专题03 与三角形有关的角【五大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题03 与三角形有关的角【五大题型】 三角形内角和定理 1．（2023•西城区校级期中）△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（2023•朝阳区校级期中）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 3．（2023•丰台区校级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 4．（2023•大兴区期中统考）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30° C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60° 5．（2023•西城区校级期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝76°，则∠A的度数为（　　） A．36° B．38° C．40° D．45° 6．（2023•西城区校级期中）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（　　） A．62° B．152° C．208° D．236° 7．（2023•东城区校级期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，那么∠DAE的度数为 　 　． 8．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中∠B＝40°，三角形ABC的内角∠BAC和∠BCA的平分线交于点E，则∠AEC＝　 　． 9．（2023•东城区校级期中）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 10．（2023•海淀区校级期中）如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝32°，∠C＝60°．求∠AEC和∠DAE的度数． 三角形的外角性质 11．（2023•东城区校级期中）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，则图2中∠CBA的度数为（　　） A．15° B．20° C．30° D．50° 12．（2023•海淀区校级期中）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（　　） A．160° B．150° C．140° D．130° 13．（2023•西城区校级期中）如图，已知∠1＝45°，∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．120° C．115° D．110° 14．（2023•海淀区校级期中）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 15．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F＝　 　度． 16．（2023•海淀区校级期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°，则∠DFB的度数为 　 　． 17．（2023•朝阳区校级期中）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　 　． 18．（2023•石景山区校级期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝　 　． 19．（2023•东城区校级期中）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数． 20．（2023•通州区校级期中）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数． 三角形双内角平分线的有关运算 21．（2023•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 22．（2023•丰台区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 23．（2023•顺义区校级期中）如图△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝80°，则∠BDC的度数是（　　） A．110° B．100° C．120° D．130° 24．（2023•昌平区校级期中）如图，△ABC中，点D，E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上，连接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，则∠A等于（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 25．（2023•房山区校级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 26．（2023•海淀区校级期中）如图，BP、CP是任意△ABC中∠B、∠C的角平分线，可知∠BPC＝90°∠A，把图中的△ABC变成图中的四边形ABCD，BP，CP仍然是∠B，∠C的平分线，猜想∠BPC与∠A、∠D的数量关系是　 　． 三角形双外角平分线的有关运算 27．（2023•石景山区校级期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 28．（2023•密云区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝120°，则∠D＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 29．（2023•昌平区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝100°，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M＝　 　． 30．（2023•海丰县期末）综合与探究： 【情境引入】 （1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°∠A的理由． 【深入探究】 （2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　 　； ②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由． 三角形内、外角平分线的有关运算 31．（2023•房山区校级期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 32．（2023•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数为　 　． 33．（2023•东城区校级期中）如图，已知△OAB中，∠AOB＝70°，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，则∠ADB的大小为　 　． 34．（2023•大兴区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与三角形有关的角【五大题型】 三角形内角和定理 1．（2023•西城区校级期中）△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 答案：B． 2．（2023•朝阳区校级期中）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 答案：A． 3．（2023•丰台区校级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A+∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 答案：D． 4．（2023•大兴区期中统考）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30° C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60° 解：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣∠BOC）， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠BOC）＝2∠BOC﹣180°， 又∵90°＜∠BOC＜120°， ∴0＜∠A＜60°． 答案：C． 5．（2023•西城区校级期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝76°，则∠A的度数为（　　） A．36° B．38° C．40° D．45° 解：∵BD⊥CD， ∴∠D＝90°． ∵∠DBC＝76°， ∴∠DCB＝90°﹣76°＝14°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCB＝28°． ∵∠A＝∠ABD，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠A+76°+28°＝180°． ∴∠A＝38°． 答案：B． 6．（2023•西城区校级期中）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（　　） A．62° B．152° C．208° D．236° 解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A， 又∵∠BED＝∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD， 又∵∠CGE+∠EGD＝180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°， 又∵∠D＝28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°， 答案：C． 7．（2023•东城区校级期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，那么∠DAE的度数为 　10°　． 解：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC100°＝50°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°． 答案：10°． 8．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中∠B＝40°，三角形ABC的内角∠BAC和∠BCA的平分线交于点E，则∠AEC＝　110°　． 解：∵三角形的内角∠BAC和∠ACB的平分线交于点E， ∴ ∴ ， ∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ACE）＝110°． 答案：110°． 9．（2023•东城区校级期中）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 证明：方法一：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； 方法二：∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACB+∠A， ∴∠B+∠ACB+∠A＝180°． 10．（2023•海淀区校级期中）如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝32°，∠C＝60°．求∠AEC和∠DAE的度数． 解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝32°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝44°， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝76°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝14°． 三角形的外角性质 11．（2023•东城区校级期中）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，则图2中∠CBA的度数为（　　） A．15° B．20° C．30° D．50° 解：∵∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，∠MAC是△ABC的外角， ∴∠CBA＝∠MAC﹣∠ACB＝30°． 答案：C． 12．（2023•海淀区校级期中）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（　　） A．160° B．150° C．140° D．130° 解：如图． 由题意得：∠B＝60°，∠BAE＝90°，∠C＝45°，∠CAE＝75°． ∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°． ∴∠AGF＝∠B+∠BAC＝60°+15°＝75°． ∴∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°． ∴∠CFG＝75°﹣45°＝30°． ∴∠α＝180°﹣∠CFG＝180°﹣30°＝150°． 答案：B． 13．（2023•西城区校级期中）如图，已知∠1＝45°，∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．120° C．115° D．110° 解：∵∠2是△ABD的外角， ∴∠2＝∠1+∠B＝45°+65°＝110°． 答案：D． 14．（2023•海淀区校级期中）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 解：∵∠OAB的平分线交△OAB外角∠OBD的平分线于点C， ∴∠OAB＝2∠BAC，∠OBD＝2∠CBD， ∵∠OBD＝∠∠OAB+∠AOB，∠CBD＝∠BAC+∠C， ∴∠AOB＝2∠C， ∵∠AOB＝90°， ∴∠C＝45°， 答案：B． 15．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F＝　22　度． 解：在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣80°＝64°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC64°＝32°． ∵FE⊥BC于E， ∴∠DEF＝90°． ∵∠ADB是△ACD的外角，∠ADB是△DEF的外角， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠F+∠DEF， ∴32°+80°＝∠F+90°， ∴∠F＝22°． 答案：22． 16．（2023•海淀区校级期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°，则∠DFB的度数为 　165°　． 解：∵∠A＝30°，∠CDE＝45°， ∴∠AFD＝45°﹣30°＝15°， ∴∠DFB＝180°﹣15°＝165°， 答案：165°． 17．（2023•朝阳区校级期中）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　140°　． 解：如图， ∵∠B＝30°，∠DCB＝65°， ∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°， ∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°， 答案：140°． 18．（2023•石景山区校级期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝　75°　． 解：∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∠EAC是△ABF的一个外角， ∴∠ABF＝∠EAC﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， ∵∠FBC＝90°， ∴∠ABC＝∠FBC﹣∠ABF＝90°﹣15°＝75°． 答案：75°． 19．（2023•东城区校级期中）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数． 解：∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD72°． ∵∠EAD＝∠B+∠ADB， ∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°． ∵∠CAE＝144°， ∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°． ∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°． 20．（2023•通州区校级期中）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数． 解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x． 因为∠BAC＝63°， 所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°， 所以x＝39°； 所以∠3＝∠4＝78°， ∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°． 三角形双内角平分线的有关运算 21．（2023•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 解：∵∠BDC＝110°， ∴∠DBC+∠DCB＝70°， ∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°， ∴∠A＝180°﹣140°＝40°， 答案：A． 22．（2023•丰台区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 解：在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°； 答案：C． 23．（2023•顺义区校级期中）如图△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝80°，则∠BDC的度数是（　　） A．110° B．100° C．120° D．130° 解：∵∠ABC＝80°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠2＝180°﹣（80°﹣∠1）﹣∠2＝100° 答案：B． 24．（2023•昌平区校级期中）如图，△ABC中，点D，E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上，连接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，则∠A等于（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 解：∵∠D+∠E＝295°，∠D+∠E+∠BCE+∠CBD＝360°， ∴∠BCE+∠CBD＝65°， ∵点D，E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上， ∴∠BCE∠ACB，∠CBD∠ABC， ∴∠ACB+∠ABC＝65°×2＝130°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°， 答案：D． 25．（2023•房山区校级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°， 由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED ＝360°﹣2（∠ADE+∠AED） ＝360°﹣2×150° ＝60°． 答案：D． 26．（2023•海淀区校级期中）如图，BP、CP是任意△ABC中∠B、∠C的角平分线，可知∠BPC＝90°∠A，把图中的△ABC变成图中的四边形ABCD，BP，CP仍然是∠B，∠C的平分线，猜想∠BPC与∠A、∠D的数量关系是　∠BPC（∠BAD+∠ADC）　． 解：延长BA、CD相交于点E． 根据已知的结论，得∠BPC＝90°∠BEC． 又∠E＝∠BAD﹣∠ADE＝∠BAD﹣（180°﹣∠ADC）． ∴∠BPC＝90°∠BAD﹣90°∠ADC． 即∠BPC∠BAD∠ADC． 三角形双外角平分线的有关运算 27．（2023•石景山区校级期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线， ∴，， ∵∠P＝70°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°， ∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确． 答案：B． 28．（2023•密云区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝120°，则∠D＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC的外角 ∴∠ACO∠ACB，∠ACD∠ACF ∵∠ACB+∠ACF＝180° ∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD（∠ACB+∠ACF）＝90° ∴∠BOC＝∠OCD+∠D ∴∠D＝120°﹣90°＝30° 答案：D． 29．（2023•昌平区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝100°，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M＝　40°　． 解：∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣80°＝280°， ∵BM、CM分别平分∠DBC和∠ECB， ∴∠MBC+∠MCB（∠DBC+∠ECB）280°＝140°， ∴∠M＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣140°＝40°， 答案：40°． 30．（2023•海丰县期末）综合与探究： 【情境引入】 （1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°∠A的理由． 【深入探究】 （2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　∠D＝90°∠A　； ②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由． （1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2 ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A； （2）解：①∠D＝90°∠A，理由如下： ∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线， ∴∠DBC∠EBC（∠A+∠ACB），∠DCB∠FCB（∠A+∠ABC）， ∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°（∠EBC+∠FCB） ＝180° ＝90°∠A， 答案：∠D＝90°∠A； ②∠D∠A，理由如下： ∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC， ∴∠D∠ABC（∠A+∠ABC）， ∴∠D∠A． 三角形内、外角平分线的有关运算 31．（2023•房山区校级期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 答案：C． 32．（2023•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数为　45°　． 解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD， ∴EF＝EH，EG＝EH， ∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB， ∴AE平分∠FAG， ∵∠CAB＝40°， ∴∠BAF＝140°， ∴∠EAB＝70°， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝65°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°， 答案：45°． 33．（2023•东城区校级期中）如图，已知△OAB中，∠AOB＝70°，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，则∠ADB的大小为　35°　． 解：∠ABN﹣∠OAB＝∠AOB＝70°， ∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN， ∴∠ABC∠ABN，∠BAD∠OAB， ∴∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝35°， 答案：35°． 34．（2023•大兴区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． （1）解：∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°， （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） ＝90°∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ∠ABC∠MBC （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ③∠Q＝2∠E，则90°∠A＝∠A，解得∠A＝60°； ④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°∠A），解得∠A＝120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$