专题05 对称图形—圆 单元综合检测-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题05 对称图形—圆 单元综合检测 一、单选题 1．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 4．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 5．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．一个等边三角形的外切圆与内切圆的半径差为，则这个等边三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，点A，B在上，P为外一点，且，，连接OP，OP与相交于点C，与AB交于点D，连接，，有下列结论：①；②；③C为中点；④四边形为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为 ． 10．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 11．如图，点在上，若，则的度数为 ． 12．如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 13．如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于 ． 14．如图，是的切线，切点为，连接交于点，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 15．在中，，是的外接圆，点是上一动点（不与A、C重合），过点作的垂线，交直线于点，若，则的度数是 ． 16．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    三、解答题 17．如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 18．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 19．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 20．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 22．已知P是上一点，在上作两点A，B，使得分别满足以下条件： （说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．） (1)在图①中，； (2)在图②中，． 23．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 24．已知，在中，，以为直径的与相交于点E，在上取一点D，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径． 25．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 26．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．      (1)若，求的长． (2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：． (3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数． 27．【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 对称图形—圆 单元综合检测 一、单选题 1．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概率，垂径定理，弧、弦，圆周角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【解析】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误； ②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误； ③半圆是弧，原说法正确； ④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误； ⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ⑥同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 2．已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有 ①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 【解析】解：∵的半径为3，， ∴， ∴点在圆外， 故选B 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【解析】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 4．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【解析】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 5．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【解析】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．一个等边三角形的外切圆与内切圆的半径差为，则这个等边三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆与外切圆，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，延长交于点，连接，，根据等边三角形和内切圆的性质可得，推出，根据题意可得，可求出，，进而求出，再根据勾股定理可求出，进而求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【解析】解：如图，过点作于点，延长交于点，连接，， ， 是等边三角形，， ， ， 根据题意得：，即， ，， ，， ， 等边三角形的面积为:， 故选：A． 7．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【解析】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 8．如图，点A，B在上，P为外一点，且，，连接OP，OP与相交于点C，与AB交于点D，连接，，有下列结论：①；②；③C为中点；④四边形为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由P为外一点，且，，可得，然后依据可证明，可判断①；进而可证明，可判断②，根据，得到，可判断③，要使得四边形为菱形，即必须成立，即必须成立，即必须成立，显然，只有当时，这些前提才成立，故可判断④，由直角三角形的性质可得到，，即，可判断⑤． 【解析】证明：，， ， 在和中， ， ， ，故①一定成立； ， ， 在和中， ， ， ，即，故②一定成立； ， ，故③一定成立； 要使得四边形为菱形， ，即，即， 显然，只有当时，这些前提才成立，故④不一定成立； ，， ， O，A，B，P四点共圆，故⑤一定成立； 一定成立的有：①②③⑤， 故选：C． 【点睛】此题重点考查圆的有关概念和性质、切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、四点共圆等知识，由切线长定理证明，平分是解题的关键． 二、填空题 9．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式（L为底面圆的周长，R为圆锥的母线长度）成为解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式计算即可． 【解析】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴底面圆的周长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 10．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【解析】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 11．如图，点在上，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理可得，再根据三角形的外角求解即可． 【解析】解：连接半径并延长至，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 【答案】/ 【分析】连接，，，作于，于，，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，最后由线段和差即可求解． 【解析】如图，连接，，，作于，于， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． 连接，交于点E，则，根据垂径定理得出，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求出即可解答． 【解析】解：连接，交于点E， ∵， ∴， ∵点C是弧中点，， ∴， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴圆心O到弦的距离等于， 故答案为：． 14．如图，是的切线，切点为，连接交于点，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、扇形面积以及圆的性质，根据切线的性质可以得到，由于，算出后即可求出面积． 【解析】解：是的切线，切点为， ， ， 是的直径 ， ， 在中， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 15．在中，，是的外接圆，点是上一动点（不与A、C重合），过点作的垂线，交直线于点，若，则的度数是 ． 【答案】/25 度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可知，再由等边对等角的性质，得到，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【解析】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【解析】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【解析】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 20．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 21．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【解析】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 22．已知P是上一点，在上作两点A，B，使得分别满足以下条件： （说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．） (1)在图①中，； (2)在图②中，． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． （1）过原点，作一条直径，交圆上于，两点即可； （2）在圆上选一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 23．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【解析】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 24．已知，在中，，以为直径的与相交于点E，在上取一点D，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】此题考查切线的判定定理，三角形全等的判定及性质，勾股定理． （1）连接、，证明，证得，即可得到结论； （2）利用推出，由推出，得到，求出，再利用勾股定理求出半径． 【解析】（1）如图，连接、， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即：的半径为． 25．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． （1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，则，再证，可得结论． （3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【解析】（1）解：是直径， ， ，， ， ， 的半径为； （2）解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 26．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．      (1)若，求的长． (2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：． (3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，连接，则，，由是的直径，可得，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由切线的性质可知，，则，，，，证明是等边三角形，，则，，进而可证； （3）由（1）可知，，则，由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解；①当时，此时重合，不符合要求，舍去；②当时，由勾股定理得，，则，即，由，可得，计算求出满足要求的解为，可得，由，可得；③当时，同理②计算求解即可． 【解析】（1）解：如图1，连接，    ∵的角平分线交于点D， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）证明：由切线的性质可知，， 由（1）可知，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， ∴， 由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解； ①当时， ∵，， ∴重合，不符合要求，舍去； ②当时， 由勾股定理得，， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴； ③当时， 同理②，可得， 解得，或（舍去）， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 27．【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【解析】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； （4）解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$