精品解析：四川省广安市友实学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

广安友实学校高2022级2024-2025学年上期第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两集合均为直线上的点构成的集合，因此交集为直线的交点构成的集合. 【详解】由得， 故选：D. 2. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、单调性、周期性的定义，逐一分析选项即可. 【详解】分段函数 的左右两边的函数图像不关于 轴对称， A不正确. 当时， 不单调， B不正确. 当时，没有周期性， C不正确. 当时， 的值域为 ，当时，的值域为，所以 的值域为，D正确. 故选:D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式，利用等差数列通项的下标性质可解. 【详解】利用等差数列求和公式，知道，即. ，且，则. 故选：C. 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求参数得函数解析式，再求值即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以. 故选：A 5. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图像恒过定点，即 ，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 7. 定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时及余弦的二倍角公式、不等式的性质求解. 【详解】根据 时，则，所以， ， 即. 故选：D 二、多选题 9. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量x，y之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当 时，y约为2.6 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将 代入回归直线知C正确. 【详解】对于A，由，得，故 呈负相关关系，故A正确； 对于B，，， ，解得 ，故B错误； 对于C，当 时，，故C正确； 对于D，由 得，回归直线必过点，即必过点，故D正确. 故选：ACD. 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 所以的周长为，A正确，B正确. 因为，所以，解得，C错误. 设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确. 故选：ABD. 11. 设函数，则（ ） A. 是 的极小值点 B. 当时， C. 当 时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当 时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值． 解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足， 并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1． Rt△AOC中，r=AO==， 从而弧长为 α×r=2×=， 故答案为． 考点：弧长公式． 13. 定义，设函数，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，结合图象可得出函数的最大值. 【详解】当时，即，解得或， 此时，； 当时，即，解得 ， 此时，， 所以，， 作出函数的图象如下： 由图可知. 故答案为： . 14. 已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】恒成立问题常用方法是分离参数，然后构造函数，利用导数求最值即可 【详解】对任意一个负数x，不等式恒成立，即对恒成立， 设，则， 设，则，令 ，解得， 当时，，故 单调递减，当时，，故 单调递增， 又， ，时， 因为中，，， 所以存在，使得，即，     当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值， ， 当时，， 又整数，所以整数a的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题 15. 已知数列满足，． （1）设，证明：是等差数列； （2）设数列的前n项和为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算来证得是等差数列. （2）先求得，然后利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 因为， 所以数列是以1为公差的等差数列． 【小问2详解】 因为，所以， 由得． 故， 所以， ， ， ． 16. 已知在中，． （1）求； （2）设 ，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 17. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关联 （2） 的分布列为： 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. 【小问2详解】 抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为 ， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 随机变量的数学期望. 18. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， . 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2） 由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故 在上恒成立， 故证 证， 即 ， 令，则， 故当时， ；时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 在上恒成立，故 ， 所以当时， . 【解析】 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证 ，故问题转化成证 ，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【小问1详解】 由题函数定义域为，， 故当时， 恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令 ， 则时，；时， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时， 可将问题转化成证 ，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证. 19. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与 ，利用基本不等式即可求得a的取值范围； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与 ，利用导数与函数的关系证得 时，在上有零点，从而得解. 【小问1详解】 与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. 【小问2详解】 令， 因为，，所以， 令，则 ，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当 时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. 【小问3详解】 因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且 时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当 时，显然当时，， 当时，因为 在上单调递增，且， 故 在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上： ，即. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友实学校高2022级2024-2025学年上期第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 5. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量x，y之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当 时，y约为2.6 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 外接圆的面积为 11. 设函数，则（ ） A. 是 的极小值点 B. 当时， C. 当 时， D. 当时， 三、填空题 12. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____． 13. 定义，设函数，则的最大值为______ 14. 已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为_____________． 四、解答题 15. 已知数列满足，． （1）设，证明：是等差数列； （2）设数列的前n项和为，求． 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 17. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 18. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， . 19. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $