第二十五章 概率初步（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十五章 概率初步（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．“朝霞不出门，晚霞行千里”是（    ） A．确定性事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 2．下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 3．从2~10这9张扑克牌中任意抽一张，抽到牌上的数是偶数的可能性（    ） A．很大 B．与抽到牌上的数是奇数的可能性相等 C．很小 D．比抽到牌上的数是奇数的可能性大 4．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 5．一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，这些球除了颜色外都一样，现从中任取一球，则在以下事件中，可能性最小的是（   ） A．取出的一个球是红球 B．取出的一个球是白球 C．取出的一个球是黑球 D．取出的一个球是黄球 6．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 9．2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 10．向上抛掷质地均匀的骰子（如图），落地时向上的面点数为（的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于的不等式有不大于2的整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能打开手机的概率是 ． 12．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂灰，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂灰，则3个被涂灰的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是 ． 13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 . 14．如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 15．在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是 ． 16．元音字母指的是26个字母表当中的a、o、e、i、u这5个元音字母，这些元音字母融汇了所有的元音，并不是所有的元音字母都只发一个音，它有可能会发多个音．英语单词“good”表示“你真棒”的意思．如果从组成该单词的所有字母中同时，随机抽取两个字母，则取到元音字母的概率是 ． 17．如图所示，在中，点D是边上的中点，E、F是上的两个点，连接、、、．在纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为 ． 18．已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 20．（10分）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 21．（10分）有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 22．（10分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．    (1)求随机抽取两张卡片，恰好得到数字的概率； (2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表格法或画树状图法说明这个游戏是否公平？ 23．（10分）班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下． (1)第一个摘下D灯笼的概率是 ； (2)求第二个摘下A灯笼的概率． 24．（10分）如图的正六边形地面上，标有编号、、、的4个小三角形地面是空地，另外2个小三角形地面是草坪，除此以外小三角形地面完全相同． (1)一只飞行的麻雀，将随意落在图中的地面上，问麻雀落在草坪上的概率是______； (2)现从4个小三角形空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取和两个小三角形空地种植草坪的概率是多少？（用树形图或列表法求解） 25．（10分）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次抽取的学生人数是________人；________；________． (2)将条形统计图补充完整． (3)A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率． 26．（10分）操作：在数学实践课上，老师通过项目化学习带领同学们学习有关概率的应用问题． 实践一：勤学小组立模型 四张背面完全相同的纸牌，正面分别写有四个不同的条件，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张． （1）写出两次摸牌出现的所有可能的结果（提示：用①，②，③，④表示）； （2）以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形为平行四边形的概率． 实践二：善思小组展风采： 北京冬奥会于2022年2月4日至20日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽（记为）、吉祥物冰墩墩（记为）、吉祥物雪容融（记为）（3）张邮票除正面内容不同外，其余均相同），现将3张邮票背面朝上，洗匀放好． （3）小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是_____________． （4）小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．“朝霞不出门，晚霞行千里”是（    ） A．确定性事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】“朝霞不出门，晚霞行千里”是随机事件， 故选：． 2．下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1． 【详解】解：选项A、B、D的说法都是正确的，都不符合题意； C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故原说法错误，符合题意． 故选：C． 3．从2~10这9张扑克牌中任意抽一张，抽到牌上的数是偶数的可能性（    ） A．很大 B．与抽到牌上的数是奇数的可能性相等 C．很小 D．比抽到牌上的数是奇数的可能性大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的求解，要熟练掌握可能性大小事件发生的情况总的情况．根据题意算出抽到牌上的数是偶数的可能性，以及抽到牌上的数是奇数的可能性进行判断，即可解题． 【详解】解：2~10中一共有5张牌上的数是偶数， 抽到牌上的数是偶数的可能性为， 抽到牌上的数是奇数的可能性为， 抽到牌上的数是偶数的可能性比抽到牌上的数是奇数的可能性大， 故选：D． 4．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 【答案】B 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 5．一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，这些球除了颜色外都一样，现从中任取一球，则在以下事件中，可能性最小的是（   ） A．取出的一个球是红球 B．取出的一个球是白球 C．取出的一个球是黑球 D．取出的一个球是黄球 【答案】C 【分析】此题考查概率即可能性大小的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据题意分析可得：一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，黑球数目最少；求得相应的概率，比较即可． 【详解】解：根据概率公式可得： A、取出的一个球是红球的概率； B、取出的一个球是白球的概率； C、取出的一个球是黑球的概率； D、取出的一个球是黄球的概率． 故选：C． 6．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【答案】D 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明陆机出的是“剪刀”的概率为，故A选项错误； B、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率是；故B选项错误： C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误： D、挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故D选项正确． 故选：D． 7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把3节车厢分别记为、、， 画树状图如图： 共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为， 故选：A． 8．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 9．2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：C． 10．向上抛掷质地均匀的骰子（如图），落地时向上的面点数为（的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于的不等式有不大于2的整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将为1，2，3，4，5和6分别代入不等式中求出对应不等式的解集，判断是否有不大于2的整数解即可； 【详解】当时，不等式变为：， 解得该不等式的解为：，没有不大于2的整数解，不符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为： ，没有不大于2的整数解，不符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 综上，取值为3，4，5，6时满足要求，故概率为：， 答案为：； 【点睛】本题考查了概率计算以及不等式解答，熟练掌握不等式解法是解答该题的关键 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能打开手机的概率是 ． 【答案】/0.0001 【分析】本题考查了概率公式，因为每位数字都有相等机会是这10个数字的其中之一，且手机的密码是四位数字，则列式计算，即可作答． 【详解】依题意，每位数字都有相等机会是这10个数字的其中之一， ∵某人手机的密码是四位数字， ∴， ∴他一次就能手机电脑的概率是， 故答案为：． 12．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂灰，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂灰，则3个被涂灰的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】/0.8 【分析】考查了概率公式的知识，解题的关键是了解轴对称的定义及概率的求法，难度不大． 根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，其概率为． 故答案为： ． 13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 . 【答案】 【分析】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，正确理解题意、画出相应的树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得出所有可能的结果，然后找出两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果数，再根据概率公式解答． 【详解】解：画出树状图可得所有可能的结果： ∵共有16种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为， 故答案为：． 14．如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了几何概型中的面积型，由几何概型中的面积型概率的求法，先求出黑色部分占这个区域的，再用正方形区域的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：∵在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分， ∴黑色部分占这个区域的， ∴黑色部分的面积为， 故答案为：． 15．在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵5个小球中，有2个蓝色小球， ∴摸到的是蓝色小球的概率， 故答案为． 16．元音字母指的是26个字母表当中的a、o、e、i、u这5个元音字母，这些元音字母融汇了所有的元音，并不是所有的元音字母都只发一个音，它有可能会发多个音．英语单词“good”表示“你真棒”的意思．如果从组成该单词的所有字母中同时，随机抽取两个字母，则取到元音字母的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，用列表或者画树状图的形式将所有等可能出现的结果列出来，再根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能出现的结果，其中取到元音字母的有10种， 取到元音字母的概率是， 故答案为：． 17．如图所示，在中，点D是边上的中点，E、F是上的两个点，连接、、、．在纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，掌握等底等高的两个三角形的面积相等是解答本题的关键．作交延长线于点H，作于点G．证明得，从而与的面积相等，进而根据概率公式可得答案． 【详解】解：作交延长线于点H，作于点G． ∵点D是边上的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴与是两个同底等高的两个三角形， ∴与的面积相等， ∴阴影区域的面积等于的面积， 又∵与的面积相等， ∴针头扎在阴影区域内的概率为 故答案为：． 18．已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的增根，解一元一次不等式方程（组）和一元一次不等式组的整数解，根据不等式组有且仅有个整数解，可得整数解为，，，，根据分式方程有增根，可得，所以不等式为，解得，和是不等式的解，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：解不等式，得： 解不等式，得：， 该不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，，， ， 方程两边同乘以，得 解得， 关于的分式方程有增根， ， 解得， 不等式为， 解得， 和是不等式的解， 不等式组的整数解是不等式的解的概率为． 故答案为：． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是． （1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率； （2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案． 【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是； （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率， ∴此游戏不公平． 20．（10分）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)不可能 (2) (3)后来放入袋中的黑球个数为18个 【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得； （2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得； （3）设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同， 所以从中任意摸出一个球，摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能． （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为， 答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为． （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 21．（10分）有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，新的游戏规则见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【详解】（1）解：列表如下： ╲ 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 王扬获胜的概率； （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜． 22．（10分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．    (1)求随机抽取两张卡片，恰好得到数字的概率； (2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表格法或画树状图法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1)； (2)游戏不公平，理由见解析． 【分析】本题考查了游戏公平性的判断. （）列表可得总共有种结果，其中得到数字的有种，根据概率公式即可得到答案； （）要判断游戏是否公平，只需要求出双方赢的机会，若相等，则游戏公平，否则，游戏不公平；接下来求出“两位数不超过”的概率，即可作出判断； 解题的关键是根据题意正确列出表来． 【详解】（1）由题意可列出下表，    由表可知，共有种结果，其中得到数字的有种， ∴； （2）从表中可以看出共有结果16种，两位数不超过的有种， ∴， ∴游戏不公平． 23．（10分）班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下． (1)第一个摘下D灯笼的概率是 ； (2)求第二个摘下A灯笼的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键，用到的知识点为：概率． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解： 第一次摘只能先从和中选择任意一个， 第一个摘下灯笼的概率是； 故答案为：； （2）解：由题意，画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种， 第二个摘下灯笼的概率为． 24．（10分）如图的正六边形地面上，标有编号、、、的4个小三角形地面是空地，另外2个小三角形地面是草坪，除此以外小三角形地面完全相同． (1)一只飞行的麻雀，将随意落在图中的地面上，问麻雀落在草坪上的概率是______； (2)现从4个小三角形空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取和两个小三角形空地种植草坪的概率是多少？（用树形图或列表法求解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：麻雀落在草坪上的概率， 故答案为：． （2）解：根据题意画出树状图如图所示： 由图可知，一共有12种情况，刚好选取和两个小三角形空地的情况有2种， ∴刚好选取和两个小三角形空地的概率． 25．（10分）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次抽取的学生人数是________人；________；________． (2)将条形统计图补充完整． (3)A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率． 【答案】(1)50；42；30 (2)见解析 (3)随机抽取的2人来自不同班级的概率为． 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取的学生人数；用条形统计图中的人数除以本次抽取的学生人数再乘以可得，进而可得，即可得，的值． （2）根据（1）所求数据补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2人来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数是（人， ， 组的人数为（人， ， ，． 故答案为：50；42；30； （2）解：补全条形统计图如图所示． （3）解：列表如下： 小振 小星 小张 小沙 小振 （小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙） 小星 （小星，小振） （小星，小张） （小星，小沙） 小张 （小张，小振） （小张，小星） （小张，小沙） 小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张） 共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种， 随机抽取的2人来自不同班级的概率为． 26．（10分）操作：在数学实践课上，老师通过项目化学习带领同学们学习有关概率的应用问题． 实践一：勤学小组立模型 四张背面完全相同的纸牌，正面分别写有四个不同的条件，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张． （1）写出两次摸牌出现的所有可能的结果（提示：用①，②，③，④表示）； （2）以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形为平行四边形的概率． 实践二：善思小组展风采： 北京冬奥会于2022年2月4日至20日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽（记为）、吉祥物冰墩墩（记为）、吉祥物雪容融（记为）（3）张邮票除正面内容不同外，其余均相同），现将3张邮票背面朝上，洗匀放好． （3）小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是_____________． （4）小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了概率公式、运用树状图法求概率，平行四边形的判定等知识点．列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）利用树状图展示所有等可能的结果数； （2）由于共有12种等可能的结果数，根据平行四边形的判定能判断四边形为平行四边形有6种，则根据概率公式可得到能判断四边形为平行四边形的概率． （3）直接根据概率公式求解即可； （4）先画出树状图，确定所有等可能的结果数和抽到的两张邮票都是吉祥物的的结果数，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）画树状图为： ； ∴共有①②；①③；①④；②①；②③；②④；③①；③②；③④；④①；④②；④③；12种等可能的结果； （2）能判断四边形为平行四边形有6种：①③、①④、②③、③①、③②、④①， ∴能判断四边形为平行四边形的概率． （3）∵有张纪念邮票，分别是冬奥会会徽记为、吉祥物冰墩墩记为、吉祥物雪容融记为， ∴小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是． （4）画树状图如图： 共有种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票都是吉祥物的结果有种， 则抽到的两张邮票都是吉祥物的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$