专题3.2 位置与坐标单元知识总结【16大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题3.2 位置与坐标单元知识总结【10大题型】（北师大版） 题组一 平面直角坐标系坐标特征 1 题组二 基本对称变换 2 题组三 关于x=a对称 2 题组四 关于y=b对称 3 题组五 一三象限角平分线上的点 4 题组六 二四象限角平分线上的点 4 题组七 关于一三象限角平分线对称 5 题组八 关于二四象限角平分线对称 5 题组九 点的平移变换 6 题组十 点的规律变换 6 题组十一 坐标系内任意三点求面积 8 题组十二 作图--对称变换 10 题组十三 建立坐标系求解线段长 13 题组十四 铅锤法求面积 14 题组十五 中点坐标公式 17 题组十六 两点间的距离公式 20 题组一 平面直角坐标系坐标特征 1．下列各点中在第四象限的是（　　） A．（﹣3，7） B．（3，﹣7） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7） 2．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．平面直角坐标系中，点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3） 4．下列说法正确的是（　　） A．点（1，﹣a2）在第四象限 B．若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（﹣3，2） D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则点B的坐标为（4，﹣2） 5．下列说法不正确的是（　　） A．在x轴上的点的纵坐标为0 B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1 C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限 D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限 故选：C． 题组二 基本对称变换 6．在平面直角坐标系中，坐标为（a，b）的点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（a，﹣b） B．（b，a） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a） 7．点A（1，﹣2）经过某种图形变化后得到点A′（2，1），这种图形变化可以是（　　） A．绕原点逆时针旋转90° B．绕原点顺时针旋转90° C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 8．点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2024，2023） B．（2023，﹣2024） C．（﹣2023，﹣2024） D．（2023，2024） 9．在直角坐标系中，已知点A（2+a，b﹣2），B（b，1）关于原点对称，则a，b的值是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝1，b＝﹣3 D．a＝5，b＝3 10．若点A（a+b，﹣1）与点B（5，a﹣b） 关于原点对称，则点P（a，b）的坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 题组三 关于x=a对称 11．平面直角坐标系中，已知点P（a，﹣3）在第四象限，则点P关于直线x＝2对称的点的坐标是（　　） A．（a，1） B．（﹣a+2，﹣3） C．（﹣a+4，﹣3） D．（﹣a，﹣3） 12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于直线x＝1的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3） 14．平面直角坐标系中，已知点P（a，3）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（　　） A．（﹣a，3） B．（a，﹣3） C．（﹣a+2，3） D．（﹣a+4，3） 15．在平面直角坐标系中，已知点P（a2+2，5），则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称点的坐标是（　　） A．（﹣a2+6，5） B．（﹣a2﹣6，5） C．（a2﹣6，5） D．（﹣a2+4，5） 题组四 关于y=b对称 16．已知A（﹣4，1），那么A点关于直线y＝﹣1对称的点的坐标为（　　） A．（4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣4，3） 17．如图点A和B关于直线y＝1对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（　　） A．（4，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2） 18．点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 19．在直角坐标系中，点A与点C关于直线y＝2成轴对称，已知点A的坐标是（5，5），则点C的坐标是（　　） A．（5，﹣5） B．（5，﹣1） C．（﹣2，5） D．（﹣5，1） 20．若点P（﹣2，a），Q（b，3），且PQ∥x轴，则a，b的值为（　　） A．a＝3，b≠2 B．a＝3，b≠﹣2 C．a≠﹣3，b＝2 D．a≠﹣3，b＝﹣2 题组五 一三象限角平分线上的点 21．在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第一三象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（4，4） B．（3，3） C．（11，11） D．（﹣11，﹣11） 22．已知点P（5﹣a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 23．已知点P（a，2a+1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 24．已知点P（a，1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 25．已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 题组六 二四象限角平分线上的点 26．已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（　　） A．a＝1，m＝﹣2 B．a＝1，m＝2 C．a＝﹣1，m＝﹣2 D．a＝﹣1，m＝2 27．已知点P（a，b）在第一、三或二、四象限坐标轴夹角的角平分线上，则有（　　） A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．a2﹣b2＝0 D．a2+b2＝0 28．点P（3﹣2x，5﹣x）在二、四象限的角平分线上，则x＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 29．点P（2x，y）在二、四象限的角平分线上，则（　　） A．2x＝y B．2x＝﹣y C．﹣x＝y D．|﹣2x|＝y 30．若x+y＝0，则点P（x，y）的位置是（　　） A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上 C．二、三象限的角平分线上 D．一、四象限的角平分线上 题组七 关于一三象限角平分线对称 31．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与OA′关于一、三象限的角平分线对称，已知点A的坐标为（2，1），则点A′的坐标为　 　． 32．（1）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是 　 　． 33．点M（﹣1，3）关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为　 　． 34．如图，第一、三象限角平分线记为y＝x，如点（﹣1，﹣2）关于直线y＝x对称点坐标为（﹣2，﹣1），点（a，b）关于y＝x对称点的坐标为　 　． 35．点A（a，b）关于第一、三象限的角平分线（y＝x）的对称点的坐标为A4　 　． 题组八 关于二四象限角平分线对称 36．已知点A（﹣2，3）．若A、B两点关于x轴对称，则B的坐标为　 　；若A、B两点关于二、四象限角平分线对称，则B的坐标为　 　． 37．已知点A（m，﹣3），B（2，n）．若点A、B关于y轴对称，则m＝　 　，n＝　 　；若A、B在二、四象限的角平分线上，则m＝　 　，n＝　 　． 38．点P（a，b）关于二四象限的角平分线的对称点表示为　 　． 39．点P（2，1）关于y＝﹣x对称的点的坐标是　 　． 40．在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣2）关于直线y＝﹣x对称的点P′的坐标为 　 　． 题组九 点的平移变换 41．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点A（1，2），B（7，5）．将线段AB平移后，点A的新坐标为（﹣6，﹣3），则点B的新坐标为　 　． 42．直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（3，﹣2），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A1B1.若点A1的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为 　 　． 43．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（1，2），B（2，0），将线段AB平移后得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（3，a），D（b，1），则a﹣b的值为 　 　． 44．线段AB的两个端点的坐标为A（m，2），B（3，5），将线段AB平移后得线段A′B′，其中A′（0，3），B′（6，n），则线段AB上的点C（﹣1，3）平移后的坐标是　 　． 45．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，0）和（0，1），将线段AB平移，若平移后A，B的对应点为C（﹣1，m），D（n，3），则m+n的值是　 　 题组十 点的规律变换 46．如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB，再将ΔO1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B，…，按此规律进行下去，若点B的坐标为（﹣2，0），则点B2024的坐标为 　 　． 47．如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（2，3），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点A2024的坐标为 　 　． 48．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，∁n，…．则点A4的坐标为　 　；∁n的顶点坐标为　 　（n为正整数，用含n的代数式表示）． 49．已知：如图，直线l：y＝﹣x﹣1，一组可由平移变换得到的抛物线的顶点为B1，B2、B3、…Bn（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数），其中x1＝0，x2＝2，则x3＝　 　；B8的坐标为　 　． 50．在平面直角坐标系中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2021次旋转得到△OA2021B2021，则顶点A的对应点A2021的坐标是　 　． 题组十一 坐标系内任意三点求面积 51．阅读以下材料，并解决问题： 小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（5，2），求△OAB的面积． 小明用割补法解决了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则S△OAB＝S△OAM+S梯形AMNB﹣S△OBN＝×1×4+（2+4）（5﹣1）﹣×5×2＝9． 解决问题后小明又思考，如果将问题一般化是否会有好的结论．于是它首先研究了点A，B在第一象限内的一种情形：如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，y1＞y2． （1）请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积．（用含x1，x2，y1，y2的式子表示） （2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B（点O，A，B不共线）与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点A（a，a+2），B（x，y）在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a＞0，都有S△OAB＝2？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由． 52．如图，在△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求△AOB的面积． 53．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）、（6，2）． （1）求三角形AOB的面积； （2）若点P的横坐标为2，使得三角形ABP的面积为6，求点P的坐标． 54．△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（2，0），求△ABC的面积． 55．如图，已知：A（2，0），B（0，﹣2），点P（a，1），S△PAB＞5，求a的取值范围． 题组十二 作图--对称变换 56．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点B坐标是 　 　，点C1坐标是 　 　； （3）求△A1B1C1的面积． 57．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，请回答下列问题： （1）点A在第 　 　象限，它的坐标是 　 　； （2）点B在第 　 　象限，它的坐标是 　 　； （3）将△AOB的每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以﹣1，再顺次连接这些点，所得的图形与△AOB关于 　 　轴对称． 58．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，若点P1（m，n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 　 　． 59．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　 　； （3）连接CD，BD，则△BCD的周长为 　 　． 60．如图已知平面直角坐标系中A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1） （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标． （2）在y轴上找一点P，使PA+PC最短，并求出P点的坐标． 题组十三 建立坐标系求解线段长 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BA延长线上一点，2CF＝BF，AE＝CF，则线段DG的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（　　） A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2） 3．课题学习：用函数模型解几何题． （1）方法体会：如图1，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF与CG的交点，那么EH的长是多少？ 下面让我们一起来用函数模型来解这个题目，要好好体会这种解法哟! 解：以点B为坐标原点O，BE、BA所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图2．以BC长为一个单位长度，则由题意可知点A坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3），则直线AF的解析式为　 　；请同学们根据点H是AF与CG的交点，求出点H的坐标为　 　；进而求得EH的长为　 　． （2）解决问题：请仿照上述建立平面直角坐标系的方法解决下面的问题． 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，四边形DEFG为正方形，D、E分别在边AC、BC上，F、G在边AB上，求DE的长． 题组十四 铅锤法求面积 4．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．这个结论是否正确？ 5．阅读材料： 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题： 已知：直线l1：y＝﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：y＝x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C． （1）建立平面直角坐标系，画出示意图（无需列表）并求出C点的坐标； （2）利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积． 6．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法： 如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高． 【结论提炼】 容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh” 【结论应用】 为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 　 　，所以△ABC面积的大小为 　 　． 【再探新知】 三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 　 　；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 　 　，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积 　 　．（填“适合”或“不适合”） （2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 　 　，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 　 　，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积 　 　．（“适合”或“不适合”） （3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积 　 　．（填“适合”或“不适合”） 【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：　 　． 题组十五 中点坐标公式 7．探究： 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图①得到结论：．他还利用图②证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式：，． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程． 运用： （2）已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），求线段MN的长度； （3）请直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标． 8．如图1：在△ABC中， （1）利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线DE，（要求：点D在AB上，点E在AC上；） （2）直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点D，E分别是AB，AC边的中点，不妨设点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中点坐标公式，A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为（，） （3）如图3：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点D，DE⊥AD，连接EC并延长AB边于点F，若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由． 9．预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标为． ①设A（1，2），B（5，0），点M为线段AB的中点，则点M的坐标为 　 　． ②设线段CD的中点为点N，其坐标为（3，2），若端点C的坐标为（7，3），则端点D的坐标为 　 　． （2）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF.（S表示面积） 10．知识储备 如图①，点E、F分别是y＝3和y＝﹣1上的动点，则EF的最小值是　 　； 方法储备 直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了《坐标与位置）后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的一种证明方法．如图②，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，DE称为△ABC的中位线，则DE∥BC且DE＝BC．该数学小组建立如图③的直角坐标系，设点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中点坐标公式，A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为（，）） 综合应用 结合上述知识和方法解决问题，如图④，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点 D．DE⊥AD，连接EC并延长交AB边于点F．若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题组十六 两点间的距离公式 11．先阅读下列一段文字，再解答问题 已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． 如图1：平面直角坐标系中，点A（2，3），B（3，﹣1），直线AB交x轴于点C，连接OA，OB． ①直接写出OA，OB的值；用两点间的距离公式求出线段AB的长度． ②试求点C的坐标和三角形AOB的面积． ③如图2：如果点D在平行x轴的直线上，连接OD，DC，三角形ODC的面积比三角形OAC大1，请直接写出点D的纵坐标． 12．先阅读下列一段文字，再回答问题： 已知平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），这两点间的距离同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点M（2，3）、N（4，2），则M、N两点间的距离为 　 　；已知点E、F在平行于x轴的直线上，点E的横坐标为7，点F的横坐标为5，则E、F两点间的距离 　 　； （2）已知一个三角形的各顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（2，4）、C（5，0），你能判定此三角形的形状吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，若PA+PB的值最小，请找出点P（不求坐标，画出图形即可），求出PA+PB的最小值． 13．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面以求DE为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）， 所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8， EF＝|4﹣（﹣7）|＝11， 所以由勾股定理可得，． 解决以下问题： （1）图①中：AC＝　 　，BC＝　 　，所以AB＝　 　； （2）在图②中，设A（x1，y1），B（x1，y2），试用x1，x2，y1，y2表示，AC＝　 　，BC＝　 　，所以AB＝　 　； 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式．请用此公式解决问题： （3）在平面直角坐标系中的两点A（﹣1，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值； （4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：　 　．（直接写出答案） 14．【阅读与应用】如图1已知平面内两点A（x1，y1）、B（x2，y2），过这两点分别作垂直于x轴和y轴的虚线相交于点M，则BM间的距离为|x1﹣x2|，则BM2＝（x1﹣x2）2，同理AM间的距离为|y1﹣y2|，则，由勾股定理得：AB2＝BM2+AM2，即：，则平面内任意两点间的距离公式为AB＝． （1）如图2，已知点A（4，5）、B（1，1），试利用两点间的距离公式求A、B两点间的距离？ （2）课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为，这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，△ABC中，AB＝c，BC＝a＝7，AC＝b＝8，试利用“海伦公式”，求△ABC的面积？ （3）如图4，在（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 位置与坐标单元知识总结【10大题型】（北师大版） 题组一 平面直角坐标系坐标特征 1 题组二 基本对称变换 2 题组三 关于x=a对称 3 题组四 关于y=b对称 5 题组五 一三象限角平分线上的点 5 题组六 二四象限角平分线上的点 8 题组七 关于一三象限角平分线对称 9 题组八 关于二四象限角平分线对称 9 题组九 点的平移变换 11 题组十 点的规律变换 12 题组十一 坐标系内任意三点求面积 13 题组十二 作图--对称变换 18 题组十三 建立坐标系求解线段长 29 题组十四 铅锤法求面积 29 题组十五 中点坐标公式 34 题组十六 两点间的距离公式 48 题组一 平面直角坐标系坐标特征 1．下列各点中在第四象限的是（　　） A．（﹣3，7） B．（3，﹣7） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7） 2．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．平面直角坐标系中，点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3） 4．下列说法正确的是（　　） A．点（1，﹣a2）在第四象限 B．若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（﹣3，2） D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则点B的坐标为（4，﹣2） 5．下列说法不正确的是（　　） A．在x轴上的点的纵坐标为0 B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1 C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限 D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限 故选：C． 题组二 基本对称变换 6．在平面直角坐标系中，坐标为（a，b）的点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（a，﹣b） B．（b，a） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a） 【解答】解：坐标为（a，b）的点关于x轴对称的点的坐标为（a，﹣b）． 故选：A． 7．点A（1，﹣2）经过某种图形变化后得到点A′（2，1），这种图形变化可以是（　　） A．绕原点逆时针旋转90° B．绕原点顺时针旋转90° C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【解答】解：点A和点A′如图所示， 显然点A和点A′既不关于x轴对称，也不关于y轴对称， 分别过点A和点A′作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 根据点A和点A′坐标可证明出△A′NO≌△OMA（SAS）， 所以∠A′ON＝∠A， 又因为∠A+∠AOM＝90°， 所以∠A′ON+∠AOM＝90°， 所以∠A′OA＝90°， 则将点A绕原点逆时针旋转90°可得点A′． 故选：A． 8．点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2024，2023） B．（2023，﹣2024） C．（﹣2023，﹣2024） D．（2023，2024） 【解答】解：点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2023，﹣2024）． 故选：C． 9．在直角坐标系中，已知点A（2+a，b﹣2），B（b，1）关于原点对称，则a，b的值是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝1，b＝﹣3 D．a＝5，b＝3 【解答】解：∵点A（2+a，b﹣2），B（b，1）关于原点对称， ∴， 解得：． 故选：B． 10．若点A（a+b，﹣1）与点B（5，a﹣b） 关于原点对称，则点P（a，b）的坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 【解答】解：∵点A（a+b，﹣1）与点B（5，a﹣b）关于原点对称， ∴， 解得：， 故点P（a，b）的坐标是（﹣2，﹣3）． 故选：C． 题组三 关于x=a对称 11．平面直角坐标系中，已知点P（a，﹣3）在第四象限，则点P关于直线x＝2对称的点的坐标是（　　） A．（a，1） B．（﹣a+2，﹣3） C．（﹣a+4，﹣3） D．（﹣a，﹣3） 【解答】解：设P（a，﹣3）关于直线x＝2的对称点为P′（m，﹣3）， 则有＝2， ∴m＝4﹣a， ∴P′（﹣a+4，﹣3）， 故选：C． 12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于直线x＝1的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：点P（﹣2，3）关于直线x＝1的对称点P′（4，3）， ∴P′在第一象限， 故选：A． 13．在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3） 【解答】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0， 点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3）， 把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3）， 故选：C． 14．平面直角坐标系中，已知点P（a，3）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（　　） A．（﹣a，3） B．（a，﹣3） C．（﹣a+2，3） D．（﹣a+4，3） 【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是2， ∴直线为：x＝2， ∵点P（a，3）在第二象限， ∴a到直线m的距离为：2﹣a， ∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：2﹣a+2＝4﹣a， 故P点对称的点的坐标是：（﹣a+4，3）． 故选：D． 15．在平面直角坐标系中，已知点P（a2+2，5），则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称点的坐标是（　　） A．（﹣a2+6，5） B．（﹣a2﹣6，5） C．（a2﹣6，5） D．（﹣a2+4，5） 【解答】解：根据题意，直线m的解析式为x＝﹣2， 则点P（a2+2，5）关于直线x＝﹣2的对称点的横坐标为﹣2﹣[a2+2﹣（﹣2）]＝﹣a2﹣6，纵坐标为5， 即对称点的坐标为（﹣a2﹣6，5）， 故选：B． 题组四 关于y=b对称 16．已知A（﹣4，1），那么A点关于直线y＝﹣1对称的点的坐标为（　　） A．（4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣4，3） 【解答】解：过A作A关于直线Y＝﹣1的对称点B，如图： ∵A（﹣4，1）， ∴B的横坐标是﹣4，纵坐标是﹣1﹣2＝﹣3， ∴B的坐标是（﹣4，﹣3）． 故选：C． 17．如图点A和B关于直线y＝1对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（　　） A．（4，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2） 【解答】解：根据题意，A和B关于直线y＝1对称， 则A、B的连线与y＝1垂直，且两点到直线y＝1的距离相等； 由A、B的连线与y＝1垂直，可得A、B的横坐标相等， 又有两点到直线y＝1的距离相等，可得yA﹣1＝1﹣yB， 解可得yB＝﹣2； 故B点的坐标为（4，﹣2）； 答案为B． 18．点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称， ∴＝﹣1， 解得：b＝﹣3， ∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3， ∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确． 故选：A． 19．在直角坐标系中，点A与点C关于直线y＝2成轴对称，已知点A的坐标是（5，5），则点C的坐标是（　　） A．（5，﹣5） B．（5，﹣1） C．（﹣2，5） D．（﹣5，1） 【解答】解：如图，∵点A与点C关于直线y＝2成轴对称，点A的坐标是（5，5）， ∴点C的横坐标为5， 纵坐标为2×2﹣5＝﹣1， ∴点C的坐标为（5，﹣1）． 故选：B． 20．若点P（﹣2，a），Q（b，3），且PQ∥x轴，则a，b的值为（　　） A．a＝3，b≠2 B．a＝3，b≠﹣2 C．a≠﹣3，b＝2 D．a≠﹣3，b＝﹣2 【解答】解：因为PQ∥x轴，所以点P、Q的纵坐标相同，即a＝3， 又∵P、Q不能为同一点， ∴b≠﹣2． 故选：B． 题组五 一三象限角平分线上的点 21．在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第一三象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（4，4） B．（3，3） C．（11，11） D．（﹣11，﹣11） 【解答】解：第一三象限角平分线的解析式为y＝x， 将点P（2m+3，3m﹣1）代入y＝x，可得：3m﹣1＝2m+3， 解得：m＝4， 故点P的坐标为（11，11）． 故选：C． 22．已知点P（5﹣a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：由点P（5﹣a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则5﹣a＝2a﹣1，解得：a＝2． 故选：D． 23．已知点P（a，2a+1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵点P（a，2a+1）在一、三象限的角平分线上， ∴a＝2a+1， 解得a＝﹣1， 故选：A． 24．已知点P（a，1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵点P（a，1）在一、三象限的角平分线上， ∴a的值为：1． 故选：C． 25．已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上， ∴a＝2a﹣1， 解得：a＝1． 故选：C． 题组六 二四象限角平分线上的点 26．已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（　　） A．a＝1，m＝﹣2 B．a＝1，m＝2 C．a＝﹣1，m＝﹣2 D．a＝﹣1，m＝2 【解答】解：由已知条件知，点A位于一、三象限夹角平分线上， 所以有2a+4＝5a﹣2， 解得：a＝1； ∵点B（2m+7，m﹣1）在第二、四象限的夹角平分线上， ∴（2m+7）+（m﹣1）＝0， 解得：m＝﹣2． 故选：A． 27．已知点P（a，b）在第一、三或二、四象限坐标轴夹角的角平分线上，则有（　　） A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．a2﹣b2＝0 D．a2+b2＝0 【解答】解：当点P（a，b）在第一、三象限坐标轴夹角的角平分线上时，有a＝b； 当点P（a，b）在第二、四象限坐标轴夹角的角平分线上时，有a＝﹣b； 综合可得|a|＝|b|，即a2﹣b2＝0； 故选：C． 28．点P（3﹣2x，5﹣x）在二、四象限的角平分线上，则x＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【解答】解：∵点P（3﹣2x，5﹣x）在二、四象限的角平分线上， ∴点P的横纵坐标互为相反数，即3﹣2x＝﹣（5﹣x）， 解得：． 故选：A． 29．点P（2x，y）在二、四象限的角平分线上，则（　　） A．2x＝y B．2x＝﹣y C．﹣x＝y D．|﹣2x|＝y 【解答】解：由P（2x，y）在二、四象限的角平分线上，得 y＝﹣2x， 故选：B． 30．若x+y＝0，则点P（x，y）的位置是（　　） A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上 C．二、三象限的角平分线上 D．一、四象限的角平分线上 【解答】解：∵x+y＝0， ∴y＝﹣x， 即点P（x，y）的位置是在二、四象限的角平分线上． 故选：B． 题组七 关于一三象限角平分线对称 31．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与OA′关于一、三象限的角平分线对称，已知点A的坐标为（2，1），则点A′的坐标为　（1，2）　． 【解答】解：如图所示：过点A′作A′B′⊥y轴于点B′，AB⊥x轴点B， ∵线段OA与OA′关于一、三象限的角平分线对称， ∴AB＝A′B′，OB＝OB′ ∵点A的坐标为（2，1）， ∴点A′的坐标为：（1，2）． 故答案为：（1，2）． 32．（1）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　﹣5　； （2）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　． 【解答】解：（1）∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称， ∴Q（﹣2，﹣3）， ∴a+b＝﹣5． 故答案为：﹣5． （2）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 33．点M（﹣1，3）关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为　（3，﹣1）　． 【解答】解：点M（﹣1，3）关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为（3，﹣1）． 故答案为（3，﹣1）． 34．如图，第一、三象限角平分线记为y＝x，如点（﹣1，﹣2）关于直线y＝x对称点坐标为（﹣2，﹣1），点（a，b）关于y＝x对称点的坐标为　（b，a）　． 【解答】解：∵点（﹣1，﹣2）关于y＝x对称点为（﹣2，﹣1）， ∴点（a，b）关于y＝x对称点的坐标为（b，a）． 故答案为：（b，a）． 35．点A（a，b）关于第一、三象限的角平分线（y＝x）的对称点的坐标为A4　（b，a）　． 【解答】解：点A（a，b）关于第一、三象限的角平分线（y＝x）的对称点A4的坐标为（b，a）， 故答案为：（b，a）． 题组八 关于二四象限角平分线对称 36．已知点A（﹣2，3）．若A、B两点关于x轴对称，则B的坐标为　（﹣2，﹣3）　；若A、B两点关于二、四象限角平分线对称，则B的坐标为　（﹣3，2）　． 【解答】解：点A（﹣2，3）、B两点关于x轴对称， 则B的坐标为（﹣2，﹣3）； ∵A、B两点关于二、四象限角平分线对称， ∴点B的横坐标为﹣3，纵坐标为2， ∴点B的坐标为（﹣3，2）． 故答案为：（﹣2，﹣3）；（﹣3，2）． 37．已知点A（m，﹣3），B（2，n）．若点A、B关于y轴对称，则m＝　﹣2　，n＝　﹣3　；若A、B在二、四象限的角平分线上，则m＝　3　，n＝　﹣2　． 【解答】解：∵点A（m，﹣3），B（2，n），点A、B关于y轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∵点A（m，﹣3），B（2，n），A、B在二、四象限的角平分线上， ∴m＝3，n＝﹣2． 故答案为：﹣2，﹣3，3，﹣2． 38．点P（a，b）关于二四象限的角平分线的对称点表示为　（﹣b，﹣a）　． 【解答】解：点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线的对称点表示为（﹣b，﹣a）． 故答案为（﹣b，﹣a）． 39．点P（2，1）关于y＝﹣x对称的点的坐标是　（﹣1，﹣2）　． 【解答】解：∵直线y＝﹣x上点的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴点P（2，1）关于直线y＝﹣x的对称点坐标是（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 40．在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣2）关于直线y＝﹣x对称的点P′的坐标为 　（2，4）　． 【解答】解：点P（﹣4，﹣2）关于y＝﹣x对称的点的坐标是：（2，4）． 故答案为：（2，4）． 题组九 点的平移变换 41．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点A（1，2），B（7，5）．将线段AB平移后，点A的新坐标为（﹣6，﹣3），则点B的新坐标为　（0，0）　． 【解答】解：∵线段AB端点A（1，2），将线段AB平移后，点A的新坐标为（﹣6，﹣3）， ∴线段AB向左平移7个单位，向下平移5个单位， ∴B点新坐标为（7﹣7，5﹣5）， 即（0，0）， 故答案为：（0，0）． 42．直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（3，﹣2），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A1B1.若点A1的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为 　（﹣3，5）　． 【解答】解：由A（3，﹣2）的对应点A1的坐标为（﹣1，2），知线段AB向左平移4个单位，向上平移4个单位可得到线段A1B1， ∴点B（1，1）的对应点B1的坐标为（﹣3，5）， 故答案为：（﹣3，5）． 43．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（1，2），B（2，0），将线段AB平移后得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（3，a），D（b，1），则a﹣b的值为 　﹣1　． 【解答】解：由题意得，线段AB向右平移2个单位，向上平移1个单位得到线段CD， ∴2+2＝b，2+1＝a， ∴a＝3，b＝4， ∴a﹣b＝3﹣4＝﹣1， 故答案为：﹣1． 44．线段AB的两个端点的坐标为A（m，2），B（3，5），将线段AB平移后得线段A′B′，其中A′（0，3），B′（6，n），则线段AB上的点C（﹣1，3）平移后的坐标是　（2，4）　． 【解答】解：由题意可知：平移后点的横坐标为﹣1+（6﹣3）＝2； 纵坐标为3+（3﹣2）＝4； ∴线段AB上的点C（﹣1，3）平移后的坐标是（2，4）． 45．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，0）和（0，1），将线段AB平移，若平移后A，B的对应点为C（﹣1，m），D（n，3），则m+n的值是　3　 【解答】解：∵两点A（﹣2，0），B（0，1），把线段AB平移后平移后A，B的对应点为C（﹣1，m），D（n，3）， ∴线段是向右平移1个单位，再向上平移了2个单位， ∴n＝0+1＝1，m＝0+2＝2， ∴m+n＝1+2＝3， 故答案为3． 题组十 点的规律变换 46．如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB，再将ΔO1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B，…，按此规律进行下去，若点B的坐标为（﹣2，0），则点B2024的坐标为 　　． 【解答】解：∵△O1AB由△OAB绕点A旋转180°得到， ∴点B，A，B1共线． ∵点B坐标为（﹣2，0）， ∴OB＝2． 在Rt△OBB1中， tan60°＝， ∴OB1＝， 则点B1的坐标为（0，）． ∵O1B1∥x轴，且O1B1＝2， ∴点B2的坐标为（﹣4，）， 依次类推， 点B3的坐标为（﹣2，）， 点B4的坐标为（﹣6，）， 点B5的坐标为（﹣4，）， 点B6的坐标为（﹣8，）， …， 由此可见，当n为偶数时，点Bn的坐标可表示为（﹣n﹣2，n）， 当n＝2024时， ﹣n﹣2＝﹣2026，n＝2024， ∴点B2024的坐标为（﹣2026，）． 故答案为：（﹣2026，）． 47．如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（2，3），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点A2024的坐标为 　（5062，3）　． 【解答】解：根据所给翻滚方式可知， 点A1的坐标为（5，0）； 点A2的坐标为（5，0）； 点A3的坐标为（7，2）； 点A4的坐标为（12，3）； 点A5的坐标为（15，0）； 点A6的坐标为（15，0）； 点A7的坐标为（17，2）； 点A8的坐标为（22，3）； …， 由此可见，每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现， 又因为2024÷4＝506， 所以12+10×（506﹣1）＝5062， 所以点A2024的坐标为（5062，3）． 故答案为：（5062，3）． 48．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，∁n，…．则点A4的坐标为　（12，0）　；∁n的顶点坐标为　（3n﹣，（﹣1）n+1•）　（n为正整数，用含n的代数式表示）． 【解答】解：这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，∁n，…． 则点A4的坐标为 （12，0）；Cn的顶点坐标为 （3n﹣，（﹣1）n+1•）， 故答案为：（12，0），（3n﹣，（﹣1））． 49．已知：如图，直线l：y＝﹣x﹣1，一组可由平移变换得到的抛物线的顶点为B1，B2、B3、…Bn（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数），其中x1＝0，x2＝2，则x3＝　5　；B8的坐标为　（39.5，﹣40.5）　． 【解答】解：∵A1（0，0），A2（2，0）， ∴B1的横坐标为1， 当x＝1时，y＝﹣x﹣1＝﹣2，则B1的坐标为（1，﹣2）， 设顶点为B1的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， 把A1（0，0）代入得a﹣2＝0，解得a＝2， ∴顶点为B1的抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2， 设顶点为B2的抛物线解析式为y＝2（x﹣m）2+n， 把A2（2，0）代入得2（2﹣m）2+n＝0， ∵n＝﹣m﹣1， ∴2（2﹣m）2﹣m﹣1＝0， 整理得2m2﹣9m+7＝0，解得m1＝，m2＝1（舍去）， ∴n＝﹣﹣1＝﹣ ∴顶点为B2的抛物线解析式为y＝2（x﹣）2﹣， 当y＝0时，2（x﹣）2﹣＝0，解得x＝2或5， ∴A3（5，0），即x3＝5； 设顶点为B3的抛物线解析式为y＝2（x﹣t）2+k， 把A3（5，0）代入得2（5﹣t）2+k＝0， ∵k＝﹣t﹣1， ∴2（5﹣t）2﹣t﹣1＝0， 整理得2t2﹣21t+49＝0，解得t1＝（舍去），t2＝7， ∴k＝﹣7﹣1＝﹣8， ∴顶点为B2的抛物线解析式为y＝2（x﹣7）2﹣8， 当y＝0时，2（x﹣）2﹣＝0，解得x＝5或9， ∴A4（9，0）， ∴A5（14，0），A6（20，0），A7（27，0），A8（35，0），A9（44，0）， ∵顶点为B8的抛物线经过A8（35，0），A9（44，0）， ∴B8的横坐标为＝39.5， 当x＝39.5时，y＝﹣x﹣1＝﹣40.5， ∴B8的坐标为（39.5，﹣40.5）． 故答案为5；（39.5，﹣40.5）． 50．在平面直角坐标系中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2021次旋转得到△OA2021B2021，则顶点A的对应点A2021的坐标是　（2，﹣1）　． 【解答】解：将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；此时，点A1的坐标为（2，﹣1）； 再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；此时，点A2的坐标为（﹣1，﹣2）； 再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；此时，点A3的坐标为（﹣2，1）； 再将△OA3B3绕点O顺时针旋转90°得△OA4B4；此时，点A4的坐标为（1，2）； ∴每旋转4次一个循环， ∵2021÷4＝505...1， ∴第2020次旋转得到△OA2021B2021，则顶点A的对应点A2021的坐标与点A1的坐标相同，为（2，﹣1）； 故答案为：（2，﹣1）． 题组十一 坐标系内任意三点求面积 51．阅读以下材料，并解决问题： 小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（5，2），求△OAB的面积． 小明用割补法解决了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则S△OAB＝S△OAM+S梯形AMNB﹣S△OBN＝×1×4+（2+4）（5﹣1）﹣×5×2＝9． 解决问题后小明又思考，如果将问题一般化是否会有好的结论．于是它首先研究了点A，B在第一象限内的一种情形：如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，y1＞y2． （1）请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积．（用含x1，x2，y1，y2的式子表示） （2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B（点O，A，B不共线）与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点A（a，a+2），B（x，y）在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a＞0，都有S△OAB＝2？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）S△OAB＝S△AOM+S梯形AMNBA﹣S△OBN＝x1y1+（y2+y1）（x2﹣x1）﹣x2y2＝（x2y1﹣x1y2）； （2）存在，理由： 由（1）知，S△OAB＝|x2y1﹣x1y2|， ∵对于任意的a＞0都有S△OAB＝2，其中A（a，a+2），B（x，y）（x＞0，y＞0）， 即|x（a+2）﹣ay|＝2， 即（x﹣y）a＝4﹣2x或﹣4﹣2x， ∴， 解得， ∵点B在第一象限， 故点B（2，2）． 52．如图，在△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求△AOB的面积． 【解答】解：如图，过A作水平线l交y轴于点E，过B作垂线，交直线l与点C，交x轴于点D，则 S矩形ECDO＝6×4＝24， SRt△AEO＝×4×2＝4； SRt△ABC＝×2×4＝4； SRt△OBD＝×6×2＝6； 则S△OAB＝S矩形ECDO﹣SRt△ABC﹣SRt△AEO﹣SRt△OBD＝10． 故三角形AOB的面积是10． 53．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）、（6，2）． （1）求三角形AOB的面积； （2）若点P的横坐标为2，使得三角形ABP的面积为6，求点P的坐标． 【解答】解：（1）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图， S△AOB＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD ＝×2×4+×（2+4）×（6﹣2）﹣×6×2 ＝4+12﹣6 ＝10； （2）设P（2，t）， ∵A（2，4）， ∴AP⊥x轴， ∴S△BPA＝|4﹣t|×（6﹣2）＝6，解得t＝1或7， ∴P点坐标为（2，1）或（2，7）． 54．△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（2，0），求△ABC的面积． 【解答】解：根据坐标作出如图所示： ∴BC＝5 三角形的高h＝2． △ABC的面积＝． 55．如图，已知：A（2，0），B（0，﹣2），点P（a，1），S△PAB＞5，求a的取值范围． 【解答】解：过A点作AC⊥x轴，过B点作BC⊥y轴，两直线交于点C，连接PC，如图， ∵A（2，0），B（0，﹣2）， ∴C（2，﹣2）， ∴AC＝BC＝2， ∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC﹣S△ABC＝＝， ∵S△PAB＞5， ∴|a﹣2|+1＞5， 解得a＞6或a＜﹣2． 题组十二 作图--对称变换 56．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点B坐标是 　（﹣2，1）　，点C1坐标是 　（1，3）　； （3）求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）如图所示：建立直角坐标系如图， （2）由图可知，B（﹣2，1）， ∵A（﹣4，5），A1（4，5），B1（2，1）， ∴△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，如图， ∴C1（1，3）； 故答案为：（﹣2，1），（1，3）； （3）△A1B1C1的面积为． ，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称． 57．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，请回答下列问题： （1）点A在第 　四　象限，它的坐标是 　（3，﹣2）　； （2）点B在第 　二　象限，它的坐标是 　（﹣2，4）　； （3）将△AOB的每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以﹣1，再顺次连接这些点，所得的图形与△AOB关于 　x　轴对称． 【解答】解：（1）点A在第四象限，它的坐标是（3，﹣2）； 故答案为：四，（3，﹣2）； （2）点B在第二象限，它的坐标是（﹣2，4）； 故答案为：二，（﹣2，4）； （3）将△AOB的每个顶点的横坐标保持不变，A点纵坐标都乘以﹣1，坐标为（3，2），B点纵坐标都乘以﹣1，坐标为（﹣2，4），再顺次连接这些点，所得的图形如图所示， 与△AOB关于x轴对称． 故答案为：x． 58．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，若点P1（m，n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 　（m，2﹣n）　． 【解答】解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求， ∴点C1的坐标为（﹣3，﹣3）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）由题意得，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线y＝1对称， ∴若点P1（m，n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是P2（m，2﹣n）， 故答案为：（m，2﹣n）． 59．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　（﹣3，﹣1）　； （3）连接CD，BD，则△BCD的周长为 　4+4　． 【解答】解：（1）∵AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形； （2）如图所示： 点D坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为：（﹣3，﹣1）； （3）DC＝4，BC＝BD＝2，△BCD的周长为4+4， 故答案为：4+4． 60．如图已知平面直角坐标系中A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1） （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标． （2）在y轴上找一点P，使PA+PC最短，并求出P点的坐标． 【解答】解：（1）A1（1，3），B1（﹣2，0），C1（3，﹣1）； （2）连接A1C，交y轴于P，这时PA+PC最短， 设直线A1C解析式为：y＝kx+b， ∵直线经过A1（1，3）和C（﹣3，﹣1）， ∴， 解得： ∴直线A1C解析式为：y＝x+2， 当x＝0时，y＝2， ∴P（0，2）． 题组十三 建立坐标系求解线段长 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BA延长线上一点，2CF＝BF，AE＝CF，则线段DG的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图： ∵正方形ABCD中，AB＝6， ∴A（0，6），C（6，0），D（6，6）， ∴直线AC解析式为y＝﹣x+6， ∵2CF＝BF， ∴BF＝BC＝×6＝4，CF＝BC＝×6＝2， ∴F（4，0）， ∵AE＝CF， ∴AE＝2， ∴BE＝AB+AE＝6+2＝8， ∴E（0，8）， 由E（0，8），F（4，0）可得直线EF解析式为y＝﹣2x+8， 联立，解得， ∴G（2，4）， ∴DG＝＝2； 故选：B． 2．如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（　　） A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2） 【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图： ∵正方形ABCD边长为6， ∴A（0，6），D（6，6），C（6，0）， 由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x， 设M（m，m）， 由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y＝x+6， 在y＝x+6中，令x＝6得y＝， ∴P（6，）， ∵PM＝PC， ∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2， ∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2， 整理得m2﹣18m+54＝0， 解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3， ∴M（9﹣3，9﹣3）， ∴AM＝＝6（﹣1）， 故选：C． 方法2： ∵PM＝PC， ∴∠PMC＝∠PCM， ∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD， ∵∠DPA+∠PAD＝90°， ∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°， ∴PD＝＝2，∠CPM＝120°， ∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2， 在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC， ∴CM＝CP＝6﹣6， 由正方形对称性知AM＝CM＝6（﹣1）， 方法3： ∵四边形ABCD是边长为6的正方形， ∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD， 由题意：设AM＝m，PM＝n，则PC＝n，DP＝6﹣n， ∵AB∥CD， ∴， ∴， 化简得：mn＝6m﹣6n， 由勾股定理可知：AD2+DP2＝AP2， ∴62+（6﹣n）2＝（m+n）2， 化简得：m2+2mn+12n＝72， 将mn＝6m﹣6n代入，得：m2+12m﹣12n+12n﹣72＝0， 解得：m1＝6﹣6，m2＝﹣6﹣6（舍去）， ∴AM＝6﹣6， 故选：C． 3．课题学习：用函数模型解几何题． （1）方法体会：如图1，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF与CG的交点，那么EH的长是多少？ 下面让我们一起来用函数模型来解这个题目，要好好体会这种解法哟! 解：以点B为坐标原点O，BE、BA所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图2．以BC长为一个单位长度，则由题意可知点A坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3），则直线AF的解析式为　y＝x+1　；请同学们根据点H是AF与CG的交点，求出点H的坐标为　（1，）　；进而求得EH的长为　　． （2）解决问题：请仿照上述建立平面直角坐标系的方法解决下面的问题． 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，四边形DEFG为正方形，D、E分别在边AC、BC上，F、G在边AB上，求DE的长． 【解答】解：（1）如图，设直线AF的表达式为：y＝kx+b， ∵A坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）， ∴，解得， ∴AF：y＝x+1， ∵点H是AF与CG的交点， ∴点H的横坐标为1， 此时y＝+1＝， ∴H（1，）， ∴CH＝， 在△HCE中，∠HCE＝90°，CE＝3， 由勾股定理可得，EH＝＝． 故答案为：y＝x+1；（1，）；． （2）如图，以点B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，垂直于BA的直线为y轴，建立平面直角坐标系， Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理可得AB＝5， ∴A（5，0）， 过点C作CM⊥x轴于点M， ∴△ABC的面积＝， 解得，CM＝， 在△BCM中，∠CMB＝90°，BC＝4，CM＝， 由勾股定理可得，BM＝， ∴C（，）， 设直线BC的表达式为y＝mx， ∴m＝，解得m＝， ∴直线BC的表达式为：y＝x． ∵∠BCA＝90°， ∴可设直线AC的表达式为：y＝﹣x+n， ∴﹣×5+n＝0，解得，n＝， ∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+． 设点E的横坐标为t，则E（t，t）， 则EF＝DE＝t， ∴D（，t）， ∴﹣×+＝t，解得t＝， ∴DE＝×＝． 题组十四 铅锤法求面积 4．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．这个结论是否正确？ 【解答】解：正确； 理由：过D点作AD⊥EF，交△ABC外侧两条直线于E、F， ∵过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， ∴EF＝a， ∵S△ADB＝AD•DE，S△ADC＝AD•DF， ∴S△ABC＝S△ADB+S△ADC＝AD•DF+AD•DE＝AD（DF+DE）＝AD•EF＝ah． 5．阅读材料： 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题： 已知：直线l1：y＝﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：y＝x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C． （1）建立平面直角坐标系，画出示意图（无需列表）并求出C点的坐标； （2）利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积． 【解答】解：（1） 联立两解析式：， 解得：， 故点C的坐标为（1，4）． （2） 如图所示：点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∴当x＝1，y＝2， ∴S△ABC＝×（4﹣2）×3＝3． 6．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法： 如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高． 【结论提炼】 容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh” 【结论应用】 为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 　4　，所以△ABC面积的大小为 　20　． 【再探新知】 三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 　36　；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 　37.5　，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积 　不适合　．（填“适合”或“不适合”） （2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 　36　，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 　36　，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积 　适合　．（“适合”或“不适合”） （3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积 　适合　．（填“适合”或“不适合”） 【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：　一条对角线等于水平宽或铅垂高　． 【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20， 故答案为：4，20； 【再探新知】 （1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5， ∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不适合， 故答案为：36，37.5，不适合； （2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36， ∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，适合， 故答案为：36，36，适合； （3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45， ∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，适合， 故答案为：适合； 【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积， 故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高． 题组十五 中点坐标公式 7．探究： 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图①得到结论：．他还利用图②证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式：，． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程． 运用： （2）已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），求线段MN的长度； （3）请直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标． 【解答】（1）证明：如图②，过点P1，P，P2分别作x轴的垂线，垂线分别交x轴于Q1，Q，Q2，过点P1作P2Q2的垂线，交P2Q2于点G，交PQ于点H，连接PG， ∴∠P1Q1Q2＝∠Q1Q2G＝∠P1GQ2＝90°，PH∥P2G， ∴四边形P1Q1Q2G为矩形， 又∵∠P1GP2＝90°，P为线段P1P2的中点， ∴， 又∵PH⊥P1G， ∴PH垂直平分P1G， ∴PH为PH为直角△P1GP2的中位线， ∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）， ∴Q1（x1，0），Q2（x2，0），G（x2，y1）， ∴Q1Q2＝OQ2﹣OQ1＝x2﹣x1，Q2G＝HQ＝y1， ∵点Q为Q1Q2的中点， ∴， ∴， ∵G（x2，y1）P2（x2，y2）， ∴P2G＝y2﹣y1， ∵PH为直角△P1GP2的中位线， ∴， ∵Q2G＝HQ＝y1， ∴， ∴线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式为，； （2）解：将点M（2，﹣1），N（﹣3，5）代入到中， ∴， 化简可得； （3）解：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）．理由如下： ∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1）， ∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中点坐标为（0，1）， 设D（x，y）， 则，， 解得x＝﹣3，y＝3， ∴此时D点坐标为（﹣3，3）； 当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1）； 当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3）； 综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）． 8．如图1：在△ABC中， （1）利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线DE，（要求：点D在AB上，点E在AC上；） （2）直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点D，E分别是AB，AC边的中点，不妨设点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中点坐标公式，A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为（，） （3）如图3：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点D，DE⊥AD，连接EC并延长AB边于点F，若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：如图，DE为所求线段． （2）证明：∵AD＝OD，AE＝EC，点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）． ∴D（，），E（，）， ∴DE∥BC， ∴DE＝﹣＝c， ∵OC＝c， ∴DE＝OC． （3）解：如图，建立如图平面直角坐标系，设DE＝x，则CD＝3﹣x． ∵DE⊥AD， ∴E（x，x﹣3）， ∴点E的运动轨迹是直线y＝x﹣3，设这条直线与x轴交于M，由y轴交于N． ∵A（0，3），B（﹣6，0）， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∴AB∥MN， 根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，EF的长最小， 作CF⊥AB于F′，交MN于E′． ∵AC＝3，BC＝6， ∴AB＝＝＝3， ∴CF′＝＝， ∵直线MN与直线AB关于原点O对称， ∴根据对称性可知CE′＝CF′， ∴EF的最小值＝2CF′＝． 9．预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标为． ①设A（1，2），B（5，0），点M为线段AB的中点，则点M的坐标为 　（3，1）　． ②设线段CD的中点为点N，其坐标为（3，2），若端点C的坐标为（7，3），则端点D的坐标为 　（﹣1，1）　． （2）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF.（S表示面积） 【解答】（1）解：①∵A（1，2），B（5，0），点M为线段AB的中点， ∴M（，），即M（3，1）， 故答案为：（3，1）； ②设D（x，y）， 由中点坐标公式得：＝3，＝2， ∴x＝﹣1，y＝1， ∴D（﹣1，1）； 故答案为：（﹣1，1）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴S△ADE＝S△FCE， ∴S四边形ABCD＝S四边形ABCE+S△ADE＝S四边形ABCE+S△FCE＝S△ABF． 10．知识储备 如图①，点E、F分别是y＝3和y＝﹣1上的动点，则EF的最小值是　4　； 方法储备 直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了《坐标与位置）后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的一种证明方法．如图②，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，DE称为△ABC的中位线，则DE∥BC且DE＝BC．该数学小组建立如图③的直角坐标系，设点A（a，b），点C（c，0）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中点坐标公式，A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为（，）） 综合应用 结合上述知识和方法解决问题，如图④，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点 D．DE⊥AD，连接EC并延长交AB边于点F．若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：知识储备：如图①，点E、F分别是y＝3和y＝﹣1上的动点，则EF的最小值是3+1＝4， 故答案为4． 方法储备：如图③中，设A（m，n），C（b，0）． ∵AD＝OD，AE＝EC， ∴D（，），E（，）， ∴DE∥BC， ∴DE＝﹣＝b， ∵OC＝b， ∴DE＝OC． 综合应用：建立如图平面直角坐标系，设DE＝x，则CD＝3﹣x． ∵DE⊥AD， ∴E（x，x﹣3）， ∴点E的运动轨迹是直线y＝x﹣3，设这条直线与x轴交于M，由y轴交于N． ∵A（0，3），B（﹣6，0）， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∴AB∥MN， 根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，EF的长最小， 作CF⊥AB于F′，交MN于E′． ∵AC＝3，BC＝6， ∴AB＝＝＝3， ∴CF′＝＝， ∵直线MN与直线AB关于原点O对称， ∴根据对称性可知CE′＝CF′， ∴EF的最小值＝2CF′＝． 题组十六 两点间的距离公式 11．先阅读下列一段文字，再解答问题 已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． 如图1：平面直角坐标系中，点A（2，3），B（3，﹣1），直线AB交x轴于点C，连接OA，OB． ①直接写出OA，OB的值；用两点间的距离公式求出线段AB的长度． ②试求点C的坐标和三角形AOB的面积． ③如图2：如果点D在平行x轴的直线上，连接OD，DC，三角形ODC的面积比三角形OAC大1，请直接写出点D的纵坐标． 【解答】解：①OA＝＝， OB＝＝， AB＝＝． ②过点A作AD⊥x轴，交x轴于点D，作AE⊥y轴，交y轴于点E；过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，作BG⊥y轴，交y轴于点G． S△AOB＝S梯形ABGE﹣SRt△AEO﹣SRt△BGO ＝（AE+BG ）•GE﹣AE•OE﹣BG•OG ＝（2+3）×（3+1）﹣×2×3﹣×3×1 ＝10﹣3﹣ ＝； S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝OC•AD+OC•BC ＝OC×3+OC×1 ＝2OC ＝， 解得OC＝， ∴点C的坐标是（，0），三角形AOB的面积是． ③∵OC＝， ∴S△OAC＝OC•AD ＝××3 ＝， ∴S△ODC＝+1＝． 设点D的纵坐标为y，则S△ODC＝OC•|y|＝|y|＝， 解得y＝±， ∴点D的纵坐标为或﹣． 12．先阅读下列一段文字，再回答问题： 已知平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），这两点间的距离同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点M（2，3）、N（4，2），则M、N两点间的距离为 　　；已知点E、F在平行于x轴的直线上，点E的横坐标为7，点F的横坐标为5，则E、F两点间的距离 　2　； （2）已知一个三角形的各顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（2，4）、C（5，0），你能判定此三角形的形状吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，若PA+PB的值最小，请找出点P（不求坐标，画出图形即可），求出PA+PB的最小值． 【解答】解：（1）∵M（2，3），N（4，2）， ∴MN＝＝， ∵点E、F在平行于x轴的直线上，点E的横坐标为7，点F的横坐标为5， ∴EF＝|7﹣5|＝2， 故答案为：，2； （2）△ABC为等腰直角三角形；理由如下： ∵A（﹣2，1），B（2，4），C（5，0）， ∴AB＝＝5，BC＝＝5，AC＝＝50， ∴AB＝BC，AB2+BC2＝50＝AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形； （3）如图，作点A（﹣2，1）关于x轴的对称点A（﹣2，﹣1），连接AB交x轴于点P，则此时 PA+PB的值最小， ∵A（﹣2，﹣1），B（2，4）， ∴PA+PB的最小值为AB＝＝． 13．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面以求DE为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）， 所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8， EF＝|4﹣（﹣7）|＝11， 所以由勾股定理可得，． 解决以下问题： （1）图①中：AC＝　4　，BC＝　3　，所以AB＝　5　； （2）在图②中，设A（x1，y1），B（x1，y2），试用x1，x2，y1，y2表示，AC＝　y1﹣y2　，BC＝　x1﹣x2　，所以AB＝　　； 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式．请用此公式解决问题： （3）在平面直角坐标系中的两点A（﹣1，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值； （4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：　　．（直接写出答案） 【解答】解：（1）由题意得AC＝4，BC＝3，所以； 故答案为：4，3，5； （2）由题意得AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，所以； 故答案为：y1﹣y2；x1﹣x2；； （3）作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P，PA+PB的最小值就是线段AB′的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论． ∵B（4，1）， ∴B′（4，﹣1）， ∵A（1，3）， ∴， 即PA+PB的最小值为； （4）， 故原式表示点（x，y）到（0，2）和（3，1）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，2）和（3，1）为端点的线段上时，原式值最小． 利用公式，原式＝， 故答案为：． 14．【阅读与应用】如图1已知平面内两点A（x1，y1）、B（x2，y2），过这两点分别作垂直于x轴和y轴的虚线相交于点M，则BM间的距离为|x1﹣x2|，则BM2＝（x1﹣x2）2，同理AM间的距离为|y1﹣y2|，则，由勾股定理得：AB2＝BM2+AM2，即：，则平面内任意两点间的距离公式为AB＝． （1）如图2，已知点A（4，5）、B（1，1），试利用两点间的距离公式求A、B两点间的距离？ （2）课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为，这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，△ABC中，AB＝c，BC＝a＝7，AC＝b＝8，试利用“海伦公式”，求△ABC的面积？ （3）如图4，在（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长？ 【解答】解：（1）AB＝＝5； （2）∵p＝＝10， ∴S△ABC＝＝10； （3）∵2S△ABC＝AB•CD＝20＝5CD， 解得：CD＝4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$