2024-2025学年人教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

2024-2025学年人教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．方程x2－6x＋9＝0的根的情况是(     ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点和关于原点对称，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．无法确定 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 7．若函数是二次函数，则的值为（    ） A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2 8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A．A B．B C．C D．D 9．修建一个面积为 平方米的矩形花园，它的长比宽多 米，设宽为 米，可列方程为 （　　） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．若点P在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离为2，则点P坐标为 ． 12．二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为 ． 13．若m是方程的一个根，则的值为 ． 14．若关于x的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是 15．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 16．在平面直角坐标系中，直角如图放置，点A的坐标为，，每一次将绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为 ． 17．如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是 ． 18．已知点A（a，2）与B（﹣3，b）关于原点对称，则a= ；b= ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 20．2014年，周口市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为3240元． (1)求平均每年下调的百分率； (2)假设2017年仍然下调相同的百分率，刘老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金12万元，可以在银行贷款18万元，刘老师的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 21．每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节． 已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为万千克，已知每年销量增长率相等． (1)求销量增长率． (2)某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W(元)与售价(元/箱)之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？ 22．某商场销售每件进价为50元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足． (1)商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？ (2)请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？ 23．化简或解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等． (1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形； (2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形； (3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形． 25．兰兰干果店以每千克34元的价格购进一批干果，计划以每千克60元的价格销售．为尽快完成销售，决定降价促销，但售价不低于进价．经市场调查发现：这种干果的销售量（千克）与每千克降价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)设销售总利润为（元），求与的函数关系式．若，且最大限度让利给顾客，则这种干果应降价多少元？ (3)若该店要求获利不低于2400元，请直接写出的取值范围． 26．已知抛物线C：y＝与直线l：y＝kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P． （1）当k＝0时，求的值； （2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k＝0时，求的值； （3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k＝2时，求证：不论b为何实数，的值为定值，并求定值； （4）若将（2）的抛物线改为“y＝ax2”，其他条件不变，则的值还为定值吗？若是，请求出定值；若不是，说明理由． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．方程x2－6x＋9＝0的根的情况是(     ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=0，由此即可得出结论． 【详解】解：∵在方程x2-6x+9=0中，△=（-6）2-4×1×9=0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根． 2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3．下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，知A、B、C都是中心对称图形； D、旋转后，中间的花色发生了变化，不是中心对称图形． 故选：D． 4．已知点和关于原点对称，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标的关系，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据这一条件就可以转化为方程问题解决，就可以得到关于，的方程，从而求得，的值． 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是”这一结论求得，的值，再进行计算． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，． 则． 故选：A． 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．无法确定 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可选择． 【详解】∵该一元二次方程为， ∴， ∴， ∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程的根的情况．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 7．若函数是二次函数，则的值为（    ） A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出且m＋3≠0，再求出答案即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且m＋3≠0， 解得：m=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：形如（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数． 8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【详解】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项进行判断即可得. 【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C.     【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 9．修建一个面积为 平方米的矩形花园，它的长比宽多 米，设宽为 米，可列方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设宽为x米，则长为米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可由矩形面积公式得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设宽为x米，则长为米， 依题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤. 【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，c＜0，， ∴b＞0， ∴abc＞0，故①正确； 如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴， ∴对称轴在直线x=2右侧，即， ∴，又a＜0， ∴4a+b＞0，故②正确； ∵与是抛物线上两点，， 可得：抛物线在上，y随x的增大而增大， 在上，y随x的增大而减小， ∴不一定成立，故③错误； 若抛物线对称轴为直线x=3，则，即， 则 = = =≤0， ∴，故④正确； ∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1， 当x=1时，代入，y=a+b+c≥0， 当x=4时，16a+4b+c=0， ∴a=， 则，整理得：4b+5c≥0， 则4b+3c≥-2c，又c＜0， -2c＞0， ∴4b+3c＞0，故⑤正确， 故正确的有4个. 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号. 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．若点P在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离为2，则点P坐标为 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数上点的坐标，根据点P到y轴的距离为2，得到点P的横坐标为，然后代入解析式计算是解题的关键． 【详解】解：∵点P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为， 当时， ∴点P的坐标为； 当时， ∴点P的坐标为； 故答案为：或． 12．二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为 ． 【答案】﹣2． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝x2+4x+a＝（x+2）2﹣4+a， ∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键． 13．若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【知识点】一元二次方程的解 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．若关于x的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是 【答案】x=5 【分析】利用根与系数的关系，即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根是， 设另一根为，则 ∴ 故答案为x=5． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练运用公式是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，根据关于原点对称的两个点的纵横坐标均互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是． 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，直角如图放置，点A的坐标为，，每一次将绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为 ． 【答案】（，） 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】由题意可得，（，），根据题意，每旋转四次，点B就又回到第一象限，用可知点在第三象限，即可得到答案． 【详解】在直角中，点A的坐标为， ， （，） 由已知可得： 第一次旋转后，如图，在第二象限， （，） 第二次旋转后，在第三象限，（，） 第三次旋转后，在第四象限，（，） 第四次旋转后，在第一象限，（，） ．．．．．． 如此，旋转4次一循环 点在第三象限， （，） 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查了旋转变换，涉及含30度角的直角三角形，确定旋转几次一循环是解题的关键． 17．如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画旋转图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】利用旋转变换的性质画出图形，观察图形即可得结论． 【详解】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图： 观察图象，可知对应的点坐标为（-2，3）， ∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是 故答案是：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、平移，解题的关键是画出旋转后的图形，属于中考常考题型． 18．已知点A（a，2）与B（﹣3，b）关于原点对称，则a= ；b= ． 【答案】 3， ﹣2 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点对称的点，其对应横纵坐标互为相反数关系. 【详解】解：由对称关系可得，a=-(-3)=3，b=-2. 【点睛】理解关于原点对称点的坐标之间的关系是本题的关键. 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 20．2014年，周口市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为3240元． (1)求平均每年下调的百分率； (2)假设2017年仍然下调相同的百分率，刘老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金12万元，可以在银行贷款18万元，刘老师的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 【答案】(1) (2)刘老师的愿望能实现 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）先求出年的均价，再根据总房价＝均价×购房面积，求出购买一套平方米的住房所需费用，将其与刘老师持有现金及银行贷款之和比较后，即可得出结论． 【详解】（1）设平均每年下调的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：平均每年下调的百分率为； （2）由题意可得年的均价为：元， ∴年购买一套100平方米的住房需要元． ∵（万元），且万元>元， ∴刘老师的愿望能实现． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节． 已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为万千克，已知每年销量增长率相等． (1)求销量增长率． (2)某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W(元)与售价(元/箱)之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)；当每箱售价为元时，这周利润最大为2025元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程或函数解析式． （1）设销量增长率为x，根据2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为万千克，列出方程，解方程即可； （2）先根据题意求出W与x的关系式，然后根据二次函数最值求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得： ， ∴或(不合题意，舍去)． ∴． 答：销量增长率为． （2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，取最大值2025， 答：当每箱售价为元时，这周利润最大为2025元． 22．某商场销售每件进价为50元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足． (1)商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？ (2)请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)75元 (2)售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】 （1）根据每件的利润×销售量=总利润，即可列出相应的方程，然后求解即可; （2）根据题意，可以写出利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【详解】（1） 解：由题意可得， ， 解得（不符题意，舍去）， 答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元； （2） 解：设利润为w元， 由题意可得：， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵物价部门规定每件售价不得高于80元， ∴， ∴当时，w取得最大值，此时w＝2400， 答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 23．化简或解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案； 直接利用二次根式的乘除运算法则计算，即可得出答案； 直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂，完全平方公式以及二次根式的性质、分母有理化，分别化简，进而得出答案； 采用直接开平方法解此方程，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 则， 解得：，． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，正确化简各数，掌握直接开平方法解方程是解题关键． 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等． (1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形； (2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形； (3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画轴对称图形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质及判定作图，即可， （2）根据等腰梯形的性质作图，即可， （3）根据正方形的性质及判定作图，即可， 本题考查了，网格作图，平行四边形的性质及判定，正方形的性质及判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：∵平行四边形是中心对称图形， ∴将线段向右平移两个单位，即可得到平行四边形， 作图，如下， （2）解：∵等腰梯形是轴对称图形， ∴以线段为腰，作等腰梯形， 作图，如下， （3）解：∵正方形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴以线段为一边，做正方形， 作图，如下． 25．兰兰干果店以每千克34元的价格购进一批干果，计划以每千克60元的价格销售．为尽快完成销售，决定降价促销，但售价不低于进价．经市场调查发现：这种干果的销售量（千克）与每千克降价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)设销售总利润为（元），求与的函数关系式．若，且最大限度让利给顾客，则这种干果应降价多少元？ (3)若该店要求获利不低于2400元，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)，降价14元． (3)或． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据图象，分和两段，利用待定系数法求解析数即可； （2）利用销售总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数解析式，将代入解析式，进行求解即可； （3）根据该店要求获利不低于2400元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，设，图象经过， 得：，解得：， 即： ∴ （2）由题意可知：当时，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴，， 为了最大限度让利给顾客， ∴ 综上：，这种干果应降价14元． （3）解：当，由题意，得：， 解得：， ∴； 当，由题意，得：， ∵时， ，， 又∵抛物线的开口朝下， ∴当时，； ∴； 综上：当或时，该店获利不低于2400元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 26．已知抛物线C：y＝与直线l：y＝kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P． （1）当k＝0时，求的值； （2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k＝0时，求的值； （3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k＝2时，求证：不论b为何实数，的值为定值，并求定值； （4）若将（2）的抛物线改为“y＝ax2”，其他条件不变，则的值还为定值吗？若是，请求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定值为；（4）为定值，＝|a|． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）求出抛物线与直线的交点坐标，由两点距离公式求得线段长度，便可计算的值； （2）设M点的坐标，求出抛物线与直线的交点坐标，用两点距离公式求得线段长度，进而计算结果； （3）设M点的坐标，求出抛物线与直线的交点坐标，用两点距离公式求得线段长度，进而计算结果； （4）依照前面的解法进行计算便可． 【详解】解：（1）当k＝0时，y＝b， ∴OP＝|b|， ∵＝b， ∴x＝±b， ∴A（﹣b，b），B（b，b）， ∴AB＝2b， ∴＝＝； （2）当k＝0时，y＝b， 设M（x，）， ∵MG⊥直线l， ∴MG＝|﹣b|， ∵A（﹣b，0），B（b，0）， ∴GA＝|x+b|，GB＝|x﹣b|， ∴＝＝； （3）当k＝2时，y＝2x+b， 设M（x，）， ∵MG∥y轴， ∴G（x，2x+b）， ∴GM＝|﹣2x﹣b|＝， 解方程组得， 或 A（，），B（3+，b+6+）， ∴GA＝＝， GB＝＝， ∴GA•GB＝5|x2﹣6x﹣3b|， ∴； （4）是定值． 当k＝0时，y＝b， 设M（x，ax2）， ∵MG⊥直线l， ∴MG＝|ax2﹣b|， 解方程组得， 或， ∵A（﹣，b），B（，b）， ∴GA＝|x+|，GB＝|x﹣|， ∴＝ ∴＝|a|为定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握求函数图象交点坐标的方法，求两点距离的公式，是解决本题的关键所在． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$