专题13.6 轴对称（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题13.6 轴对称 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）在△ABC中，边，的垂直平分线相交于P点，若，则是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·广东·单元测试）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 14．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ． 15．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 17．（6分）（24-25八年级上·江苏扬州·月考试题）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有_______个． 18．（6分）（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，则的度数为 ； （2）若，求的度数；（用含α的代数式表示） （3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 19．（6分）（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，等边，延长至点，使，连接，点是边上任意一点，以为边作等边，连接． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若点在的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 20．（6分）（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． （1）【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； （2）【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 21．（8分）（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 22．（8分）（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图,等腰直角中，，，点分别在坐标轴上． （1）如图1，若点的横坐标为5，求点坐标； （2）如图2，将摆放至x轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； （3）如图3，若点坐标为，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰直角与等腰直角，连接交轴于点．当点在轴正半轴上移动时，下列两个结论：①的长不变；②的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值． 23．（9分）（23-24八年级上·重庆大足·期末）在 和 中，，连接 ，恰好平分 ．    （1）如图1，当 时，求 的度数； （2）如图2，在射线 上存在一点 ，使 ，连接 ． 当 ，时，试说明 与 的位置关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接 并延长，分别交 ，于点 ，，若 ，，，分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.6 轴对称 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 【思路点拨】 本题考查了轴对称变换，根据轴对称的性质即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：每次变换一个窗花，需次； 先变换个，接着个，再个，最后个，共次； ∴变换次数最多和最少分别是， 故选：． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了轴对称的坐标变换，点的坐标变换规律探究，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【解题过程】 解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于x轴对称后在第二象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵余3， ∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为． 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是，因而就得到关于，的方程组，从而求出，，得出点的坐标． 【解题过程】 解：点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是， 根据题意得：， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 4．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了 的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，分一腰上的高在外部和内部讨论即可． 【解题过程】 解：当一腰上的高在外部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当一腰上的高在内部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，， 故选：B． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【思路点拨】 本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 如图：在上取一点G，使，连接，作于H，可得出得到的最小值为的长，再求出的长即可． 【解题过程】 解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）在△ABC中，边，的垂直平分线相交于P点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形内角和即可求出． 【解题过程】 解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，，， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， 即 故选：C． 7．（23-24八年级上·广东·单元测试）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键． 【解题过程】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 以此类推：． 故选：． 8．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【解题过程】 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【解题过程】 解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又 ， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 【思路点拨】 连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴，，， ∴是的中垂线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴而， ∴是等边三角形，故②正确； 如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 过点A作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 所以其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 【思路点拨】 此题考查利用轴对称设计图案，如图1，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图2，以线段所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可． 【解题过程】 解：如图所示： 故答案为：． 12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查的是轴对称—最短路线问题．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解题过程】 解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：8． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【思路点拨】 本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解题过程】 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 以为边作等边三角形，连接，过点作于，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解． 【解题过程】 解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于， 点的坐标为， 点为的中点， 是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， 当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值， 的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 【思路点拨】 本题以常见的全等模型-“手拉手”模型为几何背景，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的综合问题、角平分线的性质定理等知识点，还涉及了“截长补短”的辅助线作法，掌握相关结论和方法，进行严密的几何推理是解题关键． 【解题过程】 解：∵、是等边三角形， ∴， ∴ 即： ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故③、④正确； ∵， ∴ ∴边上的高相等， 即点到的距离相等， ∴平分，故⑤正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑥正确； 在上截取，连接，如图所示： 由②得：， ∴ 由⑤得：平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑦正确； ∵ ∴ ∴，故⑧正确； ∴ ∴，故⑨正确； 由以上推理可知：、， ∵ ∴ ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【解题过程】 （1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 17．（6分）（24-25八年级上·江苏扬州·月考试题）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有_______个． 【思路点拨】 本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【解题过程】 （1）解：如图，由题意，作，使它与关于直线m对称， （2）解：由题意，连，交直线m于点D，连，即为所求； 理由：由题意，所求中，边长为定值，只要最小即可，由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． （3）解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 18．（6分）（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，则的度数为 ； （2）若，求的度数；（用含α的代数式表示） （3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 【思路点拨】 此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解； 【解题过程】 （1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，分别垂直平分和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 19．（6分）（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，等边，延长至点，使，连接，点是边上任意一点，以为边作等边，连接． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若点在的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【思路点拨】 此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使得，由是等边三角形得到，证明，则，证明垂直平分，得到，由等量代换即可得到，即可证明是等腰三角形； （2）延长到点H，使得，证明，由是等边三角形得到，证明，则，证明垂直平分，则，由等量代换即可得到，即可证明是等腰三角形． 【解题过程】 （1）解：是等腰三角形， 理由如下：延长到点G，使得， 则， ∵等边，延长至点，使， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：（1）中的结论还成立， 理由如下：延长到点H，使得， 则， ∵等边，延长至点，使， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， 即（1）中的结论还成立． 20．（6分）（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． （1）【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； （2）【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【思路点拨】 本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【解题过程】 （1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 21．（8分）（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 【思路点拨】 （1）计算出运动秒时、、的长，再证明，得，则即可求得； （2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的值即可； （3）分三种情况，一是点在边上，则，可列方程；二是点在边上，则，可列方程；三是点在边上，则，可列方程，解方程求出相应的值即可． 【解题过程】 （1）解：如图1， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 运动秒时，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：设运动的时间为秒， 如图， 当时，则 ∴， ， 解得， 如图3， 当时，则 ， ， 解得 综上所述，运动秒或秒，是一个直角三角形． （3）解：如图， 当时， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图4， 当时，则'， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图5， 当时，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得 综_上所述，的值是秒或秒或秒时，线段与的某一边平行． 22．（8分）（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图,等腰直角中，，，点分别在坐标轴上． （1）如图1，若点的横坐标为5，求点坐标； （2）如图2，将摆放至x轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； （3）如图3，若点坐标为，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰直角与等腰直角，连接交轴于点．当点在轴正半轴上移动时，下列两个结论：①的长不变；②的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值． 【思路点拨】 （1）过点作轴于点，根据同角的余角相等可以得到，进一步可以证明，因此可以得出结论，求得点坐标； （2）分别延长相交于点，结合题意不难证明，从而根据“三线合一”可证得，最后结合全等三角形的性质即可得出结论； （3）过点作轴于点，由题意易证得和，根据全等三角形的性质和线段之间的转化即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作轴于点， ，轴， ， ， 在和中， ， ， ， C点的横坐标为5， ， B点坐标为． （2）如图，分别延长相交于点， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分，轴， ， ， ， ． （3）①结论正确，的长为2，理由如下： 如图，过点作轴于点， 是以为顶角的等腰直角三角形，是以为顶角的等腰直角三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ． 23．（9分）（23-24八年级上·重庆大足·期末）在 和 中，，连接 ，恰好平分 ．    （1）如图1，当 时，求 的度数； （2）如图2，在射线 上存在一点 ，使 ，连接 ． 当 ，时，试说明 与 的位置关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接 并延长，分别交 ，于点 ，，若 ，，，分别为 和 上的动点，请直接写出 周长的最小值． 【思路点拨】 （1）根据题意确定，再利用三角形的内角和计算即可： （2）由题干条件推出为等边三角形，然后进一步证明，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可； （3）首先将沿对称至，沿对称至，可确定且，分别在、上，并连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明，即可求得结论． 【解题过程】 （1）解：，恰好平分， ， ， ， ； （2）证明：，恰好平分， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图所示，将沿对称至，沿对称至，    由（2）可知是的角平分线，故在上， ∵，， ∴， ∴平分， ∴垂直平分，即所在的直线是的对称轴，故在上， 连接，此时与和交点即为所求、， 此时，的周长最小，周长的最小值即为的长度， ∵所在的直线是的对称轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点与是关于的对称， ∴与的交点在上，故与重合.此时 ∵， 由对称的性质可得：，，， ∴， 为等边三角形， 此时，过点作，交于点，如图所示， ， 为等边三角形，， 由（2）知，， ． 由（2）可知， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ，即： ， 周长的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$