重难点突破专题二 图形规律探索-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

第二章重难点突破 专题2 图形规律探索 学习目标 ①了解图形规律类问题的命题形式，掌握此类问题的一般分析问题的思路； ②初步感受数形结合思想在解题中的应用。 ·图形规律问题的一般思路 ‌观察图形特征‌：首先观察图形的整体特征，确定是固定累加型、递变累加型还是分区域累加型。 ‌数数和对比‌：数出每个图形中的元素数量，通过对比前后图形的变化规律来找出规律。 ‌数形结合‌：将图形的变化规律用数学表达式描述出来，形成代数式。 ①观察图形的结构； ②用数字表示出图形的个数； ③根据图形之间的联系，得出数字的运算规律； ③找用代数式表示第n个图形中的个数。 ‌验证规律‌：将找出的规律代入前几个图形进行验证，确保其正确性。 常见图形规律题的具体类型与方法： ·固定累加型‌：确定基础图形中的元素数量，再确定后一个图形在前一个图形基础上累加的元素数量，推导出与序数n有关的关系式。 ·‌递变累加型‌：数出所求元素的个数，通过作差或作商观察变化规律，寻找与n有关的平方、平方加减等关系。 ·‌分区域累加型‌：观察图形，区分各部分的累加规律，分别找出各部分与序数n的关系式，再将各部分关系式相加。 ·‌循环规律‌：观察图形的循环模式，找出循环的周期和规律。 ·问题案例：（2024·安徽合肥·三模）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…… 请用含的代数式分别表示图中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个； 【问题分析】 ‌数数和对比‌： 图1中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； 图2中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； 图3中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； …… 属于固定累加型的图形规律， ∴图中，白色小正方形有个，灰色小正方形有个； ‌验证规律‌：第4个图中，白色小正方形有24个，满足，灰色小正方形有12个，满足。 【题型一：固定累加型图形排列】 例1．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 变式1.（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【题型二：‌递变累加型图形排列】 例2．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 变式2．观察下列图形中点的个数 (1)图2中点的个数是______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有81个点，那它是第______个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为______．(用含n的代数式表示) 【技巧方法与总结】 ①；②；③ 【题型三：其他类型】 例3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律： …… 根据以上规律，解答下列问题： (1) (2) （用含n的式子表示，需化简） (3)求 的值． 例4．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3） 该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 1．（23-24九年级下·安徽六安·期中）如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)求当时，拼得的正方形的个数； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 2．（2024·安徽淮南·二模）在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，浅色圆点为黄色花卉，深色圆点为红色花卉．图1有黄色花卉1盆，红色花卉4盆；图2有黄色花卉4盆，红色花卉9盆；以此类推． 按照以上规律，解决下列问题∶ (1)图5中黄色花卉有_________盆； (2)图n中两种颜色花卉共有_________盆(用含n的代数式表示)； (3)已知按此规律排列的花卉图案所用的红色花卉比黄色花卉多21盆，求所用的两种颜色花卉各多少盆？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章重难点突破 专题2 图形规律探索 学习目标 ①了解图形规律类问题的命题形式，掌握此类问题的一般分析问题的思路； ②初步感受数形结合思想在解题中的应用。 ·图形规律问题的一般思路 ‌观察图形特征‌：首先观察图形的整体特征，确定是固定累加型、递变累加型还是分区域累加型。 ‌数数和对比‌：数出每个图形中的元素数量，通过对比前后图形的变化规律来找出规律。 ‌数形结合‌：将图形的变化规律用数学表达式描述出来，形成代数式。 ①观察图形的结构； ②用数字表示出图形的个数； ③根据图形之间的联系，得出数字的运算规律； ③找用代数式表示第n个图形中的个数。 ‌验证规律‌：将找出的规律代入前几个图形进行验证，确保其正确性。 常见图形规律题的具体类型与方法： ·固定累加型‌：确定基础图形中的元素数量，再确定后一个图形在前一个图形基础上累加的元素数量，推导出与序数n有关的关系式。 ·‌递变累加型‌：数出所求元素的个数，通过作差或作商观察变化规律，寻找与n有关的平方、平方加减等关系。 ·‌分区域累加型‌：观察图形，区分各部分的累加规律，分别找出各部分与序数n的关系式，再将各部分关系式相加。 ·‌循环规律‌：观察图形的循环模式，找出循环的周期和规律。 ·问题案例：（2024·安徽合肥·三模）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…… 请用含的代数式分别表示图中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个； 【问题分析】 ‌数数和对比‌： 图1中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； 图2中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； 图3中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； …… 属于固定累加型的图形规律， ∴图中，白色小正方形有个，灰色小正方形有个； ‌验证规律‌：第4个图中，白色小正方形有24个，满足，灰色小正方形有12个，满足。 【题型一：固定累加型图形排列】 例1．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案， 【知识点】图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键． （1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可； （2）由（1）即可得出结果； （3）令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形； 第2个图案有：个正方形； 第3个图案有：个正方形； ， ∴第n个图案有个正方形， ∴第5个图案有个正方形， 故答案为：12； （2）由（1）可知：第n个图案有个正方形， 故答案为：； （3）可以， 当时，． 变式1.（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 【题型二：‌递变累加型图形排列】 例2．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 变式2．观察下列图形中点的个数 (1)图2中点的个数是______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有81个点，那它是第______个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为______．(用含n的代数式表示) 【答案】(1)9 (2)8 (3) 【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． （1）图2中点的个数为； （2）由第1个图形中点的个数为：，第2个图形中点的个数为：，第3个图形中点的个数为：，…得出第n个图形中点的个数为：，进一步得出，也就是第8个图形． （3）利用（2）中的规律得出答案即可． 【详解】（1）图2中点的个数为； 故答案为：9 （2）∵第1个图形中点的个数为：， 第2个图形中点的个数为：， 第3个图形中点的个数为：， … ∴第n个图形中点的个数为：， ∵， ∴是第8个图形． 故答案为：8 （3）第n个图形中点的个数为：． 故答案为： 【技巧方法与总结】 ①；②；③ 【题型三：其他类型】 例3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律： …… 根据以上规律，解答下列问题： (1) (2) （用含n的式子表示，需化简） (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字与图形的变化规律，解决本题的关键是熟练掌握从数字变化中总结规律， （1）由前面几组数据总结出； （2）由前面几组数据总结出； （3）由（3）总结出的规律求值即可； 【详解】（1） 故答案为：； （2） …… 故答案为：； （3）将代入得： 例4．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得，对n进行估值，n最大取13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，，当n=12时，n2+n=156＜200，当n=13时，n2+n=182＜200，当n=14时，n2+n=210＞200，∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 1．（23-24九年级下·安徽六安·期中）如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)求当时，拼得的正方形的个数； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)57 【分析】此题考查了图形规律，解题的关键是根据图形特点，进行规律归纳． （）先从前面几个具体的图形数量发现并得出具有相同规律的代数式，再总结归纳即可； （2）把代入中求解即可 （）根据题意可得，解之即可； 【详解】（1）解：解：由块地砖有个正方形， 块地砖拼得个正方形， 块地砖拼得个正方形， 块地砖拼得个正方形， ， 照此规律拼下去块地砖拼得的正方形的个数为个正方形， 故答案为：； （2）解：当时，，即此时正方形的个数为个； （3）解：由题意可知：， 解得：， ∴m的值为57． 2．（2024·安徽淮南·二模）在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，浅色圆点为黄色花卉，深色圆点为红色花卉．图1有黄色花卉1盆，红色花卉4盆；图2有黄色花卉4盆，红色花卉9盆；以此类推． 按照以上规律，解决下列问题∶ (1)图5中黄色花卉有_________盆； (2)图n中两种颜色花卉共有_________盆(用含n的代数式表示)； (3)已知按此规律排列的花卉图案所用的红色花卉比黄色花卉多21盆，求所用的两种颜色花卉各多少盆？ 【答案】(1)25 (2) (3)共有红色花卉121盆，黄红色花卉100盆 【知识点】图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元一次方程的应用；解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据第1个图案需要黄色花卉1盆，第2个图案需要黄色花卉（盆），第3个图案需要黄色花卉（盆），据此可求解； （2）根据第1个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉1盆；第2个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）；第3个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 得出第n个图案需要红色花卉盆，黄色花卉盆；据此进行总结即可； （3）可设第个花卉图案中红色花卉比黄色花卉多21盆，结合（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要黄色花卉1盆； 第2个图案需要黄色花卉（盆）； 第3个图案需要黄色花卉（盆）； 第4个图案需要黄色花卉（盆）； 第5个图案需要黄色花卉（盆）； 故答案为：25； （2）第1个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉1盆； 第2个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第3个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第4个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第5个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； ， 第n个图案需要红色花卉盆，黄色花卉盆； 故第个图案需要花卉的盆数为：； 故答案为：； （3）设第个花卉图案中红色花卉比黄色花卉多21盆， 由题意得：， 解得：， ． 答：该花卉图案中红色花卉有121盆，黄色花卉100盆． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$