4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 学习目标 1 2 3 理解等差数列的概念和通项公式的意义 能求等差数列的通项公式，培养数学运算的核心素养 能判断或证明等差数列，提升逻辑推理的核心素养; 体会等差数列与一元一次函数的关系. 新课导入 数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们理解函数的一般概念，了解函数变化规律的研究内容（单调性、奇偶性等），通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。 类似的，在了解数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立他们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义和应用。 下面，我们从一类取值规律比较特殊的数列入手。 请看下面几个实例中的数列： 新课讲授 【实例1】 北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。 新课讲授 【实例2 】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48 ② 新课讲授 【实例3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 新课讲授 【实例4】 某人想银行贷款万元，贷款时间为年。如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息依次为： ar, ar－br, ar－2br, ar－3br, ... ④ 等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。 好处：总利息较少(在贷款期限、金额和利率相同的情况下，等额本金还款方式所需利息较少),并且贷款年限越长，优势越明显。 缺点：前期还款压力较大，每月还款额不同，不便于规划收支。 比较适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力的人群。 新课讲授 问题1 我们常通过运算来发现规律，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于数列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81 我们发现 18=9+9，27=18+9....81=72+9， 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 如果用{an}表示数列 ① ， 那么有 a2-a1=9，a3- a2 =9，...，a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②~④，也有这样的取值规律. ①9，18，27，36，45，54，63，72，81 ②34，36，38，40，42，44，46，48 ③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 ④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，... 等差数列的概念 概念生成 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 符号表示： an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*） ①9，18，27，36，45，54，63，72，81 ②34，36，38，40，42，44，46，48 ③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 ④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，... 公差d=9 公差d=2 公差d=﹣0.6 公差d=﹣br 概念生成 对于等差数列的概念理解要注意以下五点： (1)等差数列定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项是与它的前一项作差，而不是与后一项作差.这一点要注意，切不可将减数与被减数弄颠倒. （2）在等差数列的定义中强调“同一个常数”，当常数不同时，不是等差数列. （3）公差可正、可负、也可为0，它是一个与无关的常数，因此公差的取值范围为. （4）等差数列定义的符号表示为（等差数列的递推公式）： （且）或. （5）等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即 是等差数列. （且）是等差数列. 巩固练习 教材P15 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 新课讲授 问题2 一个等差数列最少需要几项？ 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 等差中项 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 由等差数列的定义，可知： 2. 求下列各组数的等差中项: 教材P15 跟踪练习 如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 D 学以致用 将各式累加得，等差数列的通项公式为:an＝a1＋(n－1)d. 新知探究 问题3 你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: an+1-an=d an+1-an=d就是等差数列{an}递推公式. 即 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …… an－an－1＝d， 即a2＝a1＋d； 即a3＝a2＋d＝a1＋2d； 即a4＝a3＋d＝a1＋3d； 即an＝a1＋(n－1)d； 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: an＝a1＋(n－1)d (n ≥ 2) 当n=1时，a1＝a1＋(1－1)d=a1，上式也成立. 追问 还有其它方法推导吗？ 累加法 等差数列的通项公式 概念生成 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d 注：4个量an、a1、n、d，可“知三求一” 思考 am=? an-am =? am=a1 +(m-1)d an-am =(n-m) d 等差数列的通项公式的一般形式 等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则 f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差数列{nk＋b}, 其首项为_______，公差为____. 新课讲授 问题4 观察等差数列的通项公式你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ d≠0时 an＝a1＋(n－1)d =dn＋(a1－d ) f (x)=dx＋(a1－d ) ⟹ (k＋b) d 1 2 5 a1 x f(x) O 3 4 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) ③等差数列{an}的单调性与 有关. 公差d d >0时，{an}是递增数列； d <0时，{an}是递减数列； d =0时，{an}是常数列. 典例分析 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项. (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n. 于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3. ∴{an}公差为－2，首项为3. (2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8. ∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11. ∴a20 ＝－3×20＋11＝－49. 解: 例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 典例分析 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解. 由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4， 得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 解: 追问 －350是不是该数列中的项？ 3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 学以致用 教材P15 学以致用 教材P15 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 能力提升 题型一 等差数列的判断或证明 例题 1.判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差. （1），1，，2， ； （2）4，2，0，， ； （3）2，4，5，6，7； （4）1，，，2， . [解析] (1)由等差数列的定义可知，数列，1，，2，是公差为 的等差数列. (2)由等差数列的定义可知，数列4，2，0，，是公差为 的等差数列. (3)由等差数列的定义可知，数列2，4，5，6，7不是等差数列. (4)由等差数列的定义可知，数列1，，，2， 不是等差数列. 能力提升 题型一 等差数列的判断或证明 例题 2.已知数列 <m></m> 中， <m></m> ，且满足 <m></m> ． （1） 求 <m></m> , <m></m> 的值； （2） 证明数列 <m></m> 是等差数列，并求数列 <m></m> 的通项公式. [解析] （1）由题意得， <m></m> ， <m></m> . （2）<m></m> , ∴数列 <m></m> 是首项为2，公差为1的等差数列, <m></m> ， <m></m> . 方法总结 判断或证明等差数列的方法技巧 能力提升 1.定义法:只要证明 <m></m> （ <m></m> 是常数, <m></m> 且 <m></m> ）,则数列 <m></m> 就是等差数列. 2.等差中项法:若对于任意连续三项 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，都有 <m></m> （ <m></m> 且 <m></m> ）,则数列 <m></m> 是等差数列. 3.通项公式法:若 <m></m> （ <m></m> , <m></m> 为常数, <m></m> ）,则数列 <m></m> 是等差数列.可见，若数列的通项公式是一次函数或常数函数，则该数列一定是等差数列. 能力提升 题型二 等差中项的简单应用 例题 3.（1）已知，，则， 的等差中项为( ) A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 （2）若和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和 的等 差中项是_ __. A [解析](1) 设，的等差中项为，则，又， ，所以 ， 故选A. (2)由题设知，解得所以， 故 和 的等差中项是3. 3 能力提升 题型三 等差数列通项公式的简单应用 例题 4.在等差数列 中， （1）若，，求 ； （2）若，，，求 ； （3）若，，求 . [解析](1) 由等差数列的通项公式，得 . [解析](2) 由，， ，则 ，解得 . [解析](3)解法一：设等差数列的公差为 ， 由得解得 所以 . 解法二：设等差数列的公差为，则 ， 所以 . 能力提升 方法总结 等差数列通项公式的运用技巧 1.若已知等差数列中的任意不同的两项，则可利用方程的思想求出和 2.常利用等差数列的任意两项的关系求公差，即用公式 计算. 3.等差数列的通项公式可由任意一项与公差确定. 4.等差数列的通项公式中共含有， ，， 四个未知量， 知道其中任意三个未知量，就可以求第四个未知量. 课堂小结 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 等差数列的概念 (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； 递推公式、归纳法. (3) 通项公式的应用. 函数与方程. 研究方法 递推公式 应用 通项公式 函数与方程 的思想 $$