第6章 1. 圆周运动-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 第六章 圆 周 运 动 课 标 要 求 会用线速度、 角速度、 周期描述匀速圆 周运动。 知道匀速圆周运动向心加速度的大 小和方向。 通过实验， 探究并了解匀速圆周 运动向心力大小与半径、 角速度、 质量的关 系。 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的 向心力。 了解生产生活中的离心现象及其产 生的原因。 知 识 结 构 规 律 公 式 1. 线速度 v= Δs Δt ＝ 2πr T =ωr=2πfr=2πnr 。 2. 角速度 ω= Δθ Δt ＝ 2π T =2πf 。 3. 向心加速度 a n = Δv Δt ＝ v 2 r =ω 2 r＝ 2π T T " 2 r 。 4. 向心力 F n =ma n ＝m v 2 r ＝mω 2 r=m 2π T T " 2 r 。 提 纲 挈 领 1. 圆周运动是一类典型的曲线运动， 大到天 体， 小到微观粒子， 常以圆周的形式运动， 对称性、 周期性、 因果性是其基本特征。 2. 本章内容是力学的核心知识内容， 通过本 章的学习， 将进一步深刻理解力和运动的 关系， 对曲线运动的性质、 特点及研究方 法有更为深入的认识。 本章内容是对牛顿 运动定律学习的延伸， 同时也为后续内容 如天体问题、 功能关系、 粒子运动问题的 学习做好铺垫。 3. 本章内容大致分为三个单元。 第一单元： 圆周运动的性质和描述， 侧重其运动表 现。 第二单元： 圆周运动的深刻理解和动 力学原因， 介绍向心力和向心加速度。 第 三单元： 圆周运动的实例分析、 规律的 应用。 4. 圆周运动是一种特征运动， 要熟练掌握其 特点及分析方法。 要注意新、 旧知识的衔 接， 积极观察， 动手实践， 主动联系生活 实际， 始终贯穿力和运动的观点， 并逐渐 向能量角度思考。 在获得基础知识和基本 技能的同时， 培养科学态度和精神， 提高 自己的科学和人文素养。 5. 在高考中， 圆周运动很少单独命题， 常与 后续内容如天体、 能量、 微观粒子的运动 等综合呈现。 如单独命题则以对概念的理 解、 规律的基本运用为主， 难点不大。 如 2020 年高考全国甲卷第 16 题、 2021 年高 考全国甲卷第 15 题、 2022 年辽宁卷第 13 题等。 运动性质： 变加速曲线运动 圆 周 运 动 动 % % % % % % % % % % % $ % % % % % % % % % % % & 描述圆周运 动的物理量 线速度 角速度 周期、 转速 动 % % % % % $ % % % % % & 运动学 向心加速度 动力学 向心力 实际应用 铁路的弯道 拱形桥 航天器中的失重现象 离心运动 动 % % % % $ % % % % & 16 学 第六章 圆 周 运 动 知 识 梳 理 知识点 1 圆周运动及其线速度 1. 圆周运动。 （ 1 ） 概念： 轨迹为圆周或一段圆弧的机械运 动称为圆周运动。 （ 2 ） 圆周运动的轨迹为圆或圆弧， 故圆周运 动为曲线运动， 一定是变速运动。 2. 线速度。 （ 1 ） 定义： 做圆周运动的物体， 如果时间 Δt 非常小， 弧长 Δs 与时间 Δt 之比就可以 表示物体在某点时运动的快慢， 通常把 它称为线速度的大小。 （ 2 ） 大小： 线速度的大小用公式 v＝ Δs Δt 来计 算， Δs 是在时间 Δt 内通过的弧长， 线 速度的单位是 m/s 。 （ 3 ） 方向： 线速度是矢量， 物体经过圆周上 某点时线速度的方向就是圆周上该点的 切线方向， 与半径垂直。 （ 4 ） 物理意义： 线速度是描述物体做圆周运 动快慢的物理量， 其物理意义与瞬时速 度相同。 线速度的定义体现了极限思想。 3. 匀速圆周运动。 （ 1 ） 定义： 如果物体沿着圆周运动， 并且线 速度的大小处处相等， 这种运动叫作匀 速圆周运动。 （ 2 ） 运动性质： 由于匀速圆周运动的线速度 方向时刻都在变化， 故匀速圆周运动仍 是一种变速运动， 这里的 “匀速” 是指 速率不变。 知识点 2 角速度、 周期和转速 1. 角速度。 （ 1 ） 定义： 连接物体与圆心的半径转过的角 度与转过这一角度所用时间的比值。 （ 2 ） 意义： 描述物体绕圆心转动的快慢。 （ 3 ） 公式： ω＝ Δθ Δt ， 如图所示。 （ 4 ） 单位： 在国际单位制中， 角速 度的单位为弧度每秒， 符号是 rad/s 或 s -1 。 （ 5 ） 角速度也是矢量， 匀速圆周运动是角速 度不变的运动， 但中学阶段不讨论角速 度的方向问题。 2. 周期 T 、 频率 f 和转速 n 。 （ 1 ） 物理意义： 周期、 频率和转速都是描述 物体做圆周运动快慢的物理量。 （ 2 ） 定义。 ① 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫 作周期， 用 T 表示， 单位为秒 （ s ）。 ② 做圆周运动的物体在 1 s 内沿圆周绕圆心 转过的圈数叫作频率， 用 f 表示， 单位为 赫兹 （ Hz ）。 ③ 做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕 圆心转过的圈数叫作转速， 用 n 表示， 单 位为转每秒 （ r/s ） 或转每分 （ r/min ）。 （ 3 ） 关系。 ① 频率与周期的关系式： T= 1 f 。 1. 圆 周 运 动 θ O A B 17 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） ② 频率与转速的关系： 转速 n 若以转 / 分为 单位， 则频率 f= n 60 ； 若以转 / 秒为单位， 则频率 f=n 。 知识点 3 各物理量之间的关系 1. 线速度、 角速度、 周期和频率是从不同角 度描述圆周运动快慢的物理量， 它们之间 的关系可表示为 v= Δs Δt = 2πr T ； ω= Δθ Δt = 2π T =2πf ， 可得 v= ωr 。 2. 各量关系图。 3. 对关系式的理解。 （ 1 ） 对公式 v＝ωr 的理解。 当 r 一定时， v 与 ω 成正比； 当 ω 一定 时， v 与 r 成正比； 当 v 一定时， ω 与 r 成 反比。 （ 2 ） 对 v＝ 2πr T 、 ω＝ 2π T 的理解。 当 r 一定时， v 与 T 成反比， 即线速度 越大周期越小， 说明周期与线速度描述圆周 运动快慢的角度是不同的； 由于在一个周期 内半径转过的角度为 2π ， 所以 ω 一定与 T 成反比， 即转动周期较大其转动的角速度一 定较小。 要 点 突 破 要点 1 对圆周运动的理解 1. 圆周运动的性质。 （ 1 ） 匀速圆周运动线速度的大小不变， 但方 向时刻在改变， 故匀速圆周运动只是匀 速率的运动， 与匀速直线运动中的 “匀 速” 含义不同。 实际上匀速圆周运动是 变速运动。 （ 2 ） 匀速圆周运动线速度的方向不断变化， 且在不同的时间间隔内， 速度变化量 Δv 的方向是不同的， 即速度变化的方 向时刻改变， 故匀速圆周运动是一般的 变速运动， 而不是匀变速运动。 2. 圆周运动的快慢描述。 线速度、 角速度、 周期、 转速都能描述 圆周运动的快慢， 但它们描述的角度不同。 （ 1 ） 线速度侧重描述质点沿圆周运动的快 慢， 意义等同于直线运动中的瞬时速度。 （ 2 ） 角速度、 周期、 转速侧重描述质点绕圆 心转动的快慢， 是圆周运动特有的描述 方式。 （ 3 ） 它们都有一定的局限性， 任何一个量都 无法全面准确地描述圆周运动的快慢。 例 1 匀速圆周运动属于 （ ） A. 匀速运动 B. 匀加速运动 C. 加速度不变的曲线运动 D. 加速度变化的曲线运动 线速度 v= Δs Δt 角速度 ω= Δθ Δt v=ωr ω= 2π T v= 2πr T v=2πrn 圆 周 运 动 各 物 理 量 间 的 关 系 周期 T 转速 n （频率 f ） T= 1 f ω=2πn 18 学 第六章 圆 周 运 动 解析： 线速度是矢量， 在匀速圆周运动中， 线速度大小不变， 但方向不断变化， 所以匀 速圆周运动是变速运动， A 错误； 其速度改 变量的方向也时刻改变， 即加速度方向也不 断发生变化， 所以 B 、 C 错误， D 正确。 答案： D 变式训练 1 （多选） 关于匀速圆周运动， 下列说法 正确的是 （ ） A. 匀速圆周运动是变速运动 B. 匀速圆周运动的速率不变 C. 做匀速圆周运动的物体在任意相等时间 内通过的位移相等 D. 做匀速圆周运动的物体在任意相等时间 内通过的路程相等 要点 2 典型传动装置特点及其规律 对于各种传动装置的分析应用， 体现出 我们对于物理对象、 情境和条件的理解。 首 先要弄清该装置的特征， 确定该环境下的确 定量； 明确各个对象之间的关系， 找到分 析、 比较的桥梁， 从而推导出各个物理量间 的关系。 1. 共轴 （同盘） 转动。 做圆周运动的物体， 若绕 同一转轴转动， 则各点的角速 度相等， 周期和频率也相等。 如图所示， A 点和 B 点在同轴的一个 “圆 盘” 上， 故角速度相同， 转动方向也相同。 但因 A 、 B 两点与轴的距离不同， 即转动半 径不同， 则线速度的大小不同。 设半径分别 为 r 和 R ， 且 r<R ， 其线速度的大小、 角速 度、 周期之间存在的定量关系： v A v B = r R ， ω A =ω B ， T A =T B 。 2. 皮带 （链条） 传动。 如图所示 ， A 点 和 B 点分别是两个轮 子边缘上的点 ， 两个 轮子用皮带连起来， 并且皮带不打滑， 则它 们的线速度大小必然相同， 但因为半径不 同， 所以角速度不同。 其线速度、 角速度、 周期之间存在的定 量关系： v A =v B ， ω A ω B = r R ， T A T B = R r 。 3. 齿轮 （摩擦轮） 传动。 如图所示， A 点 和 B 点分别是两个 齿轮的边缘上的点， 两个齿轮的轮齿啮合。 两个齿轮在同一时间内转过的齿数相等， 或 者说 A 、 B 两点的线速度大小相等， 但它们 的转动方向恰好相反， 即当 A 顺时针转动 时， B 逆时针转动。 其线速度的大小 、 角 速度 、 周期存在的定量关系： v A =v B ， T A T B = r A r B = n A n B ， ω A ω B = r B r A = n B n A 。 式中 n A 、 n B 分别表示齿轮的齿数， 因为 两齿轮齿距相等， 故周长 l= 齿数 × 齿距， 又 周长 l=2πr ， 所以齿数 × 齿距 =2πr ， 齿数正比 圆周运动属于曲线运动， 一定是变 速运动； 所谓 “匀速圆周运动”， 仅是线 速度的大小不变。 思路点拨 A B r R O R O 1 A B O 2 r A B r A O 1 r B O 2 19 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 于半径， 因此有 n A n B = r A r B 。 例 2 某种变速 自行车， 有六个 飞轮和三个链轮 （如图）， 链轮和 飞轮的齿数如下表 ， 前 、 后轮的直径为 660 mm ， 人骑自行车前进速度为 4 m/s 时， 两轮不打滑， 则脚踏板做圆周运动的角速度 最小值约为 （ ） A. 1.9 rad/s B. 3.5 rad/s C. 3.8 rad/s D. 7.1 rad/s 解析： 后轮： ω 后轮 = v r = 4 0.33 rad/s≈12 rad/s 。 飞轮： ω 飞轮 =ω 后轮 =12 rad/s 。 由两轮不打滑条件知： v 链轮 =v 飞轮 ， 即 ω 链轮 r 链轮 =ω 飞轮 r 飞轮 ， 得 ω 链轮 = r 飞轮 r 链轮 · ω 飞轮 。 至此， 需确定轮的半径与齿数间的关系。 因 圆周长 l=2πr ， 又因每单位长度上的齿数 n 是一定的， 故总齿数为 N=nl=n · 2πr 。 由齿数与半径成正比得 r 飞轮 r 链轮 = N 飞轮 N 链轮 。 联立以上各式， 得 ω 链轮 = N 飞轮 N 链轮 ω 飞轮 。 式中 ω 飞轮 =12 rad/s ， 为使 ω 链轮 最小， 应同时 使 N 飞轮 最小、 N 链轮 最大。 将 N 飞轮 =14 ， N 链轮 =48 及 ω 飞轮 =12 rad/s 代入 上式， 解得 ω 链轮 min ≈3.5 rad/s 。 答案： B 变式训练 2 （多选 ） 如图所 示 的 传 动 装 置 中 ， B 、 C 两轮固定在一 起 绕 同 一 轴 转 动 ， A 、 B 两轮用皮带传动， 三个轮的半径关系 是 r A ＝r C ＝2r B 。 若皮带不打滑， 则 A 、 B 、 C 三轮边缘上 a 、 b 、 c 三点 （ ） A. 角速度之比 1 ∶ 2 ∶ 2 B. 角速度之比 1 ∶ 1 ∶ 2 C. 线速度之比 1 ∶ 2 ∶ 2 D. 线速度之比 1 ∶ 1 ∶ 2 要点 3 圆周运动的周期性特点及应用 1. 圆周运动的周期性。 圆周运动本身具有周期性， 周期性是匀 速圆周运动的一个重要特点， 即每隔周期整 数倍的时间， 运动物体的位置及状态就会重 复。 例如： 相同的线速度可以对应无数个 名称 链轮 飞轮 齿数 N/ 个 48 38 28 14 16 18 21 24 28 后轮 飞轮 链条 踏板 链轮 例 2 题图 此题难点在于信息量大。 表格中列 举了 9 个数据， 且涉及多个转动的物体： 飞轮、 后轮、 链轮和脚踏板。 首先需要 明确链轮和飞轮是皮带传动模型， 飞轮 和后轮是共轴转动模型。 解答此题关键 在于理清各传动轮的角速度、 线速度之间 的关系， 外推出脚踏板做圆周运动的角速 度与自行车速度的关系， 推理顺序： 踏板 ω 同 链轮 v 同 飞轮 ω 同 后轮 v 同 自行车车速。 思路点拨 A B C a b c 变式训练 2 题图 20 学 第六章 圆 周 运 动 时刻。 2. 圆周运动的多解问题。 圆周运动具有周期性这一特点， 决定了 该物理事件的条件或者结论往往不是单一 的， 而是一系列的， 称之为多解问题。 因此 要准确理解物理条件， 判断出满足条件的所 有可能性， 思维应具有严密性。 3. 圆周运动与其他运动的综合问题。 在圆周运动与其他运动 （如直线运动、 抛体运动） 的综合问题中， 各运动过程具有 独立性， 但如果它们发生在同一时段， 那么 “时间” 往往是联系各个运动之间的 “桥梁”。 例 3 如图所示 ， 半径为 R 的圆盘绕垂直于盘面的中心 轴匀速转动， 在其正上方 h 处沿半径 OB 方向水平抛出 一小球， 要使小球与圆盘只 碰一次， 且落点恰好为圆盘边缘上的 B 点， 求小球的初速度 v 的大小及圆盘转动的角速 度 ω 的大小。 解析： 小球做平抛运动， 在水平方向上满足 R=v 0 t ， 在竖直方向上满足 h = 1 2 gt 2 ， 故 解得 v 0 =R g 2h 姨 。 要使小球落到 B 处， 则小球在下落的这段时 间内， B 点刚好转了 k 圈， 则 ωt=2kπ （ k=1 ， 2 ， 3 ， …）， 解得 ω=2kπ g 2h 姨 （ k=1 ， 2 ， …）。 答案： R g 2h 姨 ， 2kπ g 2h 姨 （ k=1 ， 2 ， …） 变式训练 3 （多选） 如图所示， 电风 扇在闪光灯下运转。 闪光灯 每秒闪 30 次 ， 风扇转轴 O 上装有 3 个扇叶， 它们互成 120° 角， 当风扇转动时， 观察者感觉扇叶不 动。 则风扇转速可能是 （ ） A. 600 r/min B. 900 r/min C. 1200 r/min D. 3000 r/min 拓 展 创 新 风扇 （车轮） 的 “倒转” 与视觉暂留 在日常生活中有这样一个现象： 启动后 的电风扇 （或行驶中的汽车）， 为什么有时 看上去叶片 （或轮胎） 好像是倒着转的？ 这 一现象与 “视觉暂留” 有关。 人眼在观察景物时， 光信号传入大脑神 经， 需经过一段短暂的时间， 光的作用结束 后， 视觉形象并不立即消失， 这种残留的视 觉称 “后像”， 视觉的这一现象则被称为 “视 觉暂留”。 视觉暂留的效果， 即眼睛总是有一个较 短的时间停留在之前看到的画面上， 然后才 反应过来载入下一个画面， 一般察觉不出 （在看电视、 电影中就充分体现出来。 电视、 ω B v R h O 例 3 题图 分析求解本题要注意把握如下三点： ① 小球做平抛运动落至 B 点的运动过程 不受圆盘转动的影响， 两个运动各自独 立； ② 两个运动具有同时性， 所以时间 是联系两个运动的桥梁； ③ 圆周运动具 有周期性， 又因题设条件不明确， 故存 在多解， 常需要引入 “ k ” 表示。 思路点拨 O 变式训练 3 题图 21 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 电影都是一幅幅画面播出来的， 因为眼睛有 暂留时间， 只要画面转换时间小于暂留时 间， 看起来就是连续的动作）， 所以当风扇 转速较慢， 载入眼睛下一个画面时， 原来看 到的风扇叶只转了一个小角度， 落在它转动 方向的前方， 看起来就是正转的； 同理， 转 速增大后， 下一个画面中的风扇叶可能已转 过一个大角度， 落到它转动方向的后方 （转 角小于 180° 为在前方 ， 180°~360° 为在后 方）， 看起来就像倒着转了。 再比如说， 假设视觉暂留为 0.1 s ， 轮子 转速为 9 r/s ， 则在 0.1 s 内 ， 轮子转了 0.9 圈， 刚好在视觉暂留结束之前转到接近原来 位置的地方， 看起来轮子好像就倒着转了一 点儿， 而如果轮子转速为 11 r/s ， 就会觉得 轮子是正着转的， 只是转动很慢。 变式训练答案 1. ABD 2. AD 3. ACD 22