专题13.5 轴对称-最短路径问题（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题13.5 轴对称-最短路径问题（5个考点） 【考点1 “2定点1动点”作图问题】 【考点2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 【考点3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【考点4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【考点5 “1定点2动点”-角度问题】 【考点1 “2定点1动点”作图问题】 1．（2024•开州区开学）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•东莞市期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．100° B．90° C．70° D．80° 3．（2023秋•番禺区期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4．（2023秋•潜江期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 5．（2023春•尧都区期中）如图，A村和B村之间有一条河流，为实现乡村振兴，某乡镇想在河堤两岸搭建一座桥，搭建路线最短的是（　　） A．PM B．PN C．PC D．PQ 6．（2023秋•天山区校级期末）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？ 7．（2023秋•陵水县期末）如图，已知M、N分别是∠AOB的边OA上任意两点． （1）尺规作图：作∠AOB的平分线OC； （2）在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写画法） 【考点2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 8.（2023春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．14 9.（2023秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 【考点3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 10.（2023春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 11.（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 12.（2023春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【考点4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 13.（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 14.（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 15.（2023秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 16.（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 17.（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 18.（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【考点5 “1定点2动点”-角度问题】 19.（2023秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 20.（2023秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．60° B．90° C．100° D．120° 21.（2023春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　） A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.5 轴对称-最短路径问题（5个考点） 【考点1 “2定点1动点”作图问题】 【考点2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 【考点3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【考点4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【考点5 “1定点2动点”-角度问题】 【考点1 “2定点1动点”作图问题】 1．（2024•开州区开学）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短． 故选：C． 2．（2023秋•东莞市期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．100° B．90° C．70° D．80° 【答案】A 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值． ∵∠C＝40°， ∴∠DAB＝140°， ∴∠AA′E+∠A″＝40°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝40°， ∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°， 故选：A． 3．（2023秋•番禺区期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短， ∵M′N与直线l交于点C， ∴点P应选C点． 故选：C． 4．（2023秋•潜江期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【答案】C 【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， 于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故C选项符合题意， 故选：C． 5．（2023春•尧都区期中）如图，A村和B村之间有一条河流，为实现乡村振兴，某乡镇想在河堤两岸搭建一座桥，搭建路线最短的是（　　） A．PM B．PN C．PC D．PQ 【答案】B 【解答】解：四条路线MP，PQ，PC，PN（其中PN⊥MQ），要使搭建路线最短，可以选择的路线为PN． 故选：B． 6．（2023秋•天山区校级期末）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下： 在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E， ∵A、A′关于直线l对称， ∴AP＝A′P， 同理AE＝A′E， ∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B， AE+BE＝A′E+BE＞A′B， ∴AP+BP＜A′E+BE， ∵E是任意取的一点， ∴AP+BP最短． 7．（2023秋•陵水县期末）如图，已知M、N分别是∠AOB的边OA上任意两点． （1）尺规作图：作∠AOB的平分线OC； （2）在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线． （2）如图2，作点M关于OC的对称点M′，连接M′N交OC于点P， 则点P即为所求． 【考点2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 8.（2023春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线， ∴A与B关于ED对称， 连接AF，交ED于点P， ∵AP＝PB， ∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB， 当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小， ∵F为BC边的中点，AB＝AC， ∴AF⊥BC，， ∴， ∵BC＝6， ∴AF＝8， ∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11， ∴△PBF周长的最小值为11， 故选：C． 9.（2023秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 【答案】A 【解答】解：∵直线m垂直平分BC， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于D， ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13． 故选：A． 【考点3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 10.（2023春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∴点F′在AC上， ∵BE+EF＝BE+EF′， 根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长． 在Rt△ACD中，AC＝5， ∵•BC•AD＝•AC•BH， ∴BH＝， ∴BE+EF的最小值为， 故选：C 11.（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴CM＝AM， ∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM， ∵AM+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴DM+CM的最小值为6． 故选：C． 12.（2023春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：如图所示： 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M， 过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴ME＝MN， ∴CM+MN＝CM+ME＝CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB， ∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC， ∴10CE＝6×8， ∴CE＝4.8． 即CM+MN的最小值是4.8， 故选：B． 【考点4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 13.（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''， 由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F， ∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''， 此时△PEF周长最小， ∵PO＝OP'，OP＝OP''， ∴OP'＝OP''， ∵∠AOB＝30°， ∴∠P'OP''＝60°， ∴△OP'P''是等边三角形， ∵OP＝1， ∴P'P''＝1， 故选：D． 14.（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD＝4． ∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4， 故选：B． 15.（2023秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点. ∴△PAB即为所求的三角形， 根据对称性知道： ∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O， 还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2， 而∠MON＝50°， ∴∠P1OP2＝100°， ∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°， ∴∠APB＝2×40°＝80°． 故选：C． 16.（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图， 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∴∠AE′F′＝65°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， ∴∠E′B′G＝∠E′BG， ∵∠BAC＝50°， ∴∠AB′F′＝40°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠BE′F′＝50°， ∴∠AE′B＝115°． 故选：B． 17.（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴E点在AC上， ∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小， 由对称性可知，AE＝AB， ∵AB＝4， ∴AE＝4， 在Rt△ABE中，∠EAN＝60°， ∴∠AEN＝30°， ∴AN＝2， 故选：A． 18.（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【考点5 “1定点2动点”-角度问题】 19.（2023秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 【答案】C 【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AN＝NF，AM＝EM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值， ∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM， ∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD， ∵∠BAD＝130°， ∴∠E+∠F＝50°， ∴∠BAM+∠FAN＝50°， ∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°， ∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°， 故选：C． 20.（2023秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．60° B．90° C．100° D．120° 【答案】C 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值． ∵DAB＝140°， ∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝40°， ∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°． 故选：C． 21.（2023春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　） A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90° 【答案】B 【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA＝BA′，MB⊥AB， ∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″， ∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD， ∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD＝a， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣a， ∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a． ∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$