山西省2024-2025学年高二上学期10月联合测评数学试题

山西2024~2025学年高二年级10月联合测评 数学试题 吾雨 考生注意: 1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水答字笔在答题卡上各题的答题区域内 成11 作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:选择性必修第一册第一、二章。 过表进 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1.在空间直角坐标系中,点(一3,2,一1)关于x轴对称的点的坐标是 过E A.(3,2,-1) B.(3.-2,1) C.(-3,-2,1) 过进 D.(-3,-2,-1) 2.直线/:x十3y十2一0的一个方向向量为 B.(-3,1) C.(1,3) A.(3,-2) D.(3,2) 班 3.已知空间向量a-(3,2,1),b-(2,m,-3),若(a-b)|a,则实数m C2 D1 A.4 B.6 4.已知圆x^2+-2x+6y+1-0关于直线x+y十n=0对称,则实数m A.-2 B.1 C.一1 D.2 而 5.已知向量m=(1,3,-1),n=(-1,4,-2),p=(1,10,z),若m,n,p共面,则实数 = A.-4 B.-2 C.3 D.1 6.圆C:x^+-6y+5-0与圆C:(x-3)}十(y十1)-9的公切线的条数为 B3 A.4 C.2 D.1 【高二年级10月联合测评·数学 第1页(共4页)】 7.在四校锥P-ABCD中,AB-(-3.-6,3),AD-(3,0,6),AP=(-5,1,3),则此四 锥 的高为 A.v26 B.29 C.6 D.8 8.已知M,N是圆O:c^+*=8上两点,目 MN=4,若直线x-ay+6=0上存在点P使 得OM+ON-OP,则实数a的取值范围为 A.(1-.]##+)# B.(-#)(,0)# C.# D.(###)# 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知直线/经过点(2,3),目在两坐标轴上的截距相等,则直线/的方程为 A.3x-2y-0 B.2x十-7-0 C.x十y-5-0 D.x-十1-0 10.已知直线/:x-+2-0,圆C.(x+1)+(-2)}-9,则下列说法正确的是 A.直线/过定点(一2,0) B.直线/与圆C恒相交 C.直线/被圆C截得的弦长最短时,直线/的方程为x一2v士2一( 11.已知点P是梭长为2的正方体ABCD-A.B.CD 表面上的一个动点,则 A.存在点P,使得AP-AB+AD+A B.若E是AB中点,当P在校BC 上运动时,存在点P使得PE一PI D.若F是A.B 的中点,当点P在底面ABCD上运动时,存在点P使得PF/平面B.CD 【高二年级10月联合测评·数学 第2页(共4页)】 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 13.已知P(x,y)是圆C:(x-1)十(y-2)=1上任意一点,若x+y十a十 1-x-y的 取值与x、v无关,则实数a的取值范围是 14.空间直角坐标系O一xy中,过点P(x,y,)目一个法向量为n一(a,,c)的平面的 方程为a(x一x)+b(v一v)十c(一)一0,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面。 的方程为2x-y+z-4-0,直线/是两平面2x-y+5-0与x+3-3-0的交线,则直 线/与平面a所成角的正弦值为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图,平行六面体ABCD-ABC.D 中, A. AD= BAD= AAB-60*,AB AD-1,AA-2,P为AC 上靠近点A.的三等分点,设AB-a,AD-b,AA-c. (1)用基底a,b,c)表示向量AP , (2)求AP.BD 16.(15分) 已知两直线/:3x+y-9-0和/:2x-y-1-0的交点为P (1)若直线/过点P且与直线x十2y-1一0平行,求直线/的一般式方程 (2)若圆C过点(一2.5)且与2.相切于点P,求圆C的标准方程 【高二年级10月联合测评·数学 第3页(共4页)) 17.(15分) 如图,在四 锥P-ABCD中,PA 平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,目AD PA=2,AB-3,DAB-60{*},点E为线段PC的中点,点F是线段AB上靠近点A的 三等分点. (1)求证:平面DEF 平面PAB (2)求平面DEF和平面PAD的夹角的余弦值 18.(17分) 已知以点C为圆心的圆(x-)}+十(-3){}a+(a>0)与x:轴交于点M,与y轴交 于点N,O为坐标原点.(M,N与O不重合) (1)求证:△MON的面积为定值: (2)设直线3x十v-3=0与圆C交于点A,B,若OA三 OB,求实数a的值 (3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线1:x十y十4一0和圆C上的动点,求PN + PQ的最小值及此时点P的坐标 # 19.(17分) 如图,在直三柱ABC-A. BC 中,AA =2,AB=AC-1,AB |AC,M.N分别是 CC,BC的中点,动点P在直线A.B 上,且AP-A.B. (1)是否存在点P,使得AM PN?若存在,试确定点P的位置;若不存 在,请说明理由 # (2)当入取何值时,直线PN与平面AMN所成角的正弦值为 (3)求动点P到直线MN的距离的取值范围 【高二年级10月联合测评·数学 第4页(共4页)】山西2024~2025学年高二年级10月联合测评·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C在空间直角坐标系中，点（一3,2，一1）关于x轴对称的点的坐标为（一3，一2,1） 2.B由x+3y2=0,得y=-号x一号，所以直线的一个方向向量为(1，号)，面(-3,1)=-3(1，号)，所以 (一3,1)也是直线1的一个方向向量. 3D由题知a-6=(3,2.》-(2m,-3)=1,2-m,0,因为a-b)1a,所以3+4-2m+4=0,解得m=号 4.D由x2+y2-2x十6y+1=0,得(x-1)+(y十3)=9，故圆心为(1，一3)，又因为圆x2+y一2x+6y+1=0关于直 线x十y+m=0对称，故圆心(1，-3)在直线x十y十m=0上，则m=-x-y=一1十3=2. 5.A因为m,n,p共面，所以存在两个实数a,b,使得p=m十m,即(1,10，x)=a(1,3,一1)十b(一1,4，一2)，即 a-b=1, a=2, 3a十4h=10,解得b=1. -a-2b=x, (x=-4. 6.B圆C:x2+y2-6y+5=0可化为x+(y-3)2=4,即圆心C(0,3),半径n1=2:圆C2:(x-3)2+(y+1)°=9的圆 心C(3,一1)，半径r=3,则|CC2|=√(0一3)+(3+1)严=5=2+3=n十r,所以圆C与圆C2外切，两圆有3条公 切线。 B设平面ABCD的法向量n=则：市6,0，令=2，得n=(一43,2，所以此四陵锥的商 h=n,=1-4)X-5)+3×1+2x31=/2丽. n V++(号)》 8.A由题意可知：圆O:x2+y=8的圆心为O(0,0),半径r=22,设MN中点为Q.则 OM+ON=2OQ,且OM+OV=OP,可得OP=2CQ,又因为|MN|=4,可知△OMN为 等腰直角三角形，则|OQ=2,可得引OP|=2OQ=4,故点P的轨迹是以原点O为 圆心，4为半径的圆，因为直线x一ay十6=0上存在点P使得OM+ON=OP,即直线 工一ay十6=0与圆2+y=16有交点，即圆心到直线的距离d=二6≤4，解得 a+1 ?.AC当直线1的截距为0时，直线1的方程为y=是x,即3x一2y=0,故A正确：当直线1的截距不为0时，设直线1的 方程为x十y=a,则2十3=a,即x十y一5=0，故C正确. 10.AB直线1：kx-y+2k=0,即y=k(x+2),则直线恒过定点(-2,0)，故A正确：因为（一2+1）+(0-2)=5<9，所 以定点（一2,0）在圆C:(x十1)2十(y一2)2=9内部，所以直线1与圆C恒相交，故B正确：设定点（一2,0）为点A,则直 线1与4C垂直时，直线1被圆C截得的弦长最短，此时=一女=一，直线1的方程为x+2y十2=0，故C错误直 k 线，kr一y十2张-=0，圆心C到直线1的距离d=-2士2-√尔-（号），解得=一合，放D错误 √k2+1 1,BD因为AC=AB+A+A,而AD=专B+AD+AA)=号AC,因此点P是AC上靠近点A的三等分点， 点P不在正方体的表面上，故A错误： 如图①，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),E(2,1,0),设P(入，2,2)，若PE=PD,则√（一2）+(2-1)+(2-0)产= √R+2+2=1,故B正确： 4 图① 图② 图③ 【高二年级10月联合测评·数学参考答案第1页（共4页）】 如图②，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,2,0),D,(0,0,2),B,(2,2,2),A(2,0,0),设D,P=1D1B=(2a,2a, 0).0≤≤1，又BD=(-2,-2,0),AP=AD+DP=(-2.0,2)+(2m,2x.0)=(2A-2,2x,2),设AP与BD所成的角 合-入 1 为0e[0,受]，则cos-cos(Bi.A币1 4-8x 22×2-2+20平A-市√（众-）+ 当=立时，0s0=0.此时0=受：当A≠号时，令X-号=1∈(0，号]0s0=广 ,又t∈ +√+ (0,2],所以√1+是∈[2，+∞)，所以os0c(o.号]，吾<0<受综上，吾<K受，故C正确， 如图③，建立空间直角坐标系，则D(0,0.2),C(0,2,0),B(2,2,2),A(2,0,0),C(0,2,2),D,C=(0,2,-2),CB (2.0,2),AC=(-2,2,2,因为AC·DC=0.CB·AC=0,且D,CnCB,=C,D,C,CB1C平面CBD,所以AC⊥ 平面CB,D,即向量AC是平面CB,D,的法向量，F(2,1,2),P(x,y,0),FP=(x-2,y-1,-2),若FP∥平面CBD, 则FP·AC=-2·(x-2)+2(y-1)-4=0,即x-y十1=0，因为直线x-y+1=0与正方形ABCD有公共点，即存 在点P使得PF∥平面BCD,故D正确. 12[片，1门设Q-2.0,则ko=2=16如=2因为点P)是线段NMN上的任意-点，所以 十2的取值范围是[子1] a(-刘设=++1-=（先0+景》 √1+1 做x可看作点P到直线m:x十y十a=0与直线l:x十y一1=0距离之和的2倍，因为 |x十y十a十|1一x一y|的取值与x、y无关，所以这个距离之和与P点在圆上的位置 无关，因为圆心(1,2)到直线1的距离为D十2-=2>1，所以圆C与直线1相离，如 √1+1明 图所示，可知直线m平移时，P点与直线m、1的距离之和均为直线m、1之间的距离，此 时可得圆C在两直线之间，当直线m与圆(x-1)2+(y一2)=1相切时，土2士 √1+平 1,解得a=√2-3（舍去），或a=-√2-3，所以a≤一√2-3. 法一：因为平面a的方程为2x一y十-4=0，所以平面a的一个法向量n=(2,-1,1),又直线1： 250上有两个点A(2,-1,吉)，B(0,-5,1),所以直线1的方向向量为m=i=(2,4,-号)，所以直线1 x+3x-3=0 与平面a所成角的正弦值为cos〈m,m|=m m·n 4-4- /69 138 法二：由题知两平面2.x一y十5=0与x十3：-3=0的法向量分别为m1=(2,一1,0)，m=(1,0,3),设直线1的一个方 向向量m=(9.则：m二0：即2)二0：取=1.则m-(1,2,-言)又平面。的法向量m=(2.-1,D。 m·m2=0, x+3z=0 所以直线l与平面a所成角的正弦值为m:m 69 m·m /46 138 15,解：1因为P为AG上靠近点A的三等分点，所以A户=号(A成+Ad市=专访+A市=专a+号n …3分 所以d-A+A户=c+了a+号a …6分 (2)因为A市=c+号a+号b,又前-Ai-Ai-b-a,… …8分 所以.励-(e+3a+3b)·ba)=-3r+号r+bcac= 3+1×2×-1×2×=0.…13分 1解，疾立方程组解特受 v=3. 所以直线l4:3x十y-9=0和l2:2.x-y-1=0的交点P(2,3). …2分 【高二年级10月联合测评·数学参考答案第2页（共4页）】 (1)因为直线1与直线x+2y-1=0平行，故可设直线l:x+2y十c=0. 又直线l过点P,则2十6十=0，解得=一8. 即直线1的方程为x十2y一8=0.…7分 (2)设所求圆的标准方程为(x一a)2+(y一b)2=2, 直线：3十y9=0的斜率为一3，故直线CP的斜率为，………9分 (-2-a)2+(5-b)2=2, a=-1. 由题意可得 (2-)2+(3-)2=,解得b=2, 13分 · 2=10, 故所求圆的标准方程为（江十1）2十(y一2)”=10.…15分 17.(1)证明：因为点F是线段AB上靠近点A的三等分点，AB=3,所以AF=1. 在△ADF中，AD=2,AF=1,∠DAB=60°，由余弦定理，得DF=AD+AF-2AD·AF·cos∠DAB=3, 所以DF十AF2=AD,即DF⊥AF. …2分 因为PA⊥平面ABCD,DFC平面ABCD,所以PA⊥DF. …3分 又PA∩AF=A,PA,AF℃平面PAB,所以DF⊥平面PAB.…5分 因为DFC平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.…6分 (2)解：过点D作DG∥PA,易证DG⊥平面ABCD,显然直线DF,DC,DG两两垂直， 故以D为原点，直线DF,DC,DG分别为x,y,x轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xy, 则D0.00.45,-1,0.P5.-12.C03.0.F5,0.0.E(11 Di=5,-1,0).Pi=(0.0,-2),di=(1）d亦=(30,0.…8分 设平面PAD的法向量为m=(a,b,c), 则m…d=5a-=0取a=1,得m=15,01, 10分 m·PA=-2c=0, 设平面DEF的法向量为n=(x,y,x), n.Di-3r=0, 则 n·Di- 取y=1,得n=(0,1,-1), 444440444e44小444小e4……40。 12分 2x+y十=0， 则cos(m,m）=m·n=5=E m n 2x2 4 即平面DEF和平面PAD的夹角的余弦值为气。 15分 181证明：由圆C的方程（一）户+(y一是)广=d+是(a>0),化简得父-2a+- ay=0. 其与x轴，y轴的交点分别为：M2a,0).N(0,) 所以5n=合12a·8 =6为定值.…5分 (2)解：如图①所示，因为|OA|=|OB|,所以OC⊥AB. 又0C的斜率k=是所以（是）×(-3)=-1 解得a-3(负数舍去)， 所以实数公的值为3。… 10分 图① 图② (3)解：如图②所示，由(2)知：圆C的方程为：(x-3)2+(y一1)=10，圆心C(3,1),半径r=√10，N(0,2). 【高二年级10月联合测评·数学参考答案第3页（共4页）】 设点V关于直线x十y+4=0的对称点为N(xy), 则NV中点为（号，2告），且 y2.(-10=-1. +2岁+4=0， 。解得{x=一6，，即N'（一6，一4)，……12分 则|PN|十|PQ=|PN|十|PQ|≥|NQ,…13s分 又点V到圆上点Q的最短距离为|VC|一r=√/(3+6)+(1+4)下-√10=√106-√/10， 则|PN|十|PQ的最小值为/106-W小0，…14分 此时直线NC的方程为：y一1-者(x一3)，即5x一9y一6=0 点P为直线V'C与直线！的交点， 则5960·解得 、15 即点P(-只，一号) 0..........................................0........... x+y+4=0, y=-13 17分 · 19.解：(1)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 则A0,0.2.B10.2M01.1.N号号0）. AP-1AB=(1,0,0)=(a,0,0),Ap-AA+AP-(a,0,2),即P(1,0,2), pi=(分-，7-2，…2分 因为A7=011,所以A矿.P时=0叶号-2=-是0， 所以不存在点P,使得AM⊥PN. 4分 (2)设平面AMN的法向量为m=(a,b,c), m·AM=b+c=0. m:A衣=之a+号b=o.取a=1.得m=1,-11. 则 6分 因为直线PN与平面AMN所成角的正弦值为气. 所以sin0=|cos(m,P| 合--2 A+2 …8分 √（-）++4×√-+号 9 31 解得1=1或5， 所以当入=1或5时，直线PV与平面AMN所成角的正弦值为。 …10分 (3)法一：由1)知Pa,0,2),M=(号，-2，-1D,Pi=(-入1，-1). …11分 设点P到直线MV的距离为d, /P- PM·MN\ -+1 MN +1+1 √得(+)+号≥V停-5（当且仅当x 一号时取等号)， 所以动点P到直线MN的距离的取值范国为，十©)】 …17分 法二：由1)知P.0,2).=(分-，-1)，Pi=(-1,-1).A=(10,0》, 设n=(x,y,)为直线AB和MN的公垂线的方向向量 n·AB=x=0, 则有 nMN=x-y=0, 可取n=(0,2-1),所以异面直线AB和MN的距离为成，n=35 n 所以动点P到直线MN的距离的取值范围为[5，+∞）】 …17分 【高二年级10月联合测评·数学参考答案第4页（共4页）】