专题05 三角形全等的判定【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题05 三角形全等的判定【四大题型】 添加条件证明全等 1．（2023•海淀区校级期中）如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（　　） A．OB＝OC B．∠A＝∠D C．OA＝OD D．∠AOB＝∠DOC 2．（2023•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE 3．（2023•西城区校级期中）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 4．（2023•海淀区校级期中）如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD∥BC 5．（2023•朝阳区校级期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 6．（2023•西城区校级期中）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，求证：△ABD≌△ABC．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：　 　． 7．（2023•房山区校级期中）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并证明． 8．（2023•西城区校级期中）课上，老师提出了这样一个问题： 已知：如图，AD＝AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是 　 　，并完成证明 （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． 全等三角形模型—平移模型 9．（2023•西城区校级期中）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE． 求证：△ACD≌△BCE． 10．（2023•西城区校级期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AC＝BD，若∠1＝∠2，EC＝FB． 求证：△ACE≌△DBF． 证明：　 　 全等三角形模型—对称模型 11．（2023•通州区期中统考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE．求证：△BAD≌△CAE． 12．（2023•东城区校级期中）已知：如图，AB＝AE，∠C＝∠F，∠EAC＝∠BAF．求证：AC＝AF． 13．（2023•通州区期中统考）如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在边BC上，且BD＝BE，连接AD、CE，AD与CE相交于点F，∠BAD＝∠BCE． 求证： （1）BA＝BC； （2）AF＝CF． 14．（2023•东城区校级期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠ABD＝∠DCA，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当∠BEC＝80°，求∠EBC的度数． 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 15．（2023•海淀区校级期中）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC． （1）求C点的坐标； （2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值． 16．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，直线CD过点O． （1）写出线段AC、BD的关系； （2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？ 17．（2023•西城区校级期中）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E． （1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是　 　； （2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE； （3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由． 18．（2023•海淀区校级期中）综合与探究 如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形全等的判定【四大题型】 添加条件证明全等 1．（2023•海淀区校级期中）如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（　　） A．OB＝OC B．∠A＝∠D C．OA＝OD D．∠AOB＝∠DOC 解：AB＝DC（已知），∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）， A、当OB＝OC时，SSA无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意； B、当∠A＝∠D时，AAS可以证明△ABO≌△DCO，符合题意； C、当OA＝OD时，SSA无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意； D、∠AOB＝∠DOC，两个条件无法证明△ABO≌△DCO，不符合题意； 答案：B． 2．（2023•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE 解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件； C、如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添BD＝CE，可证明AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； 答案：B． 3．（2023•西城区校级期中）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 解：添加的条件是AD＝CB， 理由是：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SAS）， 答案：C． 4．（2023•海淀区校级期中）如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD∥BC 解：A、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意． B、根据SAS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意． C、根据SSS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意． D、根据SAS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意． 答案：A． 5．（2023•朝阳区校级期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 　AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）　．（写出一个即可） 解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC； 若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC； 若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC； 若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC； 答案：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）． 6．（2023•西城区校级期中）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，求证：△ABD≌△ABC．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：　∠CAB＝∠DAB或BC＝BD　． 解：可以去掉的一个已知条件是：∠CAB＝∠DAB或BC＝BD， 理由：在△ABD和△ABC中， ， ∴△ABD≌△ABC（SSS）． 在△ABD和△ABC中， ， ∴△ABD≌△ABC（SAS）． ∴可去掉的条件是∠CAB＝∠DAB或BC＝BD． 答案：∠CAB＝∠DAB或BC＝BD． 7．（2023•房山区校级期中）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并证明． 解：添加∠B＝∠E（答案不唯一），理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 8．（2023•西城区校级期中）课上，老师提出了这样一个问题： 已知：如图，AD＝AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是 　AB＝AC（答案不唯一）　，并完成证明 （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． （1）解：添加的条件是AB＝AC， 证明：在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， 答案：AB＝AC（答案不唯一）； （2）证明：连接OA， 在△AEO和△ADO中， ， ∴△AEO≌△ADO（SSS）， ∴∠AEO＝∠ADO， ∵∠AEO＝∠B+∠BOE，∠ADO＝∠C+∠DOC，∠BOE＝∠DOC， ∴∠B＝∠C， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）． 全等三角形模型—平移模型 9．（2023•西城区校级期中）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE． 求证：△ACD≌△BCE． 证明：∵C是线段AB的中点 ∴AC＝BC ∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD ∴∠ACD＝∠ECD，∠BCE＝∠ECD ∴∠ACD＝∠BCE 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SAS）． 10．（2023•西城区校级期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AC＝BD，若∠1＝∠2，EC＝FB． 求证：△ACE≌△DBF． 证明：　∵∠1＝∠2， ∴∠FBD＝∠ECA， ∵FB＝CE，BD＝AC， ∴△DBF≌△ACE（SAS）．　 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠FBD＝∠ECA， ∵FB＝CE，BD＝AC， ∴△DBF≌△ACE（SAS）． 答案：∵∠1＝∠2， ∴∠FBD＝∠ECA， ∵FB＝CE，BD＝AC， ∴△DBF≌△ACE（SAS）． 全等三角形模型—对称模型 11．（2023•通州区期中统考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE．求证：△BAD≌△CAE． 证明：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． 12．（2023•东城区校级期中）已知：如图，AB＝AE，∠C＝∠F，∠EAC＝∠BAF．求证：AC＝AF． 证明：∵∠EAC＝∠BAF， ∴∠BAC＝∠EAF， 在△ABC和△AEF中，， ∴△ABC≌△AEF（AAS）， ∴AC＝AF． 13．（2023•通州区期中统考）如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在边BC上，且BD＝BE，连接AD、CE，AD与CE相交于点F，∠BAD＝∠BCE． 求证： （1）BA＝BC； （2）AF＝CF． 证明：（1）在△BAD和△BCE中， ， ∴△BAD≌△BCE（AAS）， ∴BA＝BC． （2）∵BA＝BC，BD＝BE， ∴BA﹣BE＝BC﹣BD， ∴AE＝CD， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AF＝CF． 14．（2023•东城区校级期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠ABD＝∠DCA，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当∠BEC＝80°，求∠EBC的度数． （1）证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△DCE， ∴BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵∠BEC＝80°， ∴∠EBC＝50°． 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 15．（2023•海淀区校级期中）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC． （1）求C点的坐标； （2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值． 解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点， ∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， 则∠MAC＝∠OBA， 在△MAC和△OBA中 ∴△MAC≌△OBA（AAS）， ∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4， ∴OM＝OA+AM＝2+4＝6， ∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）． （2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ ∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ， ∵∠APO+∠QPD＝90°， ∠APO+∠OAP＝90°， ∴∠QPD＝∠OAP， 在△AOP和△PQD中， ， ∴△AOP≌△PQD（AAS）． ∴PQ＝OA＝2． 即OP﹣DE＝2． 16．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，直线CD过点O． （1）写出线段AC、BD的关系； （2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？ 解：（1）如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE， ∴∠BAO＝∠BEO， ∴AB＝BE， ∴AO＝OE， ∵∠CAy＝∠BAO， ∴∠CAy＝∠BEO， ∴∠DEO＝∠CAO 在△ACO与△EDO中，， ∴△ACO≌△EDO（ASA）， ∴∠C＝∠D，AC＝DE， ∴AC∥BD，AC＝BD﹣10； （2）设运动的时间为t秒， （i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒）， （ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t（秒）， （iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意； 当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒）， 综上所述：当两动点运动时间为2、、12秒时，△OPE与△OQF全等． 17．（2023•西城区校级期中）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E． （1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是　AC＝DE　； （2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE； （3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由． （1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM， ∴△ABD是等腰三角形， ∴AB＝AD， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠CAD＝∠BAC＝45°， ∴∠BAD＝45°+45°＝90°， ∴AC＝CD＝CB， ∵点E恰好与点C重合， ∴AC＝DE， 答案：AC＝DE； （2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示： 则∠BFC＝∠DEC＝90°， 在△BFC和△DEC中， ， ∴△BFC≌△DEC（AAS）， ∴BF＝DE，CF＝CE， ∵∠MAN＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴BF＝AF， ∴AF＝DE， ∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC， ∴2AC＝AE+DE； （3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下： 过点B作BF⊥AM于F，如图3所示： 则∠BFC＝∠DEC＝90°， 在△BFC和△DEC中， ， ∴△BFC≌△DEC（AAS）， ∴BF＝DE，CF＝CE， ∵∠MAN＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴BF＝AF， ∴AF＝DE， ∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE． 18．（2023•海淀区校级期中）综合与探究 如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝7， ∴BP＝AC， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， 可得：7＝9﹣2t，2t＝xt， 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t 解得：，． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$