第7章 2. 万有引力定律-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 第七章 万有引力与宇宙航行 2. 万有引力定律 知 识 梳 理 知识点 1 行星运动的原因 1. 科学家对行星运动的各种猜想。 （ 1 ） 哥白尼： 太阳坐在它的皇位上， 管理着 围绕它的一切星球。 （ 2 ） 伽利略： 行星的运动与地面的物体遵从 不同的规律， 行星运动是 “惯性” 自行 维持的。 （ 3 ） 笛卡尔： 宇宙由不停旋转着的微粒组 成， 微粒的运动形成旋涡。 太阳和行星 在各自的旋涡中心。 行星旋涡带动卫星 运动， 太阳的旋涡带动行星和卫星一起 运动。 （ 4 ） 开普勒： 行星的运动是由于受到太阳的 类似磁力的作用， 磁力大小与距离成 反比。 2. 胡克和哈雷对行星运动的进一步认识。 胡克和哈雷： 行星的运动是太阳引力的 缘故， 甚至证明了行星轨道如果是圆形时受 到的引力大小跟行星到太阳的距离的二次方 成反比。 3. 牛顿给出了正确的解释。 认为以任何方式改变速度都需要力。 使 行星沿圆或椭圆运动， 需要指向圆心或椭圆 焦点的引力， 利用他的运动定律把行星的运 动与引力联系起来了。 知识点 2 太阳与行星间的引力 1. 太阳对行星的引力。 （ 1 ） 对行星： 太阳的引力提供向心力， 由牛 顿第二定律知 F=ma=m 4π 2 T 2 r 。 （ 2 ） 由开普勒第三定律 r 3 T 2 =k ， 得 F=m · 4π 2 · r 3 T 2 2 " · 1 r 2 =4π 2 k m r 2 。 （ 3 ） 行星受到的引力与行星的质量成正比， 与公转半径的二次方成反比， 即 F∝ m r 2 。 2. 行星对太阳的引力。 由牛顿第三定律可知： 太阳对行星的引 力与行星对太阳的引力是同性质的力， 且大 小相等。 因此， 行星对太阳的吸引力也应跟 太阳的质量成正比， 距离的二次方成反比， 即 F ′∝ m 太 r 2 。 3. 太阳与行星间的引力。 综上， F∝ m 太 m r 2 ， 写成等式即 F=G m 太 m r 2 ， 式中 G 是比例系数， 与太阳、 行星无关。 注意： 在中学阶段只能近圆处理， 但牛顿是 在椭圆轨道下推导引力表达式的。 知识点 3 万有引力定律 1. 月—地检验。 （ 1 ） 目的： 验证月地间的引力与日地间的引 力是同种性质的力， 也与使苹果下落的 力是同种性质的力。 43 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） （ 2 ） 方法： 假设月球、 地球间的引力与太 阳、 行星间引力是同种性质力， 则对于 月地系统可以得到： G m 地 m 月 r 2 =m 月 a 月 ， 整理得 a 月 =G m 地 r 2 ， 假设地球对苹果的 吸引力也是同一种力， 对于自由落体的 苹果， G m 地 m 物 R 2 =m 物 g ， 得 g=G m 地 R 2 ， 由 于月球公转轨道半径是地球半径的 60 倍 ， 则 a 月 g = R r r " 2 = 1 60 2 ， a 月 = g 3600 = 9.8 3600 m/s 2 ≈2.7×10 -3 m/s 2 ； 天文观测数据： r=3.8×10 8 m ， 月球公转周期 T=27.3 d≈ 2.36×10 6 s ， a= 4π 2 T 2 r= 4×3.14 2 ×3.8×10 8 （ 2.36×10 6 ） 2 m/s 2 ≈2.7×10 -3 m/s 2 。 （ 3 ） 结论： 地面物体受到的地球的引力、 月 球受到地球的引力， 与太阳、 行星间的 引力是同种性质的力。 2. 万有引力定律。 （ 1 ） 内容： 自然界任何两个物体都相互吸 引， 引力的方向在它们的连线上， 引力 的大小与物体的质量 m 1 和 m 2 的乘积成 正比、 与它们之间距离 r 的二次方成 反比。 （ 2 ） 表达式： F=G m 1 m 2 r 2 ， m 1 、 m 2 为两物体的 质量， r 为两物体间的距离， G 为引力 常量。 （ 3 ） 适用条件。 ① 适用于两质点间的引力大小的计算。 ② 质量分布均匀的球体， 不论距离远近， 均 可视为位于球心处的质点。 3. 引力常量。 （ 1 ） 引力常量。 ① 牛顿提出万有引力定律 100 多年后， 1798 年英国物理学家卡文迪什在实验室里通过 测量几个铅球之间的万有引力， 比较准确 地得出了 G 的数值。 ② 卡 文 迪 什 测 定 的 数 值 为 G =6.754 × 10 -11 N · m 2 /kg 2 ， 目前推荐的标准值 G = 6.67259 ×10 -11 N · m 2 /kg 2 ， 通常取 G=6.67× 10 -11 N · m 2 /kg 2 。 ③G 适用于任何两个物体。 ④ 引力常量是自然界中少数几个最重要的物 理常量之一。 （ 2 ） 引力常量测定的意义。 ① 证明了万有引力的存在和万有引力定律的 正确性。 ② 使万有引力定律定量计算成为可能， 显示 出其真正的实用价值。 ③ 卡文迪什被称为 “第一个称出地球质量 的人”。 要 点 突 破 要点 1 由万有引力定律得出的思路和 方法 1. 理想模型建立。 （ 1 ） 近圆处理： 由于八大行星绕太阳运动的 椭圆轨道非常接近圆， 因此没有特殊说 明， 可以将天体的运动看成是匀速圆周 运动， 它们之间的万有引力充当做圆周 运动所需的向心力。 （ 2 ） 质点处理： 由于天体间的距离远大于天 体自身的尺寸， 所以， 在研究天体间的 44 学 第七章 万有引力与宇宙航行 引力时， 天体均可视为位于球心处的质 点， F=G m 1 m 2 r 2 中 r 为两球心间的距离。 2. 研究思路及方法。 由果溯因， 从曲线运动合外力不为 0 ， 引力充当向心力， 再由牛顿第二定律结合开 普勒第二定律， 最后由牛顿第三定律得出万 有引力定律表达式。 例 1 （多选） 下列关于行星对太阳引力的 说法正确的是 （ ） A. 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力 是同一性质的力 B. 行星对太阳的引力大小与太阳的质量成 正比， 与行星的质量无关 C. 太阳对行星的引力大于行星对太阳的 引力 D. 行星对太阳的引力与行星到太阳的距离 的二次方成反比 解析： 行星对太阳的引力和太阳对行星的引 力都是万有引力， 性质相同， A 正确； 由万 有引力定律 F=G m 太 m r 2 可知， 引力与两质量 乘积成正比， 与距离的平方成反比， B 错 误， D 正确； 由牛顿第三定律可知行星对太 阳的引力和太阳对行星的引力大小相等， 方 向相反， C 错误。 答案： AD 变式训练 1 （多选） 下列说法正确的是 （ ） A. 在探究太阳对行星的引力规律时， 我们 引用了公式 F= mv 2 r ， 这个关系式实际上 是牛顿第二定律， 是可以在实验室中得到 验证的 B. 在探究太阳对行星的引力规律时， 我们 引用了公式 v= 2πr T ， 这个关系式实际上 是匀速圆周运动的一个公式， 它是由速度 的定义得来的 C. 在探究太阳对行星的引力规律时， 我们 引用了公式 r 3 T 2 =k ， 这个关系式是开普勒 第三定律， 是可以在实验室中得到验证的 D. 在探究太阳对行星的引力规律时， 使用 的三个公式都是可以在实验室中得到验 证的 要点 2 对万有引力定律的理解 1. 普遍性： 万有引力定律不仅适用于星球 间， 也适用于任何两个物体间 （只不过物 体能够看成质点）。 2. 相互性： 两物体间的万有引力是作用力与 反作用力。 3. 宏观性： 在通常情况下万有引力很小， 分 析地表物体受力情况时， 不用考虑物体之 间的万有引力， 只需考虑地球对物体的 引力。 4. 特殊性： 两物体间的万有引力只与两物体 质量和它们之间的距离有关， 与物体所处 思路点拨 万有引力是四种基本相互作用之一， 是宇宙万物间普遍存在的一种相互作用。 各物体间的引力性质相同， 分析行星与 太阳的万有引力， 由牛顿第三定律分析 行星对太阳的引力和太阳对行星的引力 的关系。 45 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 的空间的性质无关， 也与周围有无其他物 体无关。 例 2 （多选） 下列说法正确的是 （ ） A. 万有引力定律 F=G m 1 m 2 r 2 适用于两质点间 的万有引力的计算 B. 根据 F=G m 1 m 2 r 2 ， 当 r→0 时， 物体 m 1 、 m 2 间的引力 F 趋近无穷大 C. 把质量为 m 的小球放在质量为 M 、 半径 为 R 的大球球心处， 则大球与小球间的 万有引力 F=G Mm R 2 D. 两个质量分布均匀且有一定间距的球体 之间的相互作用力也可以用 F=G m 1 m 2 r 2 计 算， r 是两球球心间的距离 解析： 万有引力定律 F=G m 1 m 2 r 2 适用于质点 间引力的计算， 质量分布均匀的球体可视为 质点， A 、 D 正确； 当 r→0 时不能视为质 点， B 错误； 小球放在大球球心处， 由对称 性可知， 大球对小球间的万有引力为 0 ， C 错误。 答案： AD 变式训练 2 要使可视为质点的两物体间万有引力减 小到原来的 1 2 ， 可采取的方法是 （ ） A. 两物体间的距离保持不变， 两物体的质 量均减小为原来的 1 2 B. 两物体间的距离保持不变， 仅一个物体 质量减小为原来的 1 2 C. 两物体的质量均不变， 两物体间的距离 变为原来的 1 2 D. 两物体的质量均不变， 两物体间的距离 变为原来的 2 倍 要点 3 万有引力与重力的关系 1. “天上” 的物体。 “天上” 的物体指的是行星、 卫星等， 它们受到的 “重力” 就是万有引力， 重力是 万有引力的别称。 Gm 地 m （ R+h ） 2 =mg ， g= Gm 地 （ R+h ） 2 这是物体的重力加速度随高度升高而减 小的本质原因。 2. “地上” 的物体。 “地上” 的物体指的是 随地球一起自转的物体 ， 万有引力可以分解为重力 和向心力两个分力， 如图 所示。 （ 1 ） 一般位置： F 向 =m棕 ２ r ， r=Rcos 兹 （ 兹 为纬 度角 ）， 随纬度升高 兹 增大 ， r 减小 ， F 向 减小。 （ 2 ） 赤道处： r=R ， F 向 最大， 重力 G 最小， G min = Gm 地 m R 2 -m棕 2 R 。 思路点拨 注意万有引力定律 F=G m 1 m 2 r 2 的适用 条件： 适用于两质点间的引力计算， 质 量分布均匀的球体可视为位于球心处的 质点。 G R m M F 引 兹 r F 向 46 学 第七章 万有引力与宇宙航行 （ 3 ） 两极处： r=0 ， F 向 最小， 重力 G 最大， G max = Gm 地 m R 2 。 这是重力加速度随纬度升高而增大的本 质原因。 3. “地下” 的物体。 “地下” 的物体指的是地球内部某深度 下 （如矿井里） 在不考虑地球自转影响下的 物体。 重要推论： 质量分布均匀的球壳对其内 部 （任意位置 ） 质点的引力为 0 （不需要 证明）。 如图 ， 在地球内部某 一深度下 （距离地心为 r ）， 物体受到地球的引力等于 半径为 r 的球体对它的引 力， 因为其外部可视为无数多不同半径的同 心球壳， 对物体的合引力均为 0 。 地表物体： G m 地 m R 2 =mg ， m 地 为地球质 量， m 地 =籽V=籽 4 3 πR R " 3 。 某深度下的物体： G m 地 ′m r 2 =mg′ ， m 地 ′= 籽V′=籽 4 3 πr R " 3 。 联立解得 g′ g = r R ， 故随着深度增加， r 减小， 引力减小、 重力减小、 重力加速度 减小。 4. 黄金代换式。 物体随地球自转的向心力很小， 例如： 质量为 50 kg 的人在赤道处， 随地球一起自 转的向心力为 F 向 =m 4π 2 T 2 R=50× 4×3.14 2 （ 24×3600 ） 2 × 6.4×10 6 N=1.69 N ， 它远小于物体的重力 ， 可认为重力近似等于万有引力， G m 地 g R 2 =mg 。 把 Gm 地 =gR 2 称为黄金代换式， 该式把天体 质量 m 地 、 该星球半径 R 及表面的重力加速 度 g 三者联系起来。 例 3 如图所示， 火箭内平台上 放有测试仪器， 火箭从地面启动 后， 以加速度 g 2 竖直向上做匀加 速运动， 升到某一高度时， 测试仪对平台的 压力为启动前压力的 17 18 ， 已知地球半径为 R ， 求火箭此时离地面的高度。 （ g 为地面 附近重力加速度） 解析： 研究测试仪静止时， 由平衡条件知 F N1 =mg ； 启动后 ， 由牛顿第二定律知 F N2 - mg 2 =ma=m g 2 ， 故 F N2 = mg 2 +mg 2 = 17 18 mg ， g 2 = 4 9 g ， 由于地表物体 G m 地 m R 2 =mg ， h 高度处， G m 地 m （ R+h ） 2 =mg 2 ， gR 2 =g 2 （ R+h ） 2 ， 解得 h= R 2 。 答案： h= R 2 R r M M′ O g 2 例 3 题图 思路点拨 此题难点在于 h 高度下重力加速度 不再是地表的重力加速度了， 需要利用 黄金代换式， 找出该处的重力加速度与 地表处重力加速度的关系。 再利用两处 支持力的关系， 结合牛顿第二定律， 求 出高度 h 。 47 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 变式训练 3 关于重力和万有引力的关系， 下列认识 错误的是 （ ） A. 地面附近物体所受的重力就是万有引力 B. 重力是由于地面附近的物体受到地球的 吸引而产生的 C. 在不太精确的计算中， 可以认为物体的 重力大小等于万有引力 D. 严格来说， 重力大小并不等于万有引力， 除两极处物体的重力大小等于万有引力 外， 在地球其他各处的重力都略小于万有 引力 拓 展 创 新 短篇小说 《地球大炮》 中， 提到了一 条由中国的漠河穿过地球到达南极大陆的 最东端南极半岛贯穿地心的隧道， 在忽略 空气阻力的条件下， 由地球直径的一端静 止释放的物体， 将先做加速度逐渐减小的 变加速运动 ， 通过地心时 ， 加速度为零 ， 速度最大， 然后做加速度逐渐增大的变减 速运动 ， 到达另一端时速度刚好减为零 ， 整个过程物体运动的时间约为 42 min 。 为 什么是这样的呢？ 由 “要点 3 万有引力与重力的关系” 可知， 地下某深度下物体的重力加速度为 g′ = g R r ， g 为地表重力加速度， R 为地球半径， r 为物体距地心的距离。 g′ 随 r 减小而减小， 随 r 增大而增大， 当 r=0 时， g′=0 。 所以， 物体先做加速度逐渐减小的变加速运动， 通 过地心时， 加速度为零， 速度最大， 然后做 加速度逐渐增大的变减速运动， 到达另一端 时速度刚好减为零。 随着同学们知识的积 累， 以后， 我们还能证明出这种运动就是振 动中的简谐运动， 加速度随时间按照余弦规 律变化 （ g′=gcos ωt ， ω= g R 姨 = 2π T ）， 周期 T= 2π ω =2π R g 姨 ， 代入 g=9.8 m/s 2 ， R=6.38× 10 6 m ， 可得 T≈84.5 min （而且这个时间也 等于近地卫星绕地球一周的时间）， 故物体 运动的时间 t=0.5T≈42.25 min ， 物体运动的 速度随时间按照正弦规律变化 （ v=v m sin ωt ， ω= R g 姨 = 2π T ， v m =ωR=7.9 km/s ）。 变式训练答案 1. AB 2. B 3. A 48