 ，直线 与椭圆联立，求出 ，即求． 【解答】解：（1）由已知条件可得 ，因为 ，所以 ， 又 ， 的坐标分别为 ， ， ， ， 因此△ 的面积为 ； （2）证明：设 ， ， ， ， 由 可得 ， △ ，且 ， ， 又 ， ， 所以 ， ， ， 即有 为定值； （3）因为直线 与 相切，则 ，即 ， 同理，由直线 与 相切，可得 ， 于是 、 是关于 的方程 的两实根， 注意到 ，且 ，故 ， 因 为定值，故不妨设 （定值）， 于是有 ，即 ． 依题意可知， 变化，而 、 均为定值，即有 ，解得 ， 设 ， ， ， ， 由 得 ， 同理 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 因此 ，解得 ，所以 的范围为 ， 当 或 时，直线 ， 关于坐标轴对称，此时圆心 为椭圆顶点，所以圆 的方程为 或 ． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值和圆锥曲线的综合，属于难题． 12．（2023秋•台州期中）已知点 是抛物线 的准线上任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点． （1）写出抛物线 焦点及准线方程； （2）求弦 长的最小值； （3）若直线 交椭圆 于 、 两点， 、 分别是 、 的面积，求 的最小值． 【分析】（1）直接由抛物线方程写出焦点和准线即可； （2）设直线 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长 ； （3）同（2）求出弦长 ，再求出 到直线 的距离 ，求出 的代数式，进而可得面积之比的最小值． 【解答】解：（1）由题意得 ， ，焦点 ，准线方程为 ； （2）先证抛物线 在其上一点 ， 处的切线方程为 ，证明过程如下： 由于点 ， 在抛物线 上，则 ， 联立 ，消去 得 ，即 ， 所以关于 的方程 有两个相等的实根 ，此时 因此，直线 与抛物线 相切，且切点为 ， ． 设 ， ， ， ， ，则以 为切点的切线方程为 ，同理以 为切点的切线方程为 ， 两条切线动过点 ， ，即 ， 所以点 、 的坐标满足直线 的方程，所以直线 的方程为 ，在直线 的方程中，令 ，可得 ，所以，直线 过定点 ； 由题意可知，直线 不与 轴重合，可设直线 的方程为 ，由 ， 得 ，△ 恒成立，由韦达定理得 ， ， 由弦长公式可得 ，当 时，弦 长的最小值为4； （3）设点 到直线 的距离为 ，则 ，设 ， ， ， 由 ， 得 △ 恒成立．由韦达定理得 由弦长公式得 ， ， ，当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 ． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合及抛物线的性质，和三角形面积的表示，及其面积之比的表达式，属于难题． 13．（2023秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，已知平行四边形 两条对角线的长度之和等于4． （1）求动点 的轨迹方程； （2）过 作互相垂直的两条直线 、 ， 与动点 的轨迹交于 、 ， 与动点 的轨迹交于点 、 ， 、 的中点分别为 、 ；证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下，求四边形 面积的最小值． 【分析】（1）根据几何位置关系，可得 ，再根据椭圆定义求解； （2）利用韦达定理表示出 ， 坐标，求出 的直线方程，证明直线 恒过定点，再求出定点的坐标即可． （3）结合韦达定理表示出弦长 ， ，求出四边形 的面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值． 【解答】解：（1）取点 ，则有 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ，因为 ，所以 ， 所以动点 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以 ， ， 所以 ，所以动点 的轨迹方程为 ． （2）证明：当直线 不垂直于 轴时， 不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 由 ，得 ， 所以△ ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，以 代替 ，得 ， 所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ， 由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在 轴上， 令 ，则 ， 所以 ， 所以直线 恒过定点 ， 当 时， ， ， 所以直线 恒过定点 ， 当 垂直于 轴时， 的中点 ， 直线 为 轴，与椭圆 ，无交点，不合题意， 综上，直线 恒过定点 ． （3）由（2），得 ， ， 所以 ， 同理，可得 ， 所以四边形 的面积 ， 令 ，则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当 ，即 时， ，所以 ， 所以四边形 的面积的最小值为 ． 【点评】本题考查了椭圆轨迹方程的求法，椭圆的性质，直线和椭圆的位置关系，考查了转化思想和方程思想，属难题． 14．（2023秋•丰城市校级期中）已知抛物线 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过 ， ， ， 四点中的两点． （1）求抛物线 的方程： （2）已知圆 ，过点 作圆的两条切线，分别交抛物线 于 ， ， ， 和 ， ， ， 四个点，试判断 是否是定值？若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由． 【分析】（1）由题意，根据对称性可知点 和点 不可能同时在抛物线 上，点 和点 也不可能同时在抛物线 上，分别设抛物线的方程为 和 ，再进行检验即可求解； （2）设出直线 的方程，根据点到直线的距离公式求出 的表达式，同理得到 的表达式，易知 ， 是方程 的两个根，利用韦达定理得到 和 ，将直线 与抛物线联立，利用结合韦达定理得到 关于 的表达式，同理得到 关于 的表达式，再代入式子进行求解即可． 【解答】解：（1）抛物线 的顶点在原点，对称轴为坐标轴， 且过 ， ， ， 四点中的两点， 由对称性，点 和点 不可能同时在抛物线 上， 点 和点 也不可能同时在抛物线 上， 则抛物线只可能开口向上或开口向右， 设 ，若过点 ，则 ，得 ， ，抛物线过点 ， 符合题意； 设 ，若过点 ，则 ，得 ， ，但抛物线不过点 ，不合题意． 综上，抛物线 的方程为 ． （2） ，设直线 ，即 ， 由 与圆相切得 ， ， 设 ，同理可得 ， ， 是方程 的两根， ． 联立 ，消 ，得 ， ，同理 ， ， 为定值16． 【点评】本题考查抛物线的性质和直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 15．（2023秋•徐汇区校级期中）双曲线 上一点 到左，右两焦点距离的差为2． （1）求双曲线的方程； （2）设 ， 是双曲线的左右焦点， 是双曲线上的点，若 ，求△ 的面积； （3）过 作直线 交双曲线 于 ， 两点，若 ，是否存在这样的直线 ，使 为矩形？若存在，求出 的方程，若不存在，说明理由． 【分析】（1）由双曲线 上一点 到左，右两焦点距离的差为2．知 ，把点 代入，得 ．由此能求出双曲线方程． （2）设 在第一象限，则 ，解得 ， ，由此能求了△ 的面积． （3）若直线斜率存在，设为 ，代入 ，得 ，若平行四边形 为矩形，则 ，由此能求出不存在直线 ，使 为矩形． 【解答】解：（1） 双曲线 上一点 到左，右两焦点距离的差为2． ，双曲线方程为 ， 把点 ， 代入，得 ． 双曲线方程为： ． （2）设 在第一象限，则 ， 解得 ， ， ， ， ， △ 的面积 ． （3）若直线斜率存在，设为 ，代入 ， 得 ， 若平行四边形 为矩形，则 ， ， 无解． 若直线垂直 轴，则 ， 不满足． 故不存在直线 ，使 为矩形． 【点评】本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想． 16．（2023秋•滨海新区校级期中）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，短轴长为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线 与椭圆 交于 ， 两点， ， 是椭圆 上位于直线 两侧的动点，且直线 的斜率为 ． 求四边形 面积的最大值； 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，判断 的值是否为常数，并说明理由． 【分析】（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ，由短轴长可得 值，根据离心率为 及 ，得 值； （Ⅱ）①设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，代入 得 的二次方程，四边形 的面积 ．，而 易求，代入韦达定理即可求得 的表达式，由表达式即可求得 的最大值；②直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，代入韦达定理即可求得 的值； 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ． 由已知 ，离心率 ， ，得 ， 所以，椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点 、 的坐标为 ， ，则 ， 设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，代入 ， 得： ． 由△ ，解得 ，由根与系数的关系得 ， 四边形 的面积 ， 故当 时， ； ②由题意知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 则 ， 由①知 ， 可得 ， 所以 的值为常数0． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆方程的求解，考查直线的斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大． 17．（2023秋•天河区校级期中）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，其左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 ．点 在椭圆 上，且满足△ 的周长为6． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个定点 ，使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 由题意知： ，由此能求出椭圆 方程． 设 ， ， ， ， ．设直线 的方程为： 存在）联立 ，得： ，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在 ，使得 ． 【解答】解： 由题意知： ， 解得 ， 椭圆 方程为： 设 ， ， ， ， ． 设直线 的方程为： 存在） 联立 ，得： ， 则 又 而 为定值． 只需 ， 解得： ，从而 ． 当 不存在时， 此时，当 时， 故：存在 ，使得 ． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用． 18．（2023秋•蓬江区校级期中）如图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）取平行于 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 、 ，过 、 作圆心为 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 外．求△ 的面积 的最大值，并写出对应的圆 的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为 ，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得 ，则 ，又 ②， ③，联立①②③可求得 ， ； （Ⅱ）设 ， ，圆的半径为 ，直线 方程为： ，则圆 的方程为： ，联立圆与椭圆方程消掉 得 的二次方程，则△ ①，易求 点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉 得 ，则 ，变为关于 的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时 值，由对称性可得圆心 在 轴左侧的情况； 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ， 左焦点 ，将横坐标 代入椭圆方程，得 ， 所以 ①， ②， ③，联立①②③解得 ， ， 所以椭圆方程为： ； （Ⅱ）设 ， ，圆的半径为 ，直线 方程为： ， 则圆 的方程为： ， 由 得 ， 由△ ，即 ，得 ，① 把 代入 ，得 ， 所以点 坐标为 ，代入 ，得 ，② 由①②消掉 得 ，即 ， ， 当且仅当 即 时取等号， 此时 ，椭圆上除 、 外的点在圆 外， 所以△ 的面积 的最大值为 ，圆 的标准方程为： ． 当圆心 、直线 在 轴左侧时，由对称性可得圆 的方程为 ，△ 的面积 的最大值仍为 ． 【点评】本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大． 19．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，椭圆 的一个焦点为 ，且过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若 为垂直于 轴的动弦，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ． （ⅰ）求证：点 恒在椭圆 上； （ⅱ）求 面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）由题设 ， ，从而 ，即可得椭圆 前方程． （Ⅱ） 由题意得 ， ．设 ，则 ， ， ． 由题意知 与 的方程分别为： ， ．由此入手能够推出点 恒在椭圆 上． （ⅱ）设 的方程为 ，代入 得 ．设 ， ， ， ，利用根与系数的关系能够求出 面积的最大值． 【解答】解： （Ⅰ）由题设 ， ，从而 ， 所以椭圆 前方程为 ． （Ⅱ） 由题意得 ， ． 设 ，则 ， ， ．① 与 的方程分别为： ， ． 设 ， ，则有 ，② ，③ 由②，③得 所以点 恒在椭圆 上． （ⅱ）设 的方程为 ， 代入 ，得 ． 设 ， ， ， ，则有 ． ， 令 ，则 ， ， ， 当 ，即 ， 时， 有最大值3，此时 过点 ， 的面积 有最大值 ． 【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力． 20．（2023秋•延吉市校级期中）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 、 为顶点的三角形的周长为 ．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 、 和 、 ． （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意知，椭圆离心率及椭圆的定义，根据以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 、 为顶点的三角形的周长为 ，可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程； （2）设点 ， ，根据斜率公式，求得直线 、 的斜率乘积为1，设直线 的方程，可求出直线 的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得 ， ，代入 ，求得 的值． 【解答】解：（1）由题意知，椭圆离心率为 ，得 ， 因为 ，所以可解得 ， ，所以 ， 所以椭圆的标准方程为 ， 所以椭圆的焦点坐标为 ， 因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 ； （2）设点 ， ，直线 、 的斜率分别为 、 ，则 ， 假设存在常数 ，使得 恒成立， 则设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 代入椭圆方程消 得： ， 设 ， ， ， ，则由韦达定理得 ， ， 同理可得 ． ， ， 存在常数 ，使得 恒成立． 【点评】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，有一定的难度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _123457232$$