2024-2025学年苏科版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024-2025学年苏科版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．每年三月份最后一周的星期一是全国中小学生安全教育日，为了警示学生，学校的许多场地都张贴了安全标志，下面是部分安全标志的图片，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．已知等腰的周长为16厘米，边，则边的长是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，已知直线，，，，，则的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 4．下列语句不正确的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 5．△ABC中，，AB=5，AC+BC=6，则△ABC的面积是（    ） A． B． C．6 D．1 6．如图，在中，，，的面积为的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C是小正方形的顶点，连结AB、AC，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．90° D．100° 8．如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图所示，已知A、B、C在同一直线上，且与都是等边三角形．下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥；⑦；⑧，其中正确的有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（    ）    ①若，则；②若，则；③若，则；④过点作于点，若，，则． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为 ． 12．如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，，，则的长为 ．    13．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 ． 14．如图，已知等边△ABD， 边AB=8，射线AM垂直BD，交BD于点M，C为射线AM上一点，连接BC，BC=2，点E为AD边上一点，若 CE∥AB，则CE的长为 ． 15．如图，在中，，，垂足为D，平分交于点E，过点E作，垂足为F，过点E作，交于点G，若，则 ． 16．如图，等边三角形，在边所在的直线上分别截取，，连接，，则的度数是 ． 17．如图，已知等边三角形△ABC，点 D，E 分别在 CA，CB 的延长线上，且 BE=CD，O为 BC 的中点，MO⊥AB 交 DE 于点 M，OM=，AD=2，则 AB= ．    18．如图，点O是三角形内的一点，，，已知，则 ， ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米，将梯子的底端向方向挪动1米，如图2，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 20．为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积． 21．如图，在中，，于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？ 23．如图，和是的两个外角． (1)用直尺和圆规分别作和的平分线，设它们相交于点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点P在的平分线上． 24．小明想知道一堵墙 上的点A 的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A 重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠ ∠    ， 标记此时直杆的底端点D： 第三步：测量 的长度，即为点A 的高度．    (1)请补全小明的设计方案； (2)请说明小明这样设计方案的理由． 25．为了测量如图风筝的高度．测得如下数据：①的长度为8米（注：）；②放出的风筝线的长为17米；③牵线放风筝的同学身高为1.60米． (1)求风筝的高度． (2)若该同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 26．我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为面积法． （1）如图1，在Rt中，，，，，是斜边上的高线．用“面积法”求的长． （2）如图2，在等腰三角形中，，，过作⊥于点，且，为底边上的任意一点，过点作⊥，⊥，垂足分别为，，连接，利用，求的值． （3）如图3，有一直角三角形纸片，，，．点在斜边上，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上，求折叠后纸片重叠部分的面积．（提示：有一个角为的直角三角形为等腰直角三角形） ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．每年三月份最后一周的星期一是全国中小学生安全教育日，为了警示学生，学校的许多场地都张贴了安全标志，下面是部分安全标志的图片，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.选项A能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形． 2．已知等腰的周长为16厘米，边，则边的长是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，通过讨论当腰长为时，当底边长为时，根据三角形的周长，求出对应的腰长，再根据构成三角形的条件进行判断即可得到答案． 【详解】当为底时，； 当为腰时，则长为， 故选：D． 3．如图，已知直线，，，，，则的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】A 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】由得到，根据三角形的外角的性质求出，从而求出的度数． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的外角的知识，解题的关键是能够熟练运用三角形外角的知识． 4．下列语句不正确的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意是不能判定三角形全等的． 【详解】解：A、三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确，不符合题意； B、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项正确，不符合题意； C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误，符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等． 5．△ABC中，，AB=5，AC+BC=6，则△ABC的面积是（    ） A． B． C．6 D．1 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】设AC=x，则BC=6-x，然后根据勾股定理AC2+BC2=AB2，求出x（6-x）的值，继而根据三角形的面积公式求出答案. 【详解】解：设AC=x，则BC=6-x，根据勾股定理有AC2+BC2=AB2， 得： ，得： 则三角形ABC的面积为： 故答案为:A 【点睛】本题考查勾股定理的知识，难度适中，关键是根据勾股定理公式求出AC.BC的值. 6．如图，在中，，，的面积为的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三线合一、最短路径问题 【分析】本题考查的是轴对称之最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求得． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长即为的最小值，即的最小值为， 故选：D． 7．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C是小正方形的顶点，连结AB、AC，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．90° D．100° 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【详解】连接BC,由勾股定理知AC=BC=，AB=， 因为， 所以三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°.选B. 点睛：(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形. (3)掌握常见勾股数：3,4,5；5,12,13,；6,8,10；8,15,17等. 常见三边比例：1::2；1:1：；1:2：. 注：勾股定理一定要在直角三角形内使用，其他的三角形不能使用勾股定理. 8．如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】根据等边三角形及为中线，可得：,,再根据含直角三角形的性质可得出，，即可得出答案． 【详解】解：在等边三角形ABC中，为中线， ∴,, ∴ ∵, ∴, ∴ ∴, 在中：, ∴， 在中, ∴， ∴． 故答案为：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 9．如图所示，已知A、B、C在同一直线上，且与都是等边三角形．下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥；⑦；⑧，其中正确的有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】由题中条件可得，得出对应边、对应角相等，进而得出，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴题中①②④⑤⑥⑦⑧正确，而③不正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（    ）    ①若，则；②若，则；③若，则；④过点作于点，若，，则． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】①过作交于，由角平分线的性质定理得，由判定，由三角形全等的性质得，再由等腰三角形的性质即可判断；②延长至，使得，连接，由线段垂直平分线的性质得，设，由等腰三角形的性质得，，是等腰三角形， 可判定延长至时，、、，三点共线，由，即可判断；③由三角形面积公式得，即可判断；④如图，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，即可判断． 【详解】解：①如图，过作交于，    ， 平分，， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； 故①正确； ②延长至，使得，连接， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 过两点有且只有一条直线， 连接、的线段只有一条， 延长至时，、、，三点共线， ， ， ， 故②错误； ③由①得： ， ， ， ， ， 故③正确； ④如图，过作交于，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述：①③④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等，掌握相关的判定及性质，能根据题意作出适当的辅助性，构建全等三角形是解题的关键． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】由题意画出菱形，根据菱形的对角线性质得，继而解出，由含30°角的直角三角形性质解得，在中，利用勾股定理解得，进一步得到，最后由菱形的面积公式解题即可． 【详解】解：如图， 菱形中，， ， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 解得， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，，，则的长为 ．    【答案】4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用．连接，由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可证明，进而可证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，    ∵，，是的中点， ∴， ∴，∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：4． 13．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】此题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长．根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 14．如图，已知等边△ABD， 边AB=8，射线AM垂直BD，交BD于点M，C为射线AM上一点，连接BC，BC=2，点E为AD边上一点，若 CE∥AB，则CE的长为 ． 【答案】6或2 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】根据点C在M下方和点C在M上方分类讨论，分别画出对应的图形，根据等边三角形的性质、勾股定理、30°所对的直角边是斜边的一半分别求解即可． 【详解】解：当点C在M下方时，设CE与BD交于点F ∵△ABD为等边三角形，边AB=8， ∴AB=AD=BD=8，∠BAD=∠ABD=∠D=60° ∵AM垂直BD ∴∠BAM=∠DAM=30°，BM=DM==4 在Rt△BCM中，CM= ∵CE∥AB， ∴∠ECA=∠BAM=30°，∠DEF=∠BAD=60°，∠EFD=∠ABD=60° ∴△EFD为等边三角形 ∴EF=FD 在Rt△CMF中，CF=2MF，设MF=x，则CF=2x ∴ 即 解得：x=2或-2（不符合实际，舍去） ∴MF=2，CF=4 ∴FD=DM－MF=2 ∴EF=2 ∴CE=CF＋EF=6； 当点C在M上方时，过点E作EG⊥AM于G ∵△ABD为等边三角形，边AB=8， ∴AB=AD=BD=8，∠BAD=∠ABD=∠D=60° ∵AM垂直BD ∴∠BAM=∠DAM=30°，BM=DM==4 在Rt△BCM中，CM= 在Rt△ABM中，AM= ∴AC=AM－CM= ∵CE∥AB， ∴∠ECA=∠BAM=30°， ∴∠EAC=∠ECA=30° ∴EA=EC， ∵EG⊥AM ∴CG== 在Rt△CEG中，CE=2EG，设EG=y，则CE=2y ∴ 即 解得：y=1或-1（不符合实际，舍去） ∴CE=2； 综上：CE=6或2 故答案为：6或2． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、勾股定理、30°所对的直角边是斜边的一半是解题关键． 15．如图，在中，，，垂足为D，平分交于点E，过点E作，垂足为F，过点E作，交于点G，若，则 ． 【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】在BC延长线上取一点I，使EB=EI，将△EGF沿EF翻折得到△EHF，证CI＝2DF＝2，再证HI＝BG＝2CI即可． 【详解】在BC延长线上取一点I，使EB=EI，将△EGF沿EF翻折得到△EHF， ∵AB＝CA，， ∴BD＝DC，∠ABC=∠ACB， ∵BE＝IE，EF⊥BC， ∴BF＝FI，∠EBI=∠I， ∵DF＝DC﹣FC＝DC﹣（FI﹣CI）＝BC﹣BI+CI＝CI， ∴CI＝2DF＝2， 由翻折可知，EG=EH，∠EGH=∠EHG， ∵， ∴∠EGH+∠EBI=90°， ∴∠EHG+∠I=90°， ∴∠EGH+∠EBI=90°， ∴∠BEG=∠IEH=90°， ∵平分，∠ABC=∠ACB，∠EBI=∠I， ∴∠I=∠ACB， ∴∠CEI=∠I，CE＝CI， ∵∠I+∠EHI=90°，∠CEI+∠CEH=90°， ∴∠EHI=∠CEH， ∴CE＝CH， ∴IH=2CI=4， ∵BE＝IE，EG=EH，∠BEG=∠IEH=90°， ∴△BEG≌△IEH， ∴BG=IH=4， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形和等腰三角形进行推理计算． 16．如图，等边三角形，在边所在的直线上分别截取，，连接，，则的度数是 ． 【答案】°/度 【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】由是等边三角形，，进而可得，由此可得，，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和，能够熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键． 17．如图，已知等边三角形△ABC，点 D，E 分别在 CA，CB 的延长线上，且 BE=CD，O为 BC 的中点，MO⊥AB 交 DE 于点 M，OM=，AD=2，则 AB= ．    【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】先添加辅助线构造等腰三角形CFD，再推到O是EF中点，之后根据等腰三角形和等边三角形的性质来判断OM∥FD，之后判断出OM是三角形EFD的中位线即可求解本题． 【详解】解：如图，延长EC到点F，使CF=BE，    连接DF， ∵BE=CD， ∴CF=CD， 作CH⊥FD于H， 则H为FD的中点， 即FD=2FH， ∵ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠F=∠FDC=30°， 设ABC的边长为4a， 则CF=CD=2+4a，CE=4a+4a+2=8a+2， ∵O是BC中点， ∴OC=OB=2a， ∴OF=OE=6a+2， 故O为EF中点， ∵MO⊥AB 交 DE 于点 M， ∴∠BOM=30°=∠F， ∴OM∥FD， 故M为ED中点， ∴, 故, 在直角CHF中， ∵CF=4a+2，∠F=30°， ∴CH=2a+1， ， ∴， 解得：， ∴AB=4a=4； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形和等边三角形，根据题意正确添加辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 18．如图，点O是三角形内的一点，，，已知，则 ， ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，先由等边对等角得到，进而求出，则由三角形内角和定理可得；分别过点B、C作直线的垂线，垂足分别为E、F，证明，得到；根据，推出，勾股定理得，，解得或（舍去），则，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，分别过点B、C作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴ ， 故答案为：；． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米，将梯子的底端向方向挪动1米，如图2，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 【答案】梯子的顶端向上移动了1米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得米，在中由勾股定理可得的长，即而可得答案． 【详解】解：由题意可得，米，米，米， 在中，， ， ∴ 米， 答：梯子的顶端向上移动了1米． 20．为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ，，， ， 是直角三角形，且， 阴影部分的面积． 21．如图，在中，，于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据已知条件得到，再根据角平分线的定义得到，即可得解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴． （2）∵，， ∴，， ∴中，， ∴中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形，准确计算是解题的关键． 22．如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？ 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点A和点B所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接，利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点A是长的四等分点，点B是宽的三等分点 如图1，此时，，， ， ； 如图2，此时，，， ， ； 如图3，此时，，， ， ， ， 壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少． 23．如图，和是的两个外角． (1)用直尺和圆规分别作和的平分线，设它们相交于点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点P在的平分线上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作和的平分线； （2）过点作于，于，于，如图，先根据角平分线的性质得到，，则，然后根据角平分线性质的逆定理得到结论． 【详解】（1）解：如下图：和即为所求， （2）证明：过点作于，于，于，如下图： ∵分别平分，， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上． 【点睛】本题考查了基本作图－角平分线，涉及了角平分线的性质定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 24．小明想知道一堵墙 上的点A 的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A 重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠ ∠    ， 标记此时直杆的底端点D： 第三步：测量 的长度，即为点A 的高度．    (1)请补全小明的设计方案； (2)请说明小明这样设计方案的理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键： （1）根据图形结合设计方案依次填写步骤即可； （2）证明即可得到理由． 【详解】（1）第一步：找一根长度大于 的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A 重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠∠， 标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量的长度，即为点A 的高度． 故答案为：，，； （2）由（1）得： 在和中 ∴ ∴． 25．为了测量如图风筝的高度．测得如下数据：①的长度为8米（注：）；②放出的风筝线的长为17米；③牵线放风筝的同学身高为1.60米． (1)求风筝的高度． (2)若该同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为16.6米； (2)他应该往回收线7米． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）在中，由勾股定理得， ∴米， 米， 答：风筝的高度为16.6米； （2）如图，设风筝沿方向下降9米至点，则米， 米， 米， 米， ∴他应该往回收线7米． 26．我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为面积法． （1）如图1，在Rt中，，，，，是斜边上的高线．用“面积法”求的长． （2）如图2，在等腰三角形中，，，过作⊥于点，且，为底边上的任意一点，过点作⊥，⊥，垂足分别为，，连接，利用，求的值． （3）如图3，有一直角三角形纸片，，，．点在斜边上，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上，求折叠后纸片重叠部分的面积．（提示：有一个角为的直角三角形为等腰直角三角形） 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】折叠问题、等腰三角形的性质和判定、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）直接利用面积法求出即可； （2）直接利用面积法求出即可． （3）如图，过点作于，于．利用与均为等腰直角三角形且有一条公共的斜边CD证明，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中， ，， ， ． ； （2）∵⊥，⊥，⊥， ∴， ， ； （3）如图，过点作于，于． ∵折叠， ，， ∵，， ， ∴与均为等腰直角三角形，且有一条公共的斜边CD， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$