精品解析：江西省九江市同文中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度高中数学阶段1检测卷 一、单选题 1. 集合A=，B=，则=【】 A. B. C. D. 2. 满足的集合X有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 3. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则的最小值为　　 A. 2 B. C. D. 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 二、多选题 9. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 11. 若，x，y，．，则以下说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为0 D. 恒小于0 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 命题“，使”是真命题，则的取值范围是________． 13. 已知，则的最小值为__________. 14. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 四、解答题 15. 已知全集． （1）求； （2）若且，求的取值范围． 16. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17. 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： （1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 （2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 18. 已知函数． （1）若，试求的最小值； （2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高中数学阶段1检测卷 一、单选题 1. 集合A=，B=，则=【】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合补集与交集求结果. 【详解】因为 ，所以 ,选D. 【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题. 2. 满足的集合X有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集和真子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素，对集合X中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数. 【详解】由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素， 因此集合X可以是，，，，，，，共7个. 故选：D. 3. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先理解题意，再根据充分条件、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”， “攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性， “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】对A选项，设，则，A错误； 对B选项，若,又,所以,故B正确; 对C选项，，但，C错误; 对D选项，，但，D错误. 故选:B. 5. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用整体的思想，将用这两个整体表示，再根据不等式的性质运算即可. 【详解】设, 即, 所以 解得, 所以 因为, 所以, 所以, 即, 故选：D. 6. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 7. 若，，，则的最小值为　　 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出，再化解，利用均值不等式可求最小值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 当且仅当，即时， 故选：． 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值的方法，考查均值不等式的适用条件，属于中档题． 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【解析】 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 二、多选题 9. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据恒成立，求出的范围，得到其充分不必要条件即可. 【详解】命题“，”是真命题， 所以，恒成立， 所以， 所以命题 “，”是真命题的一个充分不必要条件可以为或， 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 11. 若，x，y，．，则以下说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为0 D. 恒小于0 【答案】CD 【解析】 【分析】由可得，而，可判断C正确；从而得到中至少有一个为，不妨令，则且，从而可判断A,B,D选项. 【详解】，， 对于C， ， ，C正确； 由C选项可知，， 所以中至少有一个为，不妨令，则且， 对于A，， 所以，A错误； 对于D，，而， 所以，即，D正确； 对于B， 而，所以， 即，B错误. 故选：CD 【点睛】关键点睛： 这道题的关键是先由可得，从而得到，进而得到中至少有一个为，其他两个互为相反数，从而可解. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 命题“，使”是真命题，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果. 【详解】因为命题“，使”是真命题， 所以，恒成立，即恒成立， 因为当时，，所以，的取值范围是， 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为__________. 【答案】##4.5 【解析】 【分析】先根据，将函数解析式构造为；再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，则. 因为，则， 所以 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 14. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果. 【详解】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 故答案为: 或 四、解答题 15. 已知全集． （1）求； （2）若且，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求即可， （2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以或， 因为， 所以或 【小问2详解】 因为 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以，或，解得， 综上，的取值范围为 16. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围； （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为命题是假命题，则命题是真命题， 即关于的方程有实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： （1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 （2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 【答案】（1）该不等式为 证明：因为，所以，于是. （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可； （2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为， 若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为， 又 ， 所以当时，两种方案一样； 当时，第二种方案比较经济. 18. 已知函数． （1）若，试求的最小值； （2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，然后利用基本不等式可求得结果， （2）将问题转化为在上恒成立，令，则只要即可，从而可求出的取值范围 【小问1详解】 依题意得， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为， 【小问2详解】 因为，所以要使对于任意的，不等式成立，只要在上恒成立， 设，则， 即，解得， 即的取值范围为 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $