第五章 一元一次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的判断．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、选项中方程符合一元一次方程的定义，本选项符合题意； B、选项中不是等式，不是方程，本选项不符合题意； C、选项方程中未知数的次数为2，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、选项中方程含有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意． 故选：A． 2．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的变形．熟练掌握等式的基本性质，代数式的变形，是解决问题的关键． 根据等式的基本性质，去分母，去括号等变形，分析各选项，即可作出判断． 【详解】解：A．两边都乘以24得，， ∴本选项变形正确； B．通分，相乘得，， ∴本选项变形错误； C．去括号得，， ∴本选项变形错误； D．两边都乘以12得，， ∴本选项变形错误． 故选：A． 4．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键． 方程两边同时乘以12，计算即可． 【详解】解：方程两边同时乘以12，得， 即， 故选：B． 5．设，，若 ，则 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．把，代入，然后解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：把，代入，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选B． 6．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 7．下列各方程，变形不正确的是（   ） A．去分母化为 B．去括号为：     C．移项得： D．合并同类项得： 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项中方程变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、去分母化为：，正确； B、去括号为：，错误； C、移项得：，正确； D、合并同类项得：，正确， 故选：B． 8．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程． 【详解】解：设醑酒斗，则清酒斗， 由题意可得：， 故选：B． 9．对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： 故选：C． 10．下列四个结论中，其中正确的是(    ) ①若，则只能为； ②若关于的多项式与的差为单项式，则； ③若，则化简代数式； ④已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是． A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、整式的加减和一元一次方程的解，正确进行运算是解题的关键． 逐项判断即可． 【详解】解：①若，则，所以的值为或，故①错误； ②若关于的多项式与的差为单项式，则，，所以，故②错误； ③若，则，，化简代数式，故③正确； ④由方程， 得， 解得：， 解是正整数， 的值可能为，，， 的值可能为，，， 符合条件的所有整数的和是：，故④正确； 故选：C． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接系数化1即可求解． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 12．如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】由一元一次方程的定义，可得，，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 所以 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义（一元一次方程是指只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程），解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 13．经解出方程2x﹣■（墨水滴落处）＝4x＋1的解是x＝﹣，但他不慎将墨水滴到方程的一个数上，这个数是 ． 【答案】2 【分析】把墨水滴落处当作未知数y，并把x＝−代入原方程，即可求得y的值． 【详解】解：设墨水滴落处当作未知数y， 并把x＝−代入原方程得：2×（−）−y＝4×（−）＋1， 解得：y＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法．解题关键是把不清楚的地方当作未知数建立新的方程求解． 14．若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】. 【分析】分别求出一元一次的解，利用解相同，建立关于m的新方程，解方程即可. 【详解】∵， ∴x=m-1； ∵， ∴x=4-m， ∵关于的方程的解与方程的解相同， ∴4-m=m-1, 解得m=. 故填. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的解法，熟练掌握解的意义和方程解法的基本步骤是解题的关键. 15．10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可． 【详解】设最低分做对的题目数题，则做错题， 由题意得，， 解得， ∴低分做对的题目数10题， ∵每个人的得分都不相同， ∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19， 因此第一名至少得：（分）， 故答案为：． 16．如果方程的解是，则的值是 ． 【答案】30 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，代数式求值，将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解出a的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：， ， 故答案为：30． 17．已知a，b为常数，若关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，以及方程无数解的条件，正确得到a和b的值是关键．根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 化简，得， 由于k可以取任意值，则， 解得：， 则． 故答案为：． 18．元旦已过，兔年春节将至，腊味食品一直是川渝人春节最喜欢的佳肴．某超市销售甲、乙两种箱装“腊味大全”．其中，甲种“腊味大全”每箱有1袋腊肉、2袋香肠、2袋腊猪耳、1袋板鸭；乙种“腊味大全”每箱有2袋腊肉、1袋香肠、1袋腊猪耳、2袋板鸭，甲、乙两种“腊味大全”每箱的成本价分别为四种腊制品的成本价之和（包装成本等忽略不计）．已知1袋腊肉和1袋板鸭的成本价相同，均为每袋25元，甲种“腊味大全”每箱售价为 240 元，利润率为20%，乙种“腊味大全”每箱利润率为 30%． 最终甲、乙两种“腊味大全”的销售数量之比为 7∶24，则销售这两种“腊味大全”的总利润率为 ． 【答案】 【分析】设1袋香肠和1袋腊猪耳的成本价之和为元，根据题意，列出方程，求出的值，进而求出乙种“腊味大全”每箱的成本和每箱售价，再利用总利润率等于总利润除以总成本，进行求解即可． 【详解】设1袋香肠和1袋腊猪耳的成本价之和为元，依题意有： ， 解得， 则乙种“腊味大全”每箱的成本为： (元)， 则乙种“腊味大全”每箱售价为： (元)， 则销售这两种“腊味大全”的总利润率为： ． 故销售这两种“腊味大全”的总利润率约为 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查解一元一次方程，找到分母最小公倍数是关键，直接解即可． （2）本题主要考查解带分母的一元一次方程，找到分母最小公倍数是关键，直接计算即可． 【详解】（1）解：； 合并同类项得，； 系数化为得，； ． （2）解：； 整理得，； 系数化为得，； ． 20．（10分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 21．（10分）关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，结合已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据一元一次方程解的意义求得的值后代入中计算即可； （2）结合（1）中所求，根据一元一次方程解的意义即可得出结论． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的根互为相反数， ∴另一个方程的根为， 把代入方程， 得：， 解这个方程得：， ∴． （2）解：∵， ∴可化为， ∵任何数代入均成立， ∴关于t的方程有无数解． 22．（10分）下面是小红解一元一次方程的主要过程，请仔细阅读小红的解题过程， 解决下列问题． 解：去分母，得：．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ (1)小红在以上解方程过程中，从第_______步开始出现错误，出现的错误是_______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①；漏乘常数项 (2)见解析 【分析】本题考查了去分母解一元一次方程 （1）根据解方程的基本步骤，观察解答即可． （2）利用去分母法解方程即可． 【详解】（1）根据解题步骤，得到第①步错误；主要错误是漏乘常数项， 故答案为：①；漏乘常数项． （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 23．（10分）马虎同学解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的2没有乘6，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解． 【答案】； 【分析】本题主要考查解方程，熟悉相关的解题步骤是解题的关键，先根据错误的做法：“方程左边的2没有乘6”而得到，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解． 【详解】解：去分母时，方程左边的2没有乘6， 此时变形为； 将代入，得； 解得：； 则原方程应为： ； 去分母得： ； 去括号得：， 解得：． 24．（10分）列一元一次方程解应用题 新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？ 【答案】(1)2.4 (2)2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设工作总量为1，根据工作时间工作总量工作效率和，列式即可求解． （2）设乙先做1天，再两人一起做，还需天完成这项工作，根据等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量工作总量，列出方程即可求解． 【详解】（1）（天． 答：两个人一起做，需要2.4天可以完成． 故答案为2.4； （2）设乙先做1天，再两人一起做，还需天完成这项工作， 由题意可得：， 解得：． 答：还需2天可以完成这项工作． 25．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程与方程为“美好方程” (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)9 (3)或 【分析】（1）分别解出两个方程得解，将两个解相加，即可做出判断； （2）表示出两个方程的解分别为，，再相加等于，解出的值即可； （3）根据“美好方程”的定义得出另一个解为，再根据两个解的差为解出的值即可； 【详解】（1）解：，解得， ，解得， ， 方程与方程是“美好方程”； （2）， ， ， ， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （3）“美好方程”的两个解的和为，其中一个解为， 另一个方程的解为， 两个解的差为， 或， 或； 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义知道解之间的关系是解答本题的关键． 26．（10分）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 3．方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设，，若 ，则 等于（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 7．下列各方程，变形不正确的是（   ） A．去分母化为 B．去括号为：     C．移项得： D．合并同类项得： 8．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 10．下列四个结论中，其中正确的是(    ) ①若，则只能为； ②若关于的多项式与的差为单项式，则； ③若，则化简代数式； ④已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是． A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．②④ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的解是 ． 12．如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 13．经解出方程2x﹣■（墨水滴落处）＝4x＋1的解是x＝﹣，但他不慎将墨水滴到方程的一个数上，这个数是 ． 14．若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为 ． 15．10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 16．如果方程的解是，则的值是 ． 17．已知a，b为常数，若关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 18．元旦已过，兔年春节将至，腊味食品一直是川渝人春节最喜欢的佳肴．某超市销售甲、乙两种箱装“腊味大全”．其中，甲种“腊味大全”每箱有1袋腊肉、2袋香肠、2袋腊猪耳、1袋板鸭；乙种“腊味大全”每箱有2袋腊肉、1袋香肠、1袋腊猪耳、2袋板鸭，甲、乙两种“腊味大全”每箱的成本价分别为四种腊制品的成本价之和（包装成本等忽略不计）．已知1袋腊肉和1袋板鸭的成本价相同，均为每袋25元，甲种“腊味大全”每箱售价为 240 元，利润率为20%，乙种“腊味大全”每箱利润率为 30%． 最终甲、乙两种“腊味大全”的销售数量之比为 7∶24，则销售这两种“腊味大全”的总利润率为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）解方程 (1) (2) 20．（10分）解方程 (1) (2) 21．（10分）关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 22．（10分）下面是小红解一元一次方程的主要过程，请仔细阅读小红的解题过程， 解决下列问题． 解：去分母，得：．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ (1)小红在以上解方程过程中，从第_______步开始出现错误，出现的错误是_______． (2)请写出正确的解答过程． 23．（10分）马虎同学解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的2没有乘6，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解． 24．（10分）列一元一次方程解应用题 新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？ 25．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程与方程为“美好方程” (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 26．（10分）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$