第十三章 轴对称（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．下列四种图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将沿折痕折叠，使边落在边上，则得到结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．下列各图形中，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D．绝对值相等的两个数相等 7．如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（　　） A．点C B．点F C．点E D．点D 8．观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 9．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 10．如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，则的长为（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．9 12．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 13．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（  ） A． B． C． D． 14．如图,将△ABC沿直线AD折叠,点B与点E重合,连接BE交AD于O.∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10，S∆ACD=15.有下列结论:①S∆CDE=5；②CD=5；③OB=OE；④S∆ABD:S∆ACD=3:4,则以上结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③ 15．如图，在中，，过点A的直线与的平分线分别交于点E、D，则的长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条． 17．如图，在中，于点， °． 18．如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，测得比大，则折叠角的度数为 . 19．如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．(6分)如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 21．(6分)利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 22．(7分)如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 23．(7分)如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，延长交边于点，联结、． (1)试说明的理由； (2)延长交于点，求的度数． 24．(8分)如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数． 25．(8分)如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)你认为点与点有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数； (3)求的周长和面积． 26．(8分)如图，已知，，． (1)画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 27．(12分)某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于x轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是， 故选A． 2．下列四种图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，故A、C、D不符合题意； B中的图形不是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 3．如图，将沿折痕折叠，使边落在边上，则得到结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：将沿折痕折叠，使边落在边上， ∴，故D正确， 而，，不一定正确； 故选：D． 4．如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， 故选：C． 5．下列各图形中，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴的条数；根据具体图形即可确定结果． 【详解】解：A、有无数条对称轴； B、有两条对称轴； C、有一条对称轴； D、有四条对称轴； 故对称轴条数最多的是选项A， 故选：A． 6．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D．绝对值相等的两个数相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的条件和结论互换，写出对应命题的逆命题，再判断对应逆命题的真假即可得到答案． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：同位角线段，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、原命题的逆命题为：相等的两个角为对顶角，是假命题，符合题意； C、原命题的逆命题为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：两个相等的数的绝对值相等，是真命题，不符合题意； 故选：B． 7．如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（　　） A．点C B．点F C．点E D．点D 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可，此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴点A的对称点是点D， 故选：D 8．观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【答案】B 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键． 【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线， 故选B． 9．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B， 故选B． 10．如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质即可求解 ． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 故选：C ． 11．如图，在中，，，，则的长为（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：C 12．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案． 【详解】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线，正确，故A符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、等腰三角形可能的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故C不符合题意； D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：A． 13．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．根据角平分线的定义，则，；根据平行线的性质可证得，，然后根据等角对等边，则，，最后根据三角形的周长，即可． 【详解】∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 14．如图,将△ABC沿直线AD折叠,点B与点E重合,连接BE交AD于O.∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10，S∆ACD=15.有下列结论:①S∆CDE=5；②CD=5；③OB=OE；④S∆ABD:S∆ACD=3:4,则以上结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由题意可得△ABD≌△AED，∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6，则CE=4，由S∆ACD=15可得DE=3，即可求得S∆CDE； 由BD= DE=3，可得CD=BC-BD=5；由△ABD≌△AED得∠BAD=∠CAD，AB=AE，由等腰三角形三线合一可得OB=OE；由S∆ABD= ，可得S∆ABD:S∆ACD=9:15=3:5. 【详解】解: ∵△ABC沿直线AD折叠,点B与点E重合, ∴△ABD≌△AED， ∴∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6，BD= DE， ∵S∆ACD= =15，AC=10， ∴BD= DE=3，CE=AC-AE=4， ∴S∆CDE = ，故①错误； ∵△ABD≌△AED， ∴BD= DE=3， ∴CD=BC-BD=8-3=5，故②正确； ∵△ABD≌△AED， ∴∠BAD=∠CAD，AB=AE， ∴OB=OE，故③正确； ∵S∆ABD= ，S∆ACD=15， ∴S∆ABD:S∆ACD=9:15=3:5，故④错误. 故以上结论正确的是②③. 故选B. 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一，解题的关键是掌握折叠中的对应关系和数形结合思想． 15．如图，在中，，过点A的直线与的平分线分别交于点E、D，则的长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】根据角平分线及平行线可以得到两个等腰三角形、，根据这两个等腰三角形即可得出： ，，求出DE． 【详解】解：∵， ∴． 又∵平分， ∴， 即：， ∴． 同理可得：， ∴， 故：选A． 【点睛】本题只要是利用平行+角平分线即可出现等腰三角形这一特点，求出DE． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条． 【答案】3/三 【分析】此题考查轴对称的性质和等边三角形的性质，属常规题．根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴． 【详解】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴． 故答案为：3 17．如图，在中，于点， °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形以及三角形的内角和，根据题目要求算出角度即可． 【详解】 故答案为：． 18．如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，测得比大，则折叠角的度数为 . 【答案】/27度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质等知识点，掌握翻折的性质成为解答本题的关键．根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质以及比大求解即可． 【详解】由折叠可得， 则， 即， 解得：， 故答案为：． 19．如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ． 【答案】14 【分析】由图形可得：△APC周长，因为AC＝3，所以求出的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接AE，BP， ∵直线EF垂直平分AB， ∴A，B关于直线EF对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于BC的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．(6分)如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 21．(6分)利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了轴对称作图与应用设计，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求；关键是正确找出点的位置． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由作图可知：， 要使的从点到点的路程最短，根据两点之间线段最短，连接，交直线于点，点即为所求； 故加工厂应该建在处． 22．(7分)如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先根据条件证明 ，得到为等腰三角形，再通过证明，得到，得到为的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等边对等角）． 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 即． 所以（等角对等边）． 在和中， ， 所以（）． 得（全等三角形对应角相等）． 所以（等腰三角形的三线合一）． 23．(7分)如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，延长交边于点，联结、． (1)试说明的理由； (2)延长交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【分析】（1）证是等边三角形，得，，再证，则，然后证，进而证； （2）由全等三角形的性质得，再证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．(8分)如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）7cm；（2）65° 【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长=AC+AE，即可得出答案； （2）由折叠的性质可得∠C=∠DEB=100°，∠BDE=∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE=50°，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）； （2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB， ∵∠DEB＝∠A＋∠ADE， ∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°， ∴∠BDE＝∠CDB＝＝65°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键． 25．(8分)如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)你认为点与点有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数； (3)求的周长和面积． 【答案】(1)点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分 (2) (3)12cm， 【分析】本题考查成轴对称的性质． （1）根据成轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，作答即可； （2）根据对应角相等，作答即可； （3）根据对应边相等，进行求解即可． 掌握成轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分． （2）因为与关于直线对称， 所以， 所以， 因为， 所以． （3）因为与关于直线对称， 所以， 所以，， 因为，， 所以，， 又因为， 所以的周长． 因为， 所以的面积． 26．(8分)如图，已知，，． (1)画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析， 【分析】（1）先画出关于轴的对称点，再连接三点即可求解；根据点的坐标特点直接写出坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，则点P即是所求作的点，据此直接写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，，； （2）解：如图，点P即是所求作的点，． 【点睛】本题是一道作图题，考查了点的坐标特征，点关于轴，关于轴的对称，最短路径，正确理解点关于轴，关于轴的对称特点是解本题的关键． 27．(12分)某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称图形的性质得出是解题关键． （1）根据图形是一个轴对称图形，且有4条对称轴，进而得出结合轴对称图形的性质得出； （2）去掉一行上的左右两粒棋子即可符合要求的答案； （3）根据题意可以去掉8个棋子，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图2所示： （2）解：如图3所示： （3）解：如图4所示： 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$