2024-2025学年人教版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：三角形、全等三角形、轴对称 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

2024-2025学年人教版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：三角形、全等三角形、轴对称 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．等腰三角形一边长为，一边长为，则它的周长等于（    ） A．16 B．17 C．16或17 D．以上都不对 3．已知在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，则这个三角形的最短边长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 4．若要植一块三角形草坪，两边长分别是20米和50米，则这块草坪第三边长不能为（　　） A．60米 B．50米 C．40米 D．30米 5．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　） A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140° 7．如图,已知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上,∠EPF=90°，∠BEP=∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为(   ) A．∠1=∠2 B．∠1=2∠2 C．∠1=3∠2 D．∠1=4∠2 8．如图，点，分别在线段，上，且，与交于点，则从下列三个条件①，②，③中选一个能使成立的是（　　　） A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③ 9．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法正确的有：（    ） ①是等腰三角形；②；③折叠后的图形是轴对称图形；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．已知的两条边长分别为1和2，则周长l的取值范围是 ． 12．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有 条． 13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为 ． 14．如图，在ΔABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，若AD=2cm，则CD= . 15．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE．如果，，则的度数为 °． 16．如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 17．如图，在平面直角坐标系上，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在线段的延长线上．过点C作，交y轴于点D．若，点D的坐标为，则线段的长度为 ．    18．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知：如图，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B，∠AED＝∠BEC．求证：CE＝DE． 20．小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为10米？为什么？ 21．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，．当的度数为多少时，能够使得与平行？ 22．在校运动会上，某校七年级⑴班的同学为了给参加比赛的同学加油助威，每人提前制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角（如图1），他想用如图2所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 23．一张三角形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，任取其中一个多边形，再沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，接着又从得到的3个多边形中任取其一，仍沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，…，如此下去，最后得到2023个12边形和其他若干多边形纸片．问：至少要剪多少刀？说明操作过程． 提示：n边形内角和． 24．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度．他们是这么做的：①在河流的一条岸边点处，选对岸正对的树；②沿河岸直走有树，继续前行到达点处；③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处停止行走；④测得的长为． (1)河的宽度是______； (2)请你说明数学兴趣小组做法的正确性． 25．作图： （1）如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中： ①画出△ABC关于直线l轴对称的△DEF（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）； ②直接写出△ABC中AB边上的高= ． （2）如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 26．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．    (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：三角形、全等三角形、轴对称 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线有n-3条，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则n-3=5， 解得n=8， 故这个多边形的边数为8， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的对角线.理解多边形的边数与经过多边形一个顶点对角线的条数之间的关系是解决此题的关键. 2．等腰三角形一边长为，一边长为，则它的周长等于（    ） A．16 B．17 C．16或17 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为，若等腰三角形的腰长为，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为，三边长为，，， 此时它的周长等于； 若等腰三角形的腰长为，三边长为，，， 此时它的周长等于； 综上所述，它的周长等于或． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 3．已知在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，则这个三角形的最短边长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】利用大边对大角，小边对小角，30º角所对直角边是最短边等于斜边的一半即可判断． 【详解】在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm， 由30º角是最小的角所对边是最短边， ∴这个三角形的最短边长为×8＝4（cm）． 故选择：B． 【点睛】本题考查直角三角形的最短边问题，掌握大边对大角，小边对小角，30º角所对直角边是最短边，会利用30º角直角三角形的性质求线段是解题关键． 4．若要植一块三角形草坪，两边长分别是20米和50米，则这块草坪第三边长不能为（　　） A．60米 B．50米 C．40米 D．30米 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系定理可得50﹣20＜x＜50+20，再解即可． 【详解】解：由题意得：50﹣20＜x＜50+20， 即30＜x＜70， 观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查的是三角形三边关系的应用，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 5．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，由题意易得OE=1，然后根据角平分线的性质定理可求解． 【详解】解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，如图所示： ∵OC平分∠ACB， ∴OE=OF， ∵的面积是，AC=3， ∴， ∴OF=OE=1； 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 6．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　） A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140° 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题． 【详解】过点作， 如图,DF=DF′=DE； ∵BD平分∠ABC， , , △BDE≌△BDF， ∴∠DFB=∠DEB； ∵DE∥AB,∠ABC=40°， ∴∠DEB=180°−40°=140°； ∴∠DFB=140°； 当点F位于点F′处时， ∵DF=DF′， ∴∠DF′B=∠DFF′=40°. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的判定与性质． 7．如图,已知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上,∠EPF=90°，∠BEP=∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为(   ) A．∠1=∠2 B．∠1=2∠2 C．∠1=3∠2 D．∠1=4∠2 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】延长EP交CD于点M，由三角形外角的性质可得∠FMP=90°-∠2，再根据平行线的性质可得∠BEP=∠FMP，继而根据平角定义以及∠BEP=∠GEP即可求得答案. 【详解】延长EP交CD于点M， ∵∠EPF是△FPM的外角， ∴∠2+∠FMP=∠EPF=90°， ∴∠FMP=90°-∠2， ∵AB//CD， ∴∠BEP=∠FMP， ∴∠BEP=90°-∠2， ∵∠1+∠BEP+∠GEP=180°，∠BEP=∠GEP， ∴∠1+90°-∠2+90°-∠2=180°， ∴∠1=2∠2， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，平角的定义，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 8．如图，点，分别在线段，上，且，与交于点，则从下列三个条件①，②，③中选一个能使成立的是（　　　） A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③ 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：选①或②， 理由：∵∠BOD=∠COE，∠B=∠C，BD=CE， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB=OC； ∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO，BD=CE， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB=OC； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 9．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】延长交于，根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 10．如图，长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法正确的有：（    ） ①是等腰三角形；②；③折叠后的图形是轴对称图形；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题 【分析】由折叠性质得到，再利用矩形对边平行的性质得到，由此证明，从而得到是等腰三角形，可判断①；由AAS证明，可判断④；再根据等腰三角形的对称性判断③． 【详解】解：折叠 在矩形中， 是等腰三角形，故①正确； 无法判断，故②错误； 是等腰三角形， ，故④正确， 是等腰三角形，且， 折叠后的图形是轴对称图形，故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形与折叠、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．已知的两条边长分别为1和2，则周长l的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系定理可得，进而求解周长的范围即可． 【详解】解：设三角形的第三边为c，则 ， 即． ∴， 故答案是： 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 12．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有 条． 【答案】4 【知识点】求对称轴条数 【分析】结合题意，根据轴对称的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，此图形的对称轴有4条 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解． 13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为 ． 【答案】20 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题涉及的知识点是线段的垂直平分线的性质，根据性质先得到BE=CE，BD=CD，再根据等量代换的思想去解答就可以 【详解】∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE=CE，BD=CD ∴△ABD的周长=AB+BD+AD =30-BC-(AD+CD)+CD+AD =30-BC-AD-CD+CD+AD =30-10=20 故答案为20． 【点睛】此题重点考查学生对线段垂直平分线的理解，等量代换是解题的关键 14．如图，在ΔABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，若AD=2cm，则CD= . 【答案】4． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【详解】此题首先根据角平分线的性质可以得到AD=DE，再根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，根据等腰三角形的性质进一步得到∠C=∠DBC=∠ABD=30°，接着可以推出CD=2DE，而AD=2cm，由此即可求出CD的长． 解：∵BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，DE是BC的垂直平分线， ∴AD=DE，BD=CD， ∴∠C=∠DBC=∠ABD， 而∠C+∠DBC+∠ABD=180°-∠A=90°， ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴CD=2DE， 而AD=DE=2， ∴CD=4． 故填4． 此题主要考查线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质等几何知识及含30°角的直角三角形的性质；得到30°的角是正确解答本题的关键． 15．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE．如果，，则的度数为 °． 【答案】25 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A＋∠AFD，∠AFD＝∠A'＋∠CEA'，代入已知可解题． 【详解】解：如图所示标注字母， 由折叠可得 ， ∵ 是△ADF的外角， ∴∠BDA'＝∠A＋∠AFD， ∵∠AFD是△EF的外角， ∴∠AFD＝∠A'＋∠CEA'， ∴∠BDA'=∠A＋∠A'＋∠CEA'， ∵， ∴∠BDA'=2∠A＋∠CEA'， ∵，， ∴=2∠A+， ∴∠A=， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键． 16．如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】连接、，证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，从而得到，证明，得出，结合即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵关于对称得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系上，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在线段的延长线上．过点C作，交y轴于点D．若，点D的坐标为，则线段的长度为 ．    【答案】5 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明，再根据全等的性质求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 18．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边． （1）利用角平分线的性质定理判断即可； （2）首先得出为的内心，进而得出，在中，推出，同理，，，，即可得出答案． 【详解】解：（1）点到每条公路的距离相等， 点是的角平分线的交点． 故答案为：角平分线； （2）共有6条线路：，，，，，， 在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 在中， 推出， 同理，，，， 最短， 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知：如图，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B，∠AED＝∠BEC．求证：CE＝DE． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】通过已知条件证明△AEC≌△BED，即可得证． 【详解】证明：∵∠AED＝∠BEC， ∴∠AED+∠DEC＝∠DEC+∠BEC， 即∠AEC＝∠BED， ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）， ∴CE＝DE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质综合应用．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 20．小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为10米？为什么？ 【答案】(1)米 (2)第一条边长不能为米，理由见解析 【知识点】用代数式表示式、整式加减的应用、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，三角形三边关系等知识； （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断． 【详解】（1）解：∵第一条边长为米, 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米 ∴第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米； 21．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，．当的度数为多少时，能够使得与平行？ 【答案】当时， 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，． 22．在校运动会上，某校七年级⑴班的同学为了给参加比赛的同学加油助威，每人提前制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角（如图1），他想用如图2所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见详解 【知识点】全等三角形的性质 【分析】由题意根据作三角形全等于已知三角形的方法利用ASA，在矩形的较短的边上截取线段等于彩旗的短直角边，再作一角等于彩旗的顶角即可． 【详解】解：如图所示： 　 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及应用与设计作图，熟练并正确利用全等三角形的判定进行分析是解题的关键． 23．一张三角形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，任取其中一个多边形，再沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，接着又从得到的3个多边形中任取其一，仍沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，…，如此下去，最后得到2023个12边形和其他若干多边形纸片．问：至少要剪多少刀？说明操作过程． 提示：n边形内角和． 【答案】18207 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的边角关系，解一元一次不等式，熟练掌握多边形内角和是解题的关键． 根据题意设一共剪了k刀，可得每剪一次，使得各部分的内角和共增加，剪了k刀后，可得个多边形，其余多边形有个，再根据多边形内角和公式列式计算即可． 【详解】解：设一共剪了k刀， 由题意得，每剪一次，使得各部分的内角和共增加， ∴剪了k刀后，可得个多边形，内角和为：， ∵个多边形中有2023个十二边形， ∴， 其余多边形有个， 而这些多边形内角和不少于， ∴， 解得， ∴至少剪18207刀． 当我们按如下方式剪18207刀，即可得到符合条件的结论． 先从三角形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个四边形；再在四边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个五边形；依次，剪了9刀后，得到9个三角形和1个十二边形．再取出9个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到81个三角形和9个十二边形；再取81个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到729个三角形和81个十二边形；再取729个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到6561个三角形和729个十二边形；再取1203个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到10827个三角形和1203个十二边形； 便可得到十二边形：（个） 三角形：（个） 共剪了：（刀）． 答：至少剪18207刀． 24．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度．他们是这么做的：①在河流的一条岸边点处，选对岸正对的树；②沿河岸直走有树，继续前行到达点处；③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处停止行走；④测得的长为． (1)河的宽度是______； (2)请你说明数学兴趣小组做法的正确性． 【答案】(1)19 (2)数学兴趣小组的做法是正确的，理由见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【详解】解：（1）19 （2）由题意，得． 在与中， 所以，所以． 故数学兴趣小组的做法是正确的． 25．作图： （1）如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中： ①画出△ABC关于直线l轴对称的△DEF（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）； ②直接写出△ABC中AB边上的高= ． （2）如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）①如图；② ；（2）如图 【知识点】作角平分线(尺规作图)、画轴对称图形、轴对称综合题(几何变换) 【分析】（1）①分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得； ②利用割补法求△ABC的面积，利用勾股定理求AB边长，再利用三角形面积公式求AB边上的高，可得； （2）先作出∠BAD的平分线AM，再作出线段BC的垂直平分线GH，两者的交点即为所求作的点P． 【详解】解：（1）①如图所示，△DEF即为所求； ②△ABC的面积为 根据勾股定理： ∴AB边上的高为： （2）如图2所示，点P即为所求． 【点睛】此题主要作图-轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积，也考查了角平分线与中垂线的尺规作图与性质． 26．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．    (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）本题根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题． （2）本题根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题． （3）本题根据题意分析点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小为，求出的值，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 又， ， 在中，， ， ， 又， ， ， ． （2）解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：   G为的中点， ， 在和中， ， ，， ， 即， 又，， 是等边三角形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：   是等边三角形，， ，， 由旋转性质可得，，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在等边中，，， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$