专题3.2 对称图形—圆全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

第2章 对称图形—圆全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　） A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定 2．（3分）下列语句中正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 6．（3分）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 9．（3分★★★）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 10．（3分★★★★）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝　 　°． 12．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 　 　寸． 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　 　． 14．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 　 　． 15．（3分★★★★）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 　 　． 16．（3分★★★★）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：． 18．（6分）已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在⊙O上求作一个点M，使∠PMO＝90°； （2）如图②，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO＝60°． 19．（6分）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O切线； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 20．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积． 21．（8分）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 22．（8分★★★）已知△ABC内接于⊙O． （1）若∠BAC＝45°，，求⊙O的半径； （2）若BD、CE分别是△ABC的高，∠BAC＝60°，． ①求证：B、C、D、E四点在同一个圆上； ②求DE的长． 23．（10分★★★★）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝m．过A，B，C三点的⊙O的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当m＝0时，圆心O在AD上，求⊙O的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当m＝2时，求⊙O的半径； （Ⅱ）当m＞0时，随着m的增大，点O的运动路径是 　 　．（填写序号） ①射线 ②弧 ③双曲线的一部分 ④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接AC，以O为圆心，作出与CD边相切的圆，记为小⊙O．当小⊙O与AC相交且与BC相离时，直接写出m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形—圆全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　） A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定 【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴BC8， ∵AC＝6＜BC， ∴点A在⊙C内， 故选：A． 2．（3分）下列语句中正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据对称轴为直线对③进行判断；根据半圆的定义对④进行判断． 【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①不正确； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以③不正确； 半圆是弧，所以④正确． 故选：A． 3．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论． 【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， 故选：D． 4．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案． 【解答】解：作直径CF，连接BF，如图， 则∠FBC＝90°， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， 而∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴， ∴DE＝BF＝6， ∴BC8． 解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N． ∵AM⊥BC，AN⊥DE， ∴CM＝MB，DN＝NE＝3， ∵AC＝AB＝AD＝AE， ∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， ∴2∠CAM+2∠DAN＝180°， ∴∠CAM+∠DAN＝90°， ∵∠ACM+∠CAM＝90°， ∴∠ACM＝∠DAN， ∵∠AMC＝∠AND＝90°， ∴△AMC≌△DNA（AAS）， ∴AM＝DN＝3， ∴CM4， ∴BC＝2CM＝8． 故选：A． 5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】连接AC，根据圆内接四边形对角互补得到∠ABE＝∠ADC，根据得到∠ABD＝∠ACD结合角平分线得到∠ABE＝∠ABD，即可得到：∠ADC＝∠ACD，从而得到AC＝AD，结合勾股定理即可得到答案； 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝∠ADC， ∵， ∴∠ABD＝∠ACD， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE＝∠ABD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AC＝AD， ∵AE⊥CB，AD＝6，CE＝4， ∴AC＝6 ∴， 故选：D． 6．（3分）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE＝3，CF＝4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF． 【解答】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE，CF＝DF， 而AB＝6，CD＝8， ∴AE＝3，CF＝4， 在Rt△OAE中，OA＝5，OE4； 在Rt△OCF中，OC＝5，OF3； 当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7； 当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1； 所以AB与CD之间的距离为7或1． 故选：C． 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数． 【解答】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠ADE＝∠ACE＝20°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°， 故选：C． 8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴弧CD的长为π． 故选：C． 9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AO，BO，CO，DO，EO，FO．根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB，再根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝6求出OE，接下来设BE＝x，根据切线长定理得出CE＝CF，AD＝AF，BD＝BE，求出BE，再根据勾股定理求出BO，结合DO＝EO，BD＝BE可知BO是DE的垂直平分线，然后根据求出EG，进而得出答案． 【解答】解：连接AO，BO，CO，DO，EO，FO． 根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB， ∵AB＝4，AC＝3，BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2 ∴△ABC是直角三角形 ∴， ∴， 即， 解得OE＝12÷（3+4+5）＝1． 设BE＝x， 则BD＝BE＝x，CE＝CF＝5﹣x，AD＝AF＝4﹣x，得5﹣x+4﹣x＝3， ﹣x﹣x＝3﹣5﹣4， ﹣2x＝﹣6， x＝3， ∴BE＝3． 在Rt△B O E中，， ∵DO＝EO，BD＝BE， ∴BO是DE的垂直平分线， ∴DG＝EG． ∵， 即， 解得EG， ∴． 故选：C． 10．（3分）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【解答】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴的度数的度数＝180°， ∴的度数的度数＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝　120　°． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•2，然后解关于θ的方程即可． 【解答】解：根据题意得2π•2， 解得θ＝120． 故答案为120． 12．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 　13　寸． 【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，根据OA2＝OD2+AD2列方程求解可得． 【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示： 由题意知：CE过点O，且OC⊥AB， 则AD＝BD＝AB＝5， 设圆形木材半径为r寸， 则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+52， 解得：r＝13， ∴⊙O的半径为13寸， 故答案为：13． 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　46　． 【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝23，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝23， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46， 故答案为：46． 14．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 　2　． 【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接BE、GO， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴BE经过O点，且O是BE的中点，∠EDC120°，∠EOG＝90°， ∵DE＝EC， ∴∠DEC＝30°， ∵BC＝CD， ∴， ∴∠GEO＝∠DEC＝30°， ∴OGEG， 由勾股定理得：OG2+OE2＝EG2，即（EG）2+（）2＝EG2， 解得：EG＝2． 故答案为：2． 15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 　2　． 【分析】延长BI交⊙O于M点，连接MA，通过中位线定理可求出AM的长，再通过角的关系可求得∠MIA＝45°，进而求证直角三角形MAI为等腰直角三角形，求得MI的长，MB的长，利用勾股定理求出AB的长． 【解答】解：延长BI交⊙O于M点，连接MA， 在△ABM中斜边AB经过圆心O， ∴∠AMB＝90°， 又∵BI⊥OI，AO＝OB， ∴OI为△AMB的中位线， ∴AM＝2OI＝2， 在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点 ∴∠IAB+∠IBA＝45°， 即∠MIA＝45°（三角形外角与内角的关系）， ∴Rt△MAI为等腰直角三角形， ∴MA＝MI＝IB＝2， 根据勾股定理可得， AB2＝MA2+MB2＝22+42＝20， 即AB＝2， 故答案为：2． 16．（3分）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝　2　． 【分析】连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x°，求出的弧度为90°，设AB＝2r，利用勾股定理求出CE，即可得出OE＝CE﹣OC，解得2r＝2． 【解答】解：连接CE，OC， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小， 设的弧度为x°， ∴的弧度为：（180﹣x）°， ∵∠CAD＝∠CAB， ∴的弧度为：（180﹣x）°， 由折叠得，的弧度为x°， ∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°， ∵点E为弧AD中点， ∴的弧度为：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°， ∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°， 即所对圆心角为90°， 设AB＝2r， ∴⊙O半径为r， ∴CEr， ∴OE＝CE﹣OC， ∴r， ∴AB＝2r＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：． 【分析】证明Rt△COM≌Rt△DON（HL），推出∠COM＝∠DON，可得结论． 【解答】证明：∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90°， ∵OA＝OB，AM＝BN， ∴OM＝ON， 在Rt△COM和Rt△DON中， ， ∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）， ∴∠COM＝∠DON， ∴， ∴． 18．（6分）已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在⊙O上求作一个点M，使∠PMO＝90°； （2）如图②，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO＝60°． 【分析】（1）连接OP，以OP为直径作⊙T交⊙O于点M，连接PM，OM，点M即为所求； （2）作等边三角形OPQ，作△OPQ的外接圆交⊙O于点N，连接PN，ON，点N即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图②中，点N即为所求． 19．（6分）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O切线； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题； （2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE+∠ADE＝90°． ∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADO， 又∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠DAE+∠OAD＝90°， ∴OA⊥AE， ∴AE是⊙O切线； （2）解：如图，取CD中点F，连接OF， ∴OF⊥CD于点F． ∴四边形AEFO是矩形， ∵CD＝6， ∴DF＝FC＝3． 在Rt△OFD中，OF＝AE＝4， ∴OD5， 在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2， ∴AD， ∴AD的长是． 20．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切； （2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出阴影部分面积． 【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB． 在△ABD和△FBD中， ， ∴△ABD≌△FBD（AAS）， ∴BF＝BA，则点F在圆B上， ∴CD与⊙B相切； （2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD＝60° ∵BF⊥CD， ∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°， ∴∠ABF＝60°， ∵AB＝BF， ∴AD＝DF＝AB•tan30°＝2， ∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE ． 21．（8分）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形； （2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是矩形， ∵AB，AC是⊙O的等垂弦， ∴AB＝AC， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AEAC，ADAC， ∴AE＝AD， ∴矩形ADOE是正方形． （2）证明：设AB交CD于点E，连接AC， ∵OD⊥OA，OC⊥OB， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°， ∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°， ∴AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴AB，CD是⊙O的等垂弦． 22．（8分）已知△ABC内接于⊙O． （1）若∠BAC＝45°，，求⊙O的半径； （2）若BD、CE分别是△ABC的高，∠BAC＝60°，． ①求证：B、C、D、E四点在同一个圆上； ②求DE的长． 【分析】（1）连接OB，OC，易得∠BOC＝90°，利用勾股定理列式求出OB即可； （2）①取BC中点M，连接ME、MD，易得∠BEC＝90°，∠BDC＝90°，则由直角三角形斜边上中线的性质可得MB＝ME＝MD＝MC，即点E、D、B、C在以BC为直径的圆上，问题得证；②证明△EMD是等边三角形即可． 【解答】（1）解：如图，连接OB，OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴OB2+OC2＝BC2， ∵OB＝OC， ∴2OB2＝8， ∴OB＝2或OB＝﹣2（舍去），即⊙O的半径为2； （2）①解：如图，取BC中点M，连接ME、MD， ∵BD、CE分别是△ABC的高， ∴∠BEC＝90°，∠BDC＝90°， ∴MB＝ME＝MC，MB＝MD＝MC， ∴MB＝ME＝MD＝MC， ∴B、C、D、E四点在以M为圆心BC为直径的同一个圆上； ②证明：∵∠BAC＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝30°， 由①知BC为B、C、D、E所在圆的直径，M为圆心， ∴∠EMD＝2∠EBD＝60°， ∵ME＝MD， ∴△EMD是等边三角形， ∴． 23．（10分）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝m．过A，B，C三点的⊙O的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当m＝0时，圆心O在AD上，求⊙O的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当m＝2时，求⊙O的半径； （Ⅱ）当m＞0时，随着m的增大，点O的运动路径是 　①　．（填写序号） ①射线 ②弧 ③双曲线的一部分 ④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接AC，以O为圆心，作出与CD边相切的圆，记为小⊙O．当小⊙O与AC相交且与BC相离时，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（Ⅰ）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考（Ⅰ）的方法，得出O到直线OC的距离与m的关系，然后根据O到直线AD的距离随m线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出O的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到AC，BC的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【解答】（1）解：连接OC，在⊙O中，设OA＝OC＝r，则OD＝8﹣r． 在Rt△OCD中，∠D＝90° ∴OD2+CD2＝OC2，即（8﹣r）2+62＝r2． 解得r． （2）（Ⅰ）解：过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB， ∵OF过圆心，OF⊥AB， ∴AF＝BF＝1． ∵∠A＝∠D＝∠OFA＝90°， ∴四边形AFED是矩形． ∴AF＝DE＝1． ∴CE＝CD﹣DE＝5． 设OE＝x，则OF＝8﹣x， 在Rt△COE中 OE2+CE2＝OC2， 在Rt△BOF中 OF2+BF2＝OB2， ∴OE2+CE2＝OF2+BF2，即x2+52＝（8﹣x）2+12． 解得x ∴OC2＝OE2+CE2，即r＝OC． （Ⅱ）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB，如图： 由（Ⅰ）知：BF＝AF＝DEm，EF＝AD＝8， ∴CE＝CD﹣DE＝6m， 设OE＝x，则OF＝8﹣x， ∵OC＝OB， ∴OE2+CE2＝OF2+BF2， 即x2+（6m）2＝（8﹣x）2m2， 整理得：x， ∵m＞0，O到AD的距离＝DEm， 类比平面直角坐标系内x，y的几何意义， ∴O的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过O作EF⊥CD，交CD于E，交AB于F，过O作OM⊥AC于M，作ON⊥BC于N，连接OC，OB，过B作BG⊥CD于G，如图： 由（Ⅱ）知，OE， ∴OC2＝CE2+OE2（m2﹣4m+20）， ∵AD＝8，CD＝6， ∴AC＝10， ∴CMAC＝5， ∴OM2＝OC2﹣CM2（m2﹣4m+20）﹣25（m2﹣4m﹣44）， ∵BG⊥CD，AD⊥CD，DG∥AB， ∴四边形ABGD是矩形， ∴DG＝AB＝m，BG＝AD＝8， ∴CG＝6﹣m， ∴BC2＝CG2+BG2＝m2﹣12m+100， ∴CN2＝（BC）2（m2﹣12m+100）， ∴ON2＝OC2﹣CN2（9m2+92m﹣900）， ∵小⊙O与AC相交且与BC相离， ∴OM＜OE＜ON， ∴OM2＜OE2＜ON2， 即（m2﹣4m﹣44）＜（）2（9m2+92m﹣900）， 解得：2＜m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$