13.2 全等三角形中常见辅助线 专项练习 2024--2025学年华东师大版八年级数学上册

全等三角形中常见辅助线 一、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形． 例：如图1，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证，BE＋CF＞EF． 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形． 例：如图2，AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4， 求证，BE＋CF＞EF． 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形． 例：如图3，AD为 △ABC的中线，求证，AB＋AC＞2AD． 练习，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、 AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF＝2AD． 四、截长补短法作辅助线． 例：如图5，已知∠1=∠2，∠B=2∠C．求证，AB+BD=AC． 练习：已知如图6，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点． 求证，AB－AC＞PB－PC． 五、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长． 例：如图7，在Rt△ABC中，CB＝AC，∠C＝90°，∠1＝∠2，EE⊥AD的延长于E ． 求证，AD＝2BE． 六、连接已知点，构造全等三角形． 例：已知，如图8；AC、BD相交于O点，且AB＝DC， AC＝BD，求证，∠A＝∠D． 七、取线段中点构造全等三有形． 例如，如图9，AB＝DC，∠A＝∠D 求证，∠ABC＝∠DCB． 八、旋转与全等结合 例：如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE， 求证，AF=AD+CF． 九、出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 例：如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，试说明，AD=CD． 十、出现中垂线时，连接中垂线上的点与线段两点，构造相等线段． 例：如图11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是DC的中点，过点E作 DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．若∠MFC=120°，求证，AM=2MB． 练习题， 1．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E， 交AD于F，且AE=EF．求证，AC=BF． 2．如图11，已知，AC平分∠BAD，CE⊥AB， ∠B+∠D=180°，求证，AE=AD+BE． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证，AC=AE+CD． 4．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且，求∠ABC+∠ADC的度数． 5．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC． （1）求证，AD=CE，AD⊥CE； （2）若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍成立?请证明． 6．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证，（1）EC=BF；（2）EC⊥BF． 7．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证，BD=2CE． 8．P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证，PC－PB<AC－AB． 9．已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证，AC-AB=2BE． 10．已知，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证，∠B=2∠C． 11．已知，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证，EF=AC． 12．已知，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证，∠1=∠2． 13．Rt△ABC，AB=AC，BM是中线，AD⊥BM交BC于D． 求证，∠AMB=∠CMD． 14．△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证，（1）AE=BD； （2）CM=CN； （3）△CMN为等边三角形； （4）MN∥BC． 15．已知，BD、CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，求证，AG⊥AF． 16．如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC， 求证，BE=CF． 17．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S△BEF为多少？ 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证，BC垂直且平分DE． 19．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证，DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证，DE=AD-BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 20．已知，如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点． （1）求证，； （2）求证，； 21．如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证，是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究，当为多少度时，是等腰三角形？ 22．已知，如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接． （1）求证，； （2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论． 23．如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F． （1）求证，ME=MF，ME⊥MF； （2）如点P移动至AB的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明． 24．已知，如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数． 25．等边三角形ABC和等边三角形DEF，D在AC边上．延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M． 求证，CM=CN ． 26．操作，如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． 探究，线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． 27．如图所示，已知D是等腰△ABC底边BC上的一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，CM⊥AB，垂足为M，请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系， 并给予证明. 28．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F． 求证，（1）www.zk5u.com中考资源网FC＝AD； （2）www.zk5u.com中考资源网AB＝BC＋AD． 29．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． （1） 若BD平分∠ABC，求证CE=BD； （2） 若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 30．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF. (1) 求证，BG=CF; (2) 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由． 31．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． ( E D C B A ) 32．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论． 33．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥GD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证，AE=EF+BF． 34．如图（14）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D． （1）求证，AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长． 35．如图1-117所示，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，BE=5，DF=12.求EF的长． 36．如图1-99所示，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，求证，CD=2CE. 37．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 38．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． 当绕点旋转到时（如图1），易证． 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． ( （图 1 ） （图 2 ） （图 3 ） ) 39．如图，是的边上的点，且，，是的中线．求证，． 学科网（北京）股份有限公司 $$