第5章 导数及其应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第5章 导数及其应用（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】曲线在处的切线斜率为，利用已知计算即可. 【详解】由题可得， 曲线在处的切线斜率为， 令，则原式． 故选：B. 2．（23-24高二下·山东淄博·期中）函数图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由导数的几何意义得出斜率，进而由点斜式得出方程. 【详解】由题意可得，则， 则所求切线方程为，即. 故选:：C 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）Taylor定理是微分学的重要定理，是英国著名数学家布鲁克・泰勒于1712年在一封信中首次提出，其核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近似表达函数，设函数的导函数为的导函数为，则函数可用Taylor定理近似表达为，若函数可用Taylor定理近似表达为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】运用复合函数求导规则计算，后代值计算即可. 【详解】易得，由题知，故， 所以，故． 故选：D. 5．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）设函数，若在上单调递增，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】两段函数分别递增列不等式，再取1处的函数值不大于右支函数值，列不等式组求解. 【详解】开口向下，单调递增得出,, 当时，单调递减，不合题意舍， 当，时单调递增,则, 单调递增, ,所以, 所以 , 所以的最小值为2. 故选：B. 6．（2024·吉林·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而判断的符号性，即可得的符号性. 【详解】令，则的定义域为，且， 因为，即，注意到，可得， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，即； 当时，，即； 所以不等式的解集为. 故选：B. 7．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】将问题转化为导函数在区间上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可. 【详解】由题意知，问题等价于在区间上有解， 即有解，而， 由二次函数的性质知，即. 故选：C. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】求得函数的定义域为，分，和，三种情况讨论，利用导数求得函数的单调性与最值，进而得到实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， ①当时，，显然不成立； ②当时，， 由于，则，令，则， 令，则，所以，所以； ③当时，当时，，由，可得， 令，则， 令，则，当，即时，，所以； 当，即时，， 所以，解得，与矛盾； 当时，，可得， 所以单调递减，所以， 所以，即，所以． 综合①②③可知，的取值范围是． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】ABC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据导数的几何意义可判断AC；根据极小值点的定义可判断BD. 【详解】由图象知，当时， 所以函数在上单调递增，故A正确； 当时， 所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当时，当时， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点， 是的极大值点，故B正确，D错误. 故选：ABC 10．（23-24高二下·四川成都·期中）当时，函数取得极大值，则有（   ） A．= B．= C． D．= 【答案】ABC 【知识点】根据极值求参数 【分析】由题意可得，，进而求导可求得，判断AB；进而可得，判断C；求得，判断D. 【详解】对于AB：因为函数定义域为，所以依题可知，，，而， 所以，，即，，故A、B正确； 对于C：， 当，，当，， 所以函数在上递增，在上递减， 时取最大值，满足题意， 所以.故C正确； 对于D：又，，故D错误. 故选：ABC. 11．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数的单调区间求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得. 【详解】对A：，由是上的增函数， 则有恒成立，即，解得，故A正确； 对B：由，则当时，， 故有两个不等实根，设这两个根分别为且， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故函数有两个极值，故B正确； 对C：令， 对，有，若，则， 此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误； 对D：当时，，则， ，由，则在点处的切线为， 令，即有，解得或， 故在点处的切线与有两个公共点，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由函数与导函数分别赋值，可得的方程，求解进而可得切点与斜率，再由点斜式方程可得所求. 【详解】由，得， ， 则，解得，所以， 则函数的图象在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 【答案】0 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】根据转化的思想可知方程有1个实数根，利用导数求出，结合当时，，当时，即可求解. 【详解】有1个零点，则方程有1个实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，又当时，；当时，， 所以要与的图象有一个交点，则，解得． 故答案为：0 14．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若实数λ∈R，不等式>ln x在（1，+∞）上恒成立，则λ的取值范围是 . 【答案】. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】原不等式可变形为，令，进而利用单调性可得，可得，构造函数求得的最大值即可. 【详解】原不等式等价于， 设，则， 又，所以在上单调递增， 则，即， 令，所以， 当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，令，进而可判断函数的单增区间与单减区间，进而可求极值； （2）利用导数，分或两种情况讨论，可求的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 令，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，； （2）由，可得， 因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立， 当时，由，可得， 当，由，可得，所以， 又在上单调递减，所以，所以， 所以的取值范围为. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，无单调减区间 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数符合判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若方程有三个不等实根，求实数的取值范围； (2)若，且对，总有，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2); 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用一元二次函数与对数函数的性质分析的图像，再将问题转化为的图像与的图像有三个交点，从而结合图像得解； （2）先将问题转化为的值域是的值域的子集，再分别求得与的值域，从而可得解. 【详解】（1）因为， 所以当时，开口向上，对称轴为， 则，， 当时，在上单调递增，且的图像由的图像向下平移两个单位而得， 又因为方程有三个不等实根，所以的图像与的图像有三个交点， 作出与的图像如下：    所以，即. （2）因为在上单调递增， 所以当时，， 因为，则， 若时，当时，，在上为递减函数； 当时，，在上为递增函数； 因为对，总有，使得， 所以，故，故，即； 若，恒成立，不符合题意， 若时，当时，，在上为递增函数； 当时，，在上为递减函数； 因为对，总有，使得， 所以，故，故，故； 综上所述：，所以实数的取值范围为． 18．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． (1)下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明； ①      ②     ③      ④ (2)动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值； (3)直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围． 【答案】(1)③，④；证明见解析 (2) (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据条件知③和④符合题意，对于③，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可证明；对于④，利用辅助角公式和的性质，即可证明； （2）根据条件得到恒成立，构造函数，利用导数，求得，从而直线，再利用导数的几何意义，即可求解； （3）根据条件，分在上恒成立和在上恒成立两种情况讨论，再构造函数，转化成求函数最值，即可求解. 【详解】（1）由题知③和④在定义域上存在支撑线， 选择③，证明：令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，即，所以是一条支撑线， 选择④，证明：因为，所以是一条支撑线． （2）直线是在定义域上的支撑线， 若，则时，；时，不合题意， 所以，又直线是在定义域上的支撑线， 所以恒成立， 令，所以，令，得到， 时，；时，， 在上递增，在上递减 的最大值为 令，则， 所以在上递减，在上递增，得到 又，所以． 设，又，在处的切线斜率为， 所以当在处的切线斜率为，即时， 点到直线的距离取得最小值，又切点为，所以最小值为． （3）直线是函数在上的支撑线， ①若在上恒成立， ，得到在上恒成立， 记，所以， 当时，，在上单调递减，，符合题意， 当时，由（1）知，符合题意， 当时，易知，在上单调递减，，符合题意， 当时，，由，得到，由，得到， 所以在上单调递增，上单调递减，所以，不符合题意． ②若在上恒成立， ，使得不符合题意， 综上，符合题意． 【点睛】方法点晴：（1）数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.（2）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个:其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明. 19．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. (1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； (2)已知函数是“旋转函数”，求的值； (3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)1 (3) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）根据新定义转化为函数的图象与至多有1个交点，分类讨论，结合对勾函数的性质即可求解. （3）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【详解】（1）函数不是“旋转函数”，理由如下： 逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数不是“旋转函数”. （2）由题意可得与至多有一个交点，即， 即函数与函数最多有1个交点， 当时，函数，由反比例函数可知，与函数最多有1个交点，符合题意； 当时，函数为对勾函数，与函数至多有2个交点，不合题意； 当时，函数在和上单调，与函数有2个交点，不合题意； 综上，. （3）由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当时， 所以， 令，则， 因为在上单调减，且， 所以存在，使， 即， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化：函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数； 另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 导数及其应用（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·山东淄博·期中）函数图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）Taylor定理是微分学的重要定理，是英国著名数学家布鲁克・泰勒于1712年在一封信中首次提出，其核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近似表达函数，设函数的导函数为的导函数为，则函数可用Taylor定理近似表达为，若函数可用Taylor定理近似表达为，则（    ） A．B． C． D． 5．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）设函数，若在上单调递增，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2024·吉林·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 10．（23-24高二下·四川成都·期中）当时，函数取得极大值，则有（   ） A．= B．= C． D．= 11．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 14．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若实数λ∈R，不等式>ln x在（1，+∞）上恒成立，则λ的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若方程有三个不等实根，求实数的取值范围； (2)若，且对，总有，使得，求实数的取值范围． 18．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． (1)下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明； ①      ②     ③      ④ (2)动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值； (3)直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围． 19．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. (1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； (2)已知函数是“旋转函数”，求的值； (3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$