特训05 图形的相似 解答题（含基础+重点+压轴，九大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

特训05 图形的相似 解答题（含基础+重点+压轴，九大题型） 目录： 题型1：成比例线段 题型2：平行线分线段成比例及其几何应用 题型3：图形的位似 题型4：相似三角形的证明 题型5：作图证明题综合 题型6：相似三角形的判定与性质 题型7：相似三角形的判定与性质的实际应用 题型8：相似三角形在特殊平行四边形的应用 题型9：相似三角形难点分析 题型1：成比例线段 1．（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）54． 【分析】（1）设，，，代入，即可求解， （2）设，，，代入，求出值，代入，即可求解， 本题考查了，比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． 【解析】解：（1）设， 则，，， 则； （2）由可设，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 2．已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 3．（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）厘米；（2）或． 【分析】（1）根据条件建立等式，求解即可； （2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为和，然后建立等式求解． 【解析】解：（1）根据黄金分割点定义，且， 可知，此时 厘米； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个． 4．若实数满足，求的值． 【答案】8或． 【分析】观察 与 发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设，通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论求解即可． 【解析】解：∵， ∴， 设， 则， ， ， 即， 所以或， 当时，则， ，同理，， 所以 ； 当时， 所以 ， 综上，值为8或． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设得到或． 题型2：平行线分线段成比例及其几何应用 5．如图，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据，得出，根据，，求出结果即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解． ∴的长为． 6．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长． 【答案】，7． 【分析】本题考查成比例线段； 先求得，再根据求得；由求得． 【解析】∵，，， ∴，的长分别为； 8．如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，，由平行线分线段成比例可得出，设，则，代入，得出x的值，即可得出 【解析】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【解析】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 10．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证； （2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证； （3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型3：图形的位似 11．如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． (1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； (2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可； （2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【解析】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍． 所以点的对应点的坐标为． 12．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 13．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； (2)做出绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到； （3）利用网格求三角形面积即可． 【解析】（1）解：如图，为所求． （2）如图，为所求． （3）的面积为：． 题型4：相似三角形的证明 14．如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【解析】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 15．如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【解析】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 16．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【解析】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 17．如图，四边形中，，交于F，交于E，，交于G，连接，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行线分线段成比例，得到，再根据，即可得证． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质判定，过点作的垂线交于点，即可求解． 【解析】解：如图所示，点即为所求． ∵，． ∴ ∴． 19．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点E，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定： （1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答； （2）作出，的中点，即可． 【解析】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点，点即为所求． 题型5：作图证明题综合 20．如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）根据三角形相似的判定解答即可． 【解析】（1）根据基本步骤作图如下： 则即为所求． （2）∵ 的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型6：相似三角形的判定与性质 21．如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）由平行线的性质得到，再由相似三角形的判定定理证明即可； （2）先得到，再证明，据此根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．如图，已知在四边形中，．为边延长线上一点，连接交边于点，连接交于点，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，根据可证，可得，结合，可得，可证，可得，根据内错角相等，两直线平行即可求证． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证： 【答案】见解析 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，先根据正方形的性质得到， ，进而得到，，利用对应边成比例解题即可． 证明：∵ 四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ． ∴ ① ∵ ， ∴ ， ∴ ∵， ∴ ② ①+②得， ∴ 题型7：相似三角形的判定与性质的实际应用 24．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【解析】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 25．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为14米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解． 【解析】解：，， ， ， 即， 解得， ，，， ， 四边形是矩形， ， （米）． 答：旗杆的高度为14米． 题型8：相似三角形在特殊平行四边形的应用 26．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 27．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得是菱形，再由菱形的性质得，可得，再由，可得，从而得出， 然后证即可； （2）由勾股定理得，由，得，即可得出结论． 【解析】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是菱形， ，， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为． 28．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 29．如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，交于，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的证明，三角形全等和相似的应用，解题关键是先推导出． （1）由平行线证明三角形全等所缺少的条件，再根据三角形全等的判定方法证明三角形全等即可证明结论； （2）先证四边形是平行四边形，再证明邻边相等，便可得出结论； （3）证明，得出与的比例关系，进而由直角三角形的性质求得，便可得． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵是边上的中线 ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （3）∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．如图，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型9：相似三角形难点分析 31．如图1，直线交坐标轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，的面积． (1)直接写出点C的坐标________； (2)求直线的解析式； (3)如图2，点D，E分别是边，上的动点，将沿折叠，使得点A落在边上的F处，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出A、B的坐标，然后利用三角形面积公式求出，即可求出点C的坐标； （2）设直线的解析式为，然后把B、C坐标代入求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【解析】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴，， 设， 由折叠知：， 根据题意，得， 则当与相似时，有两种情况： ①， ∴，即， 解得， ∴； ② ∴，即， 解得， ∴， 综上，E的坐标为或． 32．（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）证明，可得到； （2）连接，证明，可得到； （3）作，设，那么，那么，因为，，，那么，最后利用配方法求得的最值． 【解析】解：（1）和均为等腰直角三角形， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示 四边形是正方形 ， 为等腰直角三角形， ， （3）作交于，不妨设，如图所示： 由（2）可知， 那么为等腰直角三角形 那么 ，， 时，最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 33．如图1，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长与的延长线相交于点，若， ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）①根据正方形的性质，证明，得， 即，由（1）证得，即可得到； ②设，，则，根据，列出方程，解得，进而解决问题． 【解析】（1）证明：如图1，由旋转的性质，得，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①由旋转的性质可得，， 是等腰直角三角形， ， ， 在正方形中，， ，， ， ， ， 即， 由（1）证得， 又， ， ， ②设，，则， ， 整理得， ， 解得（负值舍去）， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．综合性较强，属于中考压轴题． 34．如图①，在中，，厘米，动点从点出发以每秒厘米的速度沿向点运动，过点作的垂线交折线于点，过点作的平行线交于点（点在上时，点与点重合），以，为邻边作平行四边形，点D运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，点E在上； (3)如图②，当直线将平行四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）分和两种情况，结合等腰直角三角形的性质，进行求解即可； （2）点在上时，易得为等腰直角三角形，分别求出的长，根据，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，画出图形，进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵点运动到时，， ∴当时， ∵，，， ∴； 当时，如图， 同法可得：； 综上：或； （2）解： 当点在上时，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图：设交于点， ∵， ∴，的面积等于， ∵直线将平行四边形的面积分为的两部分， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：； 当时，如图： 同法可得：， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即： ， 解得：或（舍去）； 综上：或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用．涉及等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，难度大，综合性强，解题的关键是根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 35．在菱形中，，，分别是线段上的动点．将菱形沿翻折，点分别落在处，且线段过点B，线段与交于点O． (1)如图1，当时，求证：； (2)当时，求长； (3)当最小时，连接与交于点M，求长． (4)连接与交于点M，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据菱形性质可得，，由三角形内角和得，继而得到，继而得到本题答案； （2）设，根据菱形性质及角的转化证明，继而利用相似比得到本题答案； （3）过点作的对称点，由题意得点在上，连接，当时，最小，即最小，则，，则，由得：，解得：，故，显然为等边三角形，则，由对称得，，可求证，故； （4）当最大，即最小，同上可知时，最小，同上可求，则． 【解析】（1）解：∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形沿翻折，点分别落在处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴，解得：， ∴； （3）解：过点作的对称点，由题意得点在上，连接， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∴由得：， 解得：， ∴ ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 由对称得，， ∴， ∴ ∴， ∴； （4）解: 过点作的对称点，由题意得点在上，连接， 当最大，即最小，同上可知时，最小， 同上可求， ∴． 【点睛】本题考查菱形性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，等边三角形判定及性质等知识点，熟练掌握各个知识点，添加恰当的辅助线是解决本题的关键． 36．在一次课上，王老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将边沿翻折得到； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：___②___， 解得：，即是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕与折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是______； ②处所列方程是______； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值； ②在边长为6的正方形中，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①，② （2）点是边的三等分点，证明见解析 （3）①；②3或12 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和勾股定理即可得到答案． （2）证明，得，再根据平行线的性质即可求解． （3）①设，则，，，由折叠性质，得．证明四边形是矩形，得，．证明，即可求解． ②分两种情况，当点H在线段上时，当点H在的延长线上时，连接，即可求解． 【解析】解：（1）连接，正方形沿折叠， ，， 又， （） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：， 解得：，即是边的三等分点． 故答案为：；． （2）点是边的三等分点，证明如下： 分别是的中点， 是正方形， ，，， ，， ， ， ，， ， ，即， 点是边的三等分点． （3）①根据折叠可知． 点为边的三等分点， ． 设， 则，，． ． ，． ， ． 四边形是矩形， ，． 由勾股定理，得， 设，则． ，， ， ， ， ， ， 解得，经检验，符合题意， ． 故的值为． ②当点在线段上时，如图所示， 则， 同【探究操作】设，则, ∴在中，由勾股定理得， 解得 ， 当点在的延长线上时，连接，如图所示． 正方形的边长为6， ，． 由折叠的性质得， 又， ， ． 设． ，． 在，由勾股定理，可知， ，解得． 综上所述，的长为3或12． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，正方形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 图形的相似 解答题（含基础+重点+压轴，九大题型） 目录： 题型1：成比例线段 题型2：平行线分线段成比例及其几何应用 题型3：图形的位似 题型4：相似三角形的证明 题型5：作图证明题综合 题型6：相似三角形的判定与性质 题型7：相似三角形的判定与性质的实际应用 题型8：相似三角形在特殊平行四边形的应用 题型9：相似三角形难点分析 题型1：成比例线段 1．（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 2．已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 3．（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 4．若实数满足，求的值． 题型2：平行线分线段成比例及其几何应用 5．如图，，，，求的长． 6．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 7．如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长． 8．如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 9．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 10．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 题型3：图形的位似 11．如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． (1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； (2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 12．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 13．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； (2)做出绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求的面积． 题型4：相似三角形的证明 14．如图，是的边上的一点，，，，求证：． 15．如图，已知，求证：． 16．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 17．如图，四边形中，，交于F，交于E，，交于G，连接，求证：． 题型5：作图证明题综合 18．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点E，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 20．如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 题型6：相似三角形的判定与性质 21．如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．如图，已知在四边形中，．为边延长线上一点，连接交边于点，连接交于点，且． 求证：． 23．如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证： 题型7：相似三角形的判定与性质的实际应用 24．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 25．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 题型8：相似三角形在特殊平行四边形的应用 26．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 27．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 29．如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，交于，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，，求线段的长． 30．如图，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型9：相似三角形难点分析 31．如图1，直线交坐标轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，的面积． (1)直接写出点C的坐标________； (2)求直线的解析式； (3)如图2，点D，E分别是边，上的动点，将沿折叠，使得点A落在边上的F处，当与相似时，求点E的坐标． 32．（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 33．如图1，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长与的延长线相交于点，若， ①求证：； ②直接写出的值． 34．如图①，在中，，厘米，动点从点出发以每秒厘米的速度沿向点运动，过点作的垂线交折线于点，过点作的平行线交于点（点在上时，点与点重合），以，为邻边作平行四边形，点D运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，点E在上； (3)如图②，当直线将平行四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 35．在菱形中，，，分别是线段上的动点．将菱形沿翻折，点分别落在处，且线段过点B，线段与交于点O． (1)如图1，当时，求证：； (2)当时，求长； (3)当最小时，连接与交于点M，求长． (4)连接与交于点M，求的最大值． 36．在一次课上，王老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将边沿翻折得到； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：___②___， 解得：，即是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕与折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是______； ②处所列方程是______； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值； ②在边长为6的正方形中，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$