专题2.9 直线和圆的方程全章复习（4大考点16种题型）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.9 直线和圆的方程全章复习 【考点1：直线与方程】 1 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 5 【题型二：两直线的位置关系】 7 【题型三：直线方程】 9 【题型四：直线的交点】 12 【题型五：点到直线的距离】 13 【题型六：点、线间的对称问题】 15 【考点2：圆的方程】 18 【题型七：求圆的方程】 20 【题型八：点与圆的位置关系】 22 【题型九：圆的对称性】 23 【题型十：与圆有关的轨迹】 24 【题型十一：与圆有关的最值】 26 【考点3：直线与圆的位置关系】 28 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 30 【题型十三：弦长问题】 31 【题型十四：切线问题】 35 【考点4：圆与圆的位置关系】 41 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 42 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 43 【考点1：直线与方程】 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式 (1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α. (2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．两条直线平行与垂直的判定 两条直 线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2 两条直 线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2 [易错提醒] 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　 4. 两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． [方法技巧] 已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 5. 直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐标系内所有直线 [易错提醒] (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　 　[方法技巧] 与直线方程有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　 6．两条直线的交点 7．三种距离 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ [方法技巧] 1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．　 [易错提醒] (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 　8．中心对称问题的两种类型及求解方法 点关于 点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解 直线关于 点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 9．轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 [方法技巧] 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 1．（浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 3．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【详解】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 5．（多选）（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，作出图形，找到斜边所在直线的倾斜角与该直角边所在直线的倾斜角之间的关系，借助于和差角的正切公式即可求得. 【详解】    如图，设的直角边所在直线的斜率为2，设其倾斜角为，则， 以为等腰直角三角形的直角边，为直角可作和， （以为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等）， 则易得斜边所在直线的倾斜角，此时， 斜边所在直线的倾斜角，此时， 故选：AB. 【题型二：两直线的位置关系】 1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知两条直线和互相垂直，则a等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】应用直线相互垂直的充要条件判断即可. 【详解】两条直线和互相垂直， 则，解之得. 故选：A 2．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【答案】B 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【详解】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【题型三：直线方程】 1．（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，当直线过原点时，根据斜率公式求出斜率，即可求得直线 当直线不过原点时，设出直线截距式方程，将点代入即可求解． 【详解】解：依题，当直线过原点时，直线斜率为， 则直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：， 将代入：，解得， 则直线方程为，即， 综上，直线的方程为或． 故选：C． 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据直线垂直时的斜率关系可设出直线的方程，求得直线与坐标轴的两个交点后，再由直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为6，可解得参数，即可得直线的方程. 【详解】由题意，可设直线的方程为：， 令，则；令，则， 所以， 解得：， 所以，直线的方程为：或. 故答案为：或 3．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 【答案】 【分析】先求出的中点坐标，进而求得边上的中线所在直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可求解；先求得直线的斜率进而得到边上的高所在直线的斜率，进而再根据点斜式写出方程即可求解. 【详解】由题意，的中点坐标为，即， 则边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. 直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程为：，即. 故答案为：；. 4．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）求下列直线方程； (1)经过点，斜率是1； (2)经过点，倾斜角 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点斜式求得直线的方程. （2）先求得直线的斜率，再根据点斜式求得直线的方程. 【详解】（1）依题意，直线经过点，斜率是1， 所以直线方程是，即. （2）依题意，直线的倾斜角，所以斜率为， 所以直线方程是，即. 5．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程 (1)斜率为，且经过点； (2)过点，且垂直于x轴； (3)斜率是4，在y轴上截距为； (4)经过两点； (5)在x轴y轴上的截距分别为. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用直线的点斜式，再化简为一般式，从而得解； （2）由题意可知直线斜率不存在，据此可得一般式； （3）利用直线的斜截式，再化简为一般式，从而得解； （4）利用直线的两点式，再化简为一般式，从而得解； （5）利用直线的截距式，再化简为一般式，从而得解. 【详解】（1）由点斜式，可得， 则直线的一般式方程为； （2）因直线垂直于x轴，又过点，则直线的一般式方程为：； （3）由斜截式，可得， 则直线的一般式方程为：； （4）由两点式，可得， 则直线的一般式方程为； （5）由截距式，可得， 则直线的一般式方程为：. 【题型四：直线的交点】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点后可求的取值范围. 【详解】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 【题型五：点到直线的距离】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，然后根据点到直线的距离公式列式，将选项代入验证即可. 【详解】设到直线距离为的点的坐标为， 则由点到直线的距离公式得，解得或. 选项中符合条件的点为. 故选：C 2．（多选）（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 【答案】AB 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】依题意，即,解得或. 故选：AB. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，从而得的最小值为的最小值，结合点到直线距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】设，则， 因为的最小值为点到直线的距离，即， 所以的最小值为. 故答案为： . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 / / 【分析】利用点到直线的距离公式结合辅助角公式求得，然后利用正弦函数的性质求解最值即可. 【详解】点到直线的距离 ，其中， 故当时，取得最小值；当时，取得最大值． 故答案为：； 5．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)24. 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【详解】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 【题型六：点、线间的对称问题】 1．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两对称点的中点在直线上，对称点连线与直线垂直列出方程组得解. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 3．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. 【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 【考点2：圆的方程】 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 3．求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定 系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 4.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　 5．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 6．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 [方法技巧]　　与圆有关最值问题的求解策略 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下： 常见类型 解题思路 μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题 t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 【题型七：求圆的方程】 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表示圆，则，求解的取值范围即可. 【详解】将方程，化成：， 要使方程表示一个圆， 则，即， 故选：B. 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 3．（多选）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】BD 【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【详解】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD 4．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求的面积 (2)求外接圆的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可； （2）由，外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程. 【详解】（1）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. ，， . （2）由，外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 【题型八：点与圆的位置关系】 1．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解. 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简圆的方程为，得到，求得，再由点在的外部，得出，求得或，即可求解. 【详解】由圆，可得， 则，即，解得， 又由点在的外部， 可得，即，解得或， 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型九：圆的对称性】 1. 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选A　将圆的方程化成标准形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故选A. 2. 圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为________________． 解析：圆心(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(0，－1)，所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1. 答案：x2＋(y＋1)2＝1 3. 若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2. 答案：2 4. 圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 [解析]　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)， 则解得 ∴圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(1，)， 从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4. [答案]　D 【题型十：与圆有关的轨迹】 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【详解】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 故答案为： 3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 【题型十一：与圆有关的最值】 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，结合，，求出点的轨迹方程，再结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，故， 设，则, 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）， 则当时，面积取最大值， 此时. 故答案为：3. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径. 3．（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    【考点3：直线与圆的位置关系】 1. 直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． 2. 两种研究方法 3. 判断直线与圆位置关系的方法 几何法 (1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式； (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； (3)比较d与半径的大小，然后写出结论 代数法 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量； (2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)； (3)得出结论 [方法技巧] 直线与圆位置关系问题的求解策略 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　 4．求解弦长问题的两个思路 直线被圆所截0得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用解题思路： (1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示； (2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题． [方法技巧]　　　解决圆弦长问题常用方法及结论 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 5．切线问题 ①求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． ②求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 1．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离来确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 3．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动直线截圆可得两段弧，当劣弧最短时，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知直线恒过定点，且当动直线与垂直时，劣弧最短，由此容易得解． 【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为4. 因为动直线经过定点， 定点恰好在圆内. 根据圆的性质，动直线与垂直时，动直线截圆所得的两段弧中，优弧最长，劣弧最短， 故，则. 故选：B. 【题型十三：弦长问题】 1．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 2．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【详解】依题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，因此所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 所以共有9条. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线：及圆：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离为半径求出的值即可； （2）分别用勾股定理和圆心到直线的距离建立等量关系求出的值. 【详解】（1）圆心，半径为， 由题意得：，解得或. （2）如图： 设点到直线的距离为，利用勾股定理得：， 同时利用圆心到直线的距离：，解得. 4．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可； （2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）    由可得点为线段的中点，设， 圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径， 所以， 因为，所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为， （2）设圆心到直线的距离为， 因为为的中点，且，的面积为2，， 所以，即，解得， 由弦长公式可得. 5．（浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题）已知圆过点三个点． (1)求圆的标准方程； (2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设圆的一般式方程，将点的坐标代入计算，即可求解，然后化为标准式即可； （2）将代入直线方程，可得直线过定点，即可得到当时，最小，代入计算，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 代入各点得：， 所求圆的一般方程为：标准方程为：. （2）把代入直线方程得：， 即，令，可得， 所以直线过定点． 又，所以定点在圆内， 当时，最小，此时，， 则. 【题型十四：切线问题】 1．（2024高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， ∴所求切线方程为. 综上，切线方程为或. 故选：D. 2．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 3．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出点到圆心的距离为，进而可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】点到圆心的距离为，圆的半径为， 所以，于是． 故选：A． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】把四边形面积转化为和的面积的和，而和均为直角三角形且面积相等，进而面积的最小值转化为求最小，由此求得答案. 【详解】圆M的方程可化为， 所以x轴与圆M相离. 又，且和均为直角三角形， ，为圆的半径，且， 所以面积的最小值转化为求最小， 当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值， 此时，所以四边形面积最小值为. 故选：B.    5．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 7．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为. (1)求圆M的标准方程； (2)若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解. 【详解】（1）因为圆心在轴的负半轴上，所以设圆： 又圆与轴相切，所以，即. 圆心到直线的距离为, 所以，解得，则. 故圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为， 因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有2条. ①当的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心M到的距离，解得， 此时的方程为. ②当的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆M相切. 综上，的方程为或. 8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)和 (2)点P 的坐标为，面积最小值为 【分析】（1）设过点的切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况． （2）由圆的几何性质可知，当的面积最小时，，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，进一步可求的最小面积． 【详解】（1） 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 【考点4：圆与圆的位置关系】 1. 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 [易错提醒] 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．　 2. 两圆相交的综合问题 (1)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． [方法技巧] 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．　　 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 1．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 2．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）已知圆，圆，则圆，的位置关系为（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆心之间的距离判断两圆位置关系. 【详解】圆可化为， 圆心为，半径； 圆可化为， 圆心为，半径， 则两圆心之间的距离， 所以，即两圆相内切， 故选：A. 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出两个圆的半径和圆心之间的距离，然后分外切和内切两种情况进行讨论，即可得到的值. 【详解】两圆的方程可分别化为和. 从而可求得两圆圆心之间的距离为. 如果两圆外切，则，得，即，从而. 如果两圆内切，则，得或，但，故，从而，得. 所以或. 故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 2．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（或之一也可以） 【分析】找到两圆圆心与半径，得到两圆位置关系，再由公切线垂直于两圆心连线和平行于两圆心连线结合两直线垂直斜率关系和点到直线的距离公式求解即可； 【详解】圆心，半径为；圆心，半径为； 等于半圆半径之和，所以两圆相外切， 又两点关于原点对称，所以公切线有三条， 由，所以过原点的公切线与两圆心连线垂直可得斜率为， 此时公切线方程为， 另外两条公切线平行于过两圆圆心的直线，设方程为， 由圆心到切线的距离等于半径可得 ， 此时公切线方程为或， 故答案为：（或之一也可以） 3．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 4．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 5．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】圆的弦长问题结合垂径定理转化为圆心到直线的距离问题，从而求解. 【详解】由圆与圆的两方程相减可得： 相交弦的直线方程为：， 又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长， 可得圆心到相交弦的距离为：， 则由点到直线的距离公式可得：，化简得：， 解得或. 故选：A. 6．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 8．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 直线和圆的方程全章复习 【考点1：直线与方程】 1 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 5 【题型二：两直线的位置关系】 6 【题型三：直线方程】 6 【题型四：直线的交点】 8 【题型五：点到直线的距离】 8 【题型六：点、线间的对称问题】 9 【考点2：圆的方程】 10 【题型七：求圆的方程】 12 【题型八：点与圆的位置关系】 12 【题型九：圆的对称性】 12 【题型十：与圆有关的轨迹】 13 【题型十一：与圆有关的最值】 14 【考点3：直线与圆的位置关系】 14 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 15 【题型十三：弦长问题】 16 【题型十四：切线问题】 18 【考点4：圆与圆的位置关系】 20 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 20 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 21 【考点1：直线与方程】 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式 (1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α. (2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．两条直线平行与垂直的判定 两条直 线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2 两条直 线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2 [易错提醒] 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　 4. 两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． [方法技巧] 已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 5. 直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐标系内所有直线 [易错提醒] (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　 　[方法技巧] 与直线方程有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　 6．两条直线的交点 7．三种距离 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ [方法技巧] 1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．　 [易错提醒] (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 　8．中心对称问题的两种类型及求解方法 点关于 点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解 直线关于 点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 9．轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 [方法技巧] 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 1．（浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型二：两直线的位置关系】 1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知两条直线和互相垂直，则a等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型三：直线方程】 1．（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的方程为 ． 3．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 4．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）求下列直线方程； (1)经过点，斜率是1； (2)经过点，倾斜角 5．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程 (1)斜率为，且经过点； (2)过点，且垂直于x轴； (3)斜率是4，在y轴上截距为； (4)经过两点； (5)在x轴y轴上的截距分别为. 【题型四：直线的交点】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【题型五：点到直线的距离】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则的最小值为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 5．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【题型六：点、线间的对称问题】 1．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 4．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 【考点2：圆的方程】 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 3．求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定 系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 4.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　 5．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 6．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 [方法技巧]　　与圆有关最值问题的求解策略 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下： 常见类型 解题思路 μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题 t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 【题型七：求圆的方程】 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 4．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求的面积 (2)求外接圆的方程 【题型八：点与圆的位置关系】 1．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ． 【题型九：圆的对称性】 1. 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2. 圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为________________． 3. 若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 4. 圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 【题型十：与圆有关的轨迹】 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【题型十一：与圆有关的最值】 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为 . 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 3．（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为   【考点3：直线与圆的位置关系】 1. 直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． 2. 两种研究方法 3. 判断直线与圆位置关系的方法 几何法 (1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式； (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； (3)比较d与半径的大小，然后写出结论 代数法 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量； (2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)； (3)得出结论 [方法技巧] 直线与圆位置关系问题的求解策略 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　 4．求解弦长问题的两个思路 直线被圆所截0得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用解题思路： (1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示； (2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题． [方法技巧]　　　解决圆弦长问题常用方法及结论 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 5．切线问题 ①求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． ②求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 【题型十二：判断直线与圆位置关系】 1．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 3．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动直线截圆可得两段弧，当劣弧最短时，（    ） A． B． C．2 D．4 【题型十三：弦长问题】 1．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线：及圆：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值. 4．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 5．（浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题）已知圆过点三个点． (1)求圆的标准方程； (2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 【题型十四：切线问题】 1．（2024高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D． 5．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 7．（江西省多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题）已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为. (1)求圆M的标准方程； (2)若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程. 8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【考点4：圆与圆的位置关系】 1. 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 [易错提醒] 圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．　 2. 两圆相交的综合问题 (1)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． [方法技巧] 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．　　 【题型十五：圆与圆位置关系的判断】 1．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 2．（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）已知圆，圆，则圆，的位置关系为（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【题型十六：两圆的公共弦、公切线】 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 2．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 3．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 4．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 5．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A．或 B． C． D． 6．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 8．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$