第5章 导数及其应用（单元复习 8类压轴题专练）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第5章 导数及其应用（压轴题专练） 压轴一 切线问题（含公切线） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，且曲线上点处的切线满足，则的方程为 ． 2．（2024·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 . 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ． 压轴二利用导数求解不等式恒成立问题 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，判断函数在上零点的个数； (3)已知在上恒成立，求实数λ的取值范围． 2．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求m的值； (2)当时，求证：有且仅有两个零点； (3)若时，恒有，求m的取值范围． 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数･ (1)若，讨论的单调性； (2)若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 压轴三利用导数求解不等式能成立问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)求的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论：当时，的极值点的个数； (2)当时，，使得，求实数a的取值范围． 3．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)令是函数图像上任意两点，且满足，求实数a的取值范围； (3)若，使成立，求实数a的最大值． 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在实数使成立，求的取值范围. 压轴四 利用导数研究函数的零点（方程的根） 1．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数． (1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围； (2)证明：当时，有且仅有两个零点． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数且． (1)若，求在处的切线方程； (2)在①；②两个条件中任选一个，证明：恰有三个零点． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求零点的个数． 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形； (3)讨论函数零点的个数. 压轴五 根据零点（方程的根）个数求参数 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 2．（2024·海南·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若有两个零点，求的取值范围． 4．（23-24高二下·广东茂名·期中）已知函数． (1)求的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 压轴六 利用导函数研究双变量问题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 2．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 4．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求实数的取值范围． 压轴七 极值点偏移问题 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)证明：； (2)若，且，证明：． 2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设，. (1)当时，求的极值； (2)若有恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，求证：. 压轴八 隐零点的应用 1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数在上的单调性． 3．（2024·四川成都·三模）已知函数 . (1)当 时，求 的单调区间; (2)若 有两个零点，求 的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 导数及其应用（压轴题专练） 压轴一 切线问题（含公切线） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，且曲线上点处的切线满足，则的方程为 ． 【答案】或 【知识点】基本初等函数的导数公式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，求出，求出，求出，令，求出的单调区间，求出方程的解，分情况求出切线的方程. 【详解】设，则， 由得， 由题可得， 即， 令，则， 令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以，所以有且只有一个零点0， 故方程的解为或， 当时，，切线的方程为，当时，， 切线的方程为，与直线垂直，均符合题意． 故答案为：或. 2．（2024·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、反函数的性质应用、简单复合函数的导数、求点到直线的距离 【分析】根据“镜像距离”的定义将问题转化为求函数上的点到曲线上的点的距离的最小值，再利用对称性求得与上的点的最小值，即可得出答案. 【详解】设，， 易知函数的反函数为， 由点在曲线上可知点在函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍. 由，得，令，解得， 又点到直线的距离， 所以的“镜像距离”的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“镜像距离”的定义转化为一对反函数上的两点最小距离的问题，再利用反函数对称性求得与对称轴平行的切线方程，即可得出“镜像距离”的最小值. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设公切线经过两个曲线各自的切点依次为、，由此列出方程组得出，，只需构建函数得出的范围即可进一步求解. 【详解】设，则，， 设曲线与曲线的公共切线经过曲线上面一点， 则公切线方程为， 设公切线经过曲线上面一点， 则，即， 解得（舍去，因为，所以）或， 所以，因为，所以， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，当趋于1时，趋于0， 当趋于负无穷时，也趋于负无穷，当趋于正无穷时，趋于0， 所以的值域为， 而有解， 这意味着的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过分离参数得到方程，有解，从而即可顺利得解. 4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】设与曲线相切于点，写出切线方程，将切点代入两个方程，求出，再设与曲线相切于点，对函数求导，利用切线斜率求出切点，再将其代入，即可求得值. 【详解】设直线与曲线相切于点，由，得， 因为与曲线相切，所以消去，解得. 设与曲线相切于点，由，得， 即，， 因在曲线上，故， 即，解得. 故答案为： 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可. 【详解】设曲线与的切点分别为，， ∵，，∴，， ∴，， ∴，，即， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，即，即，即． 故答案为：. 压轴二利用导数求解不等式恒成立问题 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，判断函数在上零点的个数； (3)已知在上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2)有且仅有一个零点 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得斜率，即可得直线方程， （2）求导，根据在上单调递增．结合零点存在性定理可得上有且仅有一个零点；进而根据上无零点即可求证， （3）构造函数，求导，对进行分类讨论，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1），则，， 故切线方程为 （2）当时，，则， 当时，，所以，即在上单调递增． 又，所以在上有且仅有一个零点； 当时，所以在上无零点． 综上，在上有且仅有一个零点． （3）由，即， 整理得， 令，则， 当时，对任意有，又， 所以，此时在上单调递增，故，符合题意． 当时，令，则， 所以，在上恒成立，即在上单调递增． 又． 当，即时，在上有， 此时在上单调递增，，符合题意． 当，即时，若，即， 由零点存在定理，存在使，故上． 所以在上递减，此时，不合题意． 若，即，此时对恒有且不恒为0． 即在上单调递减，所以，不合题意． 综上，λ的取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求m的值； (2)当时，求证：有且仅有两个零点； (3)若时，恒有，求m的取值范围． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【知识点】零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知求出m的值. （2）当时，按分段计算的取值情况，结合零点存在性定理求出的单调区间即可推理得证. （3）分段讨论可得恒成立，再按讨论求解. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，解得，经验证符合题意， 所以m的值为0. （2）当时，，， 当时，， 当时，， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递增， 而，，因此存在唯一，使得， 当时，，当时，，则在上递减，在上递增， 于是，而， 则函数在上有唯一零点，而，则0是在上的唯一零点， 所以函数有且仅有两个零点. （3）由（2）知，函数在上单调递增，此时， 当时，， 则当时，恒成立，当，即时，恒成立， 函数在上单调递增，恒有成立，则； 当时，，， 又函数在上的图象连续不断， 则必存在，使得，且时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以m的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)在区间上单调递增；在区间上单调递减. 极大值：. (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）代入得到函数解析式，通过求导得出单调区间，由定义得出极值. （2）当时，对进行参数放缩可证得恒成立，当时，可以找到区间，在此区间内证得为增函数，故得矛盾. 【详解】（1）当时，， 则，令， 则，∵，∴ 即时，，单调递增； 时，，单调递减； 存在极大值，极大值为：. （2）， ， 令，    ， 当时,时,， 所以在为减函数,在为增函数， ， ①当时，， ， ∴在为减函数,成立； ②当时，令， 则，显然在为减函数， 又， 所以存在使得， 当时，为增函数， 所以，所以为增函数， 所以,与矛盾. 综上：. 4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数･ (1)若，讨论的单调性； (2)若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）先求导，然后再利用导函数的正负情况，分类讨论即可； （2）先将函数代入不等式，然后参变分离，转化为函数最值问题，最后利用导数求最值即可. 【详解】（1），则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由，得，即， 令，则，即不等式在恒成立， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即实数的取值范围为. 【点睛】此题主要考察了分类讨论函数单调性以及导数的恒成立问题，都是比较常规；分类讨论主要是讨论导函数的正负情况；对于恒成立问题，主要考虑两个方法，参变分离或整体构造，一般首选参变分离. 压轴三利用导数求解不等式能成立问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)求的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）对任意，均存在，使得，即可转化为，分别求最大值即可得不等式，解不等式. 【详解】（1）由， 得， 又， 所以令，解得，， 当时，， 即时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，恒成立，在上单调递增； 当时，， 即时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增； 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由已知对任意，均存在，使得， 即可转化为， 又，， 当时取最大值为， 由（1）得， 当时，在上单调递增， 即当时，取最大值为， 所以，解得，即； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值为， 设，，则， 故在上为减函数， 所以， 即，成立， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论：当时，的极值点的个数； (2)当时，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）对函数求导，分别讨论当和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数； （2）对求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式成立，进而构造函数，求导确定其单调性，即可求解. 【详解】（1），，     ①当时，为增函数， 因为时，；时，， 所以有唯一的零点，当时，，当时，， 所以有一个极小值点，无极大值点．     ②当时，令，则，     令，得，     当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以的极值点的个数为0． 综上所述，当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． （2）， 由，得，由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，     因为当时，，使得， 所以只需成立，即不等式成立．     令，则， 则， 则在上恒成立， 故在上单调递增，     又，所以， 故实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求出，从而转化为求出不等式成立． 3．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)令是函数图像上任意两点，且满足，求实数a的取值范围； (3)若，使成立，求实数a的最大值． 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2) (3)1 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）利用导数求出单调性即可得； （2）设，由，可得恒成立，构造函数，可知在上单调递增，由其导函数在上大于等于0恒成立求得实数的取值范围； （3）把变形，分离参数，然后构造函数，利用导数求其最大值即可得． 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）， 不妨设，则， 由，可得，变形得恒成立， 令，则在上单调递增， 故在上恒成立， 在上恒成立． ，当且仅当时等号成立， ； （3），． ，， ，使得成立， 令，则， 令，令，可得或（舍． 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，则，即， 实数的最大值为1． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助参变分离，从而构造函数，借助该函数的最值得解. 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在实数使成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可； （2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可. 【详解】（1）， 所以， 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）， 则， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 所以，所以在上单调递减， 所以，不符合题意； 当时，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增. 当时，，所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以， 若，即，则在[0，1]上单调递减， 所以，不符合题意； 若，即，则存在，使， 所以在单调递减，在单调递增， 若存在使成立，则， 解得，所以. 综上：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 压轴四 利用导数研究函数的零点（方程的根） 1．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数． (1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围； (2)证明：当时，有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由“凸函数”定义可得在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得； （2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可. 【详解】（1）由，则. 由题意可知，为上的“凸函数”， 则在区间上单调递减，设， 则，所以在恒成立， 则在恒成立， 又当时，函数取最小值，且最小值为， 所以有，解得， 即a的取值范围为. （2）当时，由得 . 令，其中， 则，其中. ①当时，则，， 所以，则在单调递增， 则恒成立，即在无零点； ②当时，令，其中， 由在单调递增， 又， 故存在，使得， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 由， 故存在，使，即， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故当时，，即在无零点； ③当时，由，则， 故故在单调递增， ，且， 故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点； ④当时，， 故在无零点； 综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内. 由，即将图象向左移1个单位可得的图象. 故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内. 故有且仅有两个零点，命题得证. 【点睛】关键点点睛：该题目属三角函数与导函数综合题型，解决本题目的关键在于利用导函数与三角函数的有界性分区间讨论函数值的符号变化.当时，，单调递增，而，无零点；当时，通过二次求导与零点存在性定理可得先减后增，而，也无零点；当时，，单调递增，而，有且仅一个零点；当，由三角函数有界性，恒有故无零点. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数且． (1)若，求在处的切线方程； (2)在①；②两个条件中任选一个，证明：恰有三个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求导函数再求斜率最后点斜式得出切线方程； （2）先根据的零点即是等于的零点个数，求出导函数得出函数值范围，应用零点存在定理即可证明函数有3个零点. 【详解】（1）当时，，所以． 故在处的切线方程为． （2），因为， 所以的零点个数等于的零点个数，其中． 若选择条件①：， 令，得． 因为，所以， 因此在上单调递减，在区间内单调递增，在上单调递减． 设 单调递增，单调递减， , 所以时，，当时，， 所以，所以． 所以， 取，则； 又，所以， 即，故；又， 所以在区间内各恰有唯一的零点， 故恰有三个零点，从而恰有三个零点． 若选择条件②：， 令，得． 因为，所以， 因此在上单调递增，在区间内单调递减，在上单调递增． 同选择条件①，取，则， 取； 又因为， 所以， 即，又． 所以在区间内各恰有唯一的零点， 故恰有三个零点，从而恰有三个零点． 【点睛】方法点睛：先根据的零点即是等于的零点个数，求出导函数得出函数的单调性得出函数值范围，应用零点存在定理即可证明函数有3个零点. 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求零点的个数． 【答案】(1) (2)2 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数判断出函数的单调性，再构造函数利用导数判断的符号，根据零点存在性定理得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以切线方程为，即. （2），当，，， 所以，即在单调递减， 令，， 当时，，在单调递减，即在单调递减； 又因为，当时，即在单调递增， 因此在单调递增，在单调递减． 当时，，；，因为在单调递增， 所以根据零点存在定理，在有唯一零点； 令，， 当时，，单调递增，且， 当时，，单调递减； 所以，即， 所以， 所以， 又因为在单调递减，根据零点存在定理在有唯一零点． 综上，在有2个零点． 【点睛】关键点点睛：利用导数确定函数的单调性后，需要根据零点存在性定理确定零点个数，本题关键需要分析时，的极限，以及的符号，其中的符号需要构造函数，利用导数判断函数的单调性及最值确定，技巧性较强. 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形； (3)讨论函数零点的个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由函数对称性求函数值或参数、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）把代入并求导，求出切线斜率和切点坐标利用点斜式写出直线方程即可； （2）首先利用在上，求出的值，再证明即可； （3）求导利用导函数判断单调性，再结合零点存在性定理判断零点的个数. 【详解】（1）当时，，， 则，， 故在处的切线方程为，即. （2）由， 若存在这样的，使得为的对称中心， 则， 现在只需证明当时，， 事实上，， 于是 即存在实数使得即是的对称中心. （3）， 当时，时，，故在上单调递增， 时，，在单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，而，根据零点存在定理在上有一个零点； ①若，即， 在无零点，从而在上有1个零点； ②若，即，，在有一个零点， ，故在有一个零点， 从而在上有3个零点； ③若，即，在有一个零点，从而在上有2个零点； 当时，在上单调递增，， 时，， 从而在上有一个零点； 当时，时，故在上单调递增，时，，在上单调递减. 而，，故在无零点， 又，由， 故，，从而在有一个零点， 从而在上有一个零点. 综上：当时，在上只有1个零点； 时，在上有2个零点； 时在上有3个零点. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且， 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 压轴五 根据零点（方程的根）个数求参数 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求得答案； （2）将函数和函数的图象没有公共点，转化为无实数根，即当时，无实数根问题，从而令，利用导数结合分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由得， 则， 故函数在处的切线方程为，即； （2）因为函数和函数的图象没有公共点， 故，即无实数根， 即当时，无实数根， 令，由于，故为偶函数， 所以在上无实根， 又，记， 则， ①当时，，，则， 故，满足在上无实根； ②当时，在上有实根，不符合题意； ③当时，，则在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则，满足在上无实根； ④当时，因为在上单调递增， 且， 则存在唯一的使得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，，故在上单调递减，故， 又，且在上连续， 故在上有实数根，不符合题意， 综合可知，实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点是第二问，解决两函数图象无交点问题，要转化为无实数根，即当时，无实数根问题，从而构造函数，利用导数结合分类讨论的方法解决问题. 2．（2024·海南·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】（1）利用导数求得的极值. （2）由分离，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）时，， 令解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）由分离得， 令， 令， 所以在上单调递减，， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减，， 当时，，由此画出的大致图象如下图所示， 要使曲线与曲线有唯一的交点， 则的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求解函数极值的步骤： （1）确定的定义域； （2）计算导数； （3）求出的根； （4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间，进而求得的极值. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，当时在定义域上单调递增，不符合题意，当时得到函数的单调区间，再结合零点存在性定理说明零点的个数，即可得解. 【详解】（1）当时，，设直线的方程为， 曲线与直线相切于点， 因为，所以①， 又点既在曲线上，又在直线上， 所以②，由①②得，所以， 所以，故的方程为． （2）的定义域为， 当时，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当时，令得， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 要使得有两个零点，则， 即，当时，，所以在区间有一个零点， 设函数，则， 令，则， 所以在区间内单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以在区间上单调递增，， 故，所以在区间内有一个零点， 故有两个零点， 综上所述，的取值范围是． 4．（23-24高二下·广东茂名·期中）已知函数． (1)求的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，讨论当时，当时，的正负，求得的单调性； （2）讨论当时，当时，最多只有一个零点，不合题意；当时，分别讨论得在有一个零点，在有一个零点，可得的取值范围即为. 【详解】（1）由 得 当时，，， 在R单调递减； 当时，由得，由得 所以，当时，在区间单调递减，在区间单调递增. （2）由（1）知，当时，最多有一个零点； 当时，在时取得最小值 即 所以，当时，，故最多只有一个零点； 当时，， 因为 所以在有一个零点． 令，则， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增．又 所以，．故当时，有． 因为时，所以，故 可知在有一个零点． 综上可知，若有两个零点，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数，求参数的取值范围的方法： 直接法，利用零点存在定理构建不等式求解； 数形结合法，将函数的解析式或者方程进行适当变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 分离参数法，分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解. 压轴六 利用导函数研究双变量问题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3) 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究双变量问题、函数奇偶性的定义与判断、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可判断； （2）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，再利用函数的图象，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （3）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，，满足为偶函数； 当时，，且为非奇非偶函数. （2）函数在处有极值， 可得，解得， 所以 当时，递减；当或时，递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 的方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （3）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第3问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 2．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由题意得恒成立，参变分类求最值即可； （2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证； （3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （2）证明：若，，所以， 令，解得，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 令，，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以. （3）证明：由题意可知， 因为有两个极值点，， 所以，是方程的两个不同的根， 则且 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）（i）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；（ii）结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）当时，，， ，则， 则的图象在处的切线方程为，即； （2）（i）， 令，由恰有两个极值点，， 则有两个不同实数根，，且， 则有，即； （ii）由（i）知，，且，， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助零点的存在性定理得到存在，使，从而可得. 4．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数，，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到单调性； （2）当时，可知恒成立，知不合题意；当时，取，，通过放缩可得，符合题意；当时，将不等式转化为，根据单调性可分别求得和，由此可构造不等式求得结果；综合三种情况可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，；，； 恒成立，不合题意； 当时，取，， 则，符合题意； 当时，若，，使得，则； 由（1）知：； ，，在上单调递增， ， ，即，，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 压轴七 极值点偏移问题 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)证明：； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）对函数变形整理，构造函数，对其进行二次求导，从而可求出的单调性，进而可求出函数的最大值，即可证明结论成立. （2）对函数进行二次求导，从而可判断函数单调性，要证，只需证，结合在上单调递减知只需证，即证，进而构造函数判断其单调性即可证明. 【详解】（1）由题意，，设 ，则 ，当时，，单调递增；当时，， 单调递减，从而，故恒成立， ，故． （2）由题意，，，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减，故， 在上单调递减，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，∴， 要证，只需证，结合在上单调递减知只需证， 又，，故只需证，即证①， 令，， 则， ，在上单调递增， 又，，从而在上单调递减，，， ，，即不等式①成立，故． 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题. 2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】简单复合函数的导数、利用导数证明不等式、根据极值点求参数、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求出函数的导数，分析极值点情况即可得解. （2）由（1）的信息可设，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 当时，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，2是函数的极大值点，且是唯一极值点， 所以的取值范围是. （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由，，不妨令， 要证，只证，即证，就证， 令，求导得 ，于是函数在上单调递减，， 而，则，即，又， 因此，显然，又函数在上单调递增，则有， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设，. (1)当时，求的极值； (2)若有恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，求证：. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导得到的单调性，然后根据单调性求极值即可； （2）将恒成立转化为，然后分和两种情况讨论最大值即可求解； （3）将证明转化为证明，然后构造函数，求导得到，即可得证. 【详解】（1）的定义域为 由题：，， 令，解得或，令，解得， ∴在，上单调递增，上单调递减， ，. （2）由题：， 欲使恒成立，只需， 当时：∵，时，，时，， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴，得， 此时，； 当时： 若即，令，解得或，令，解得， 则在，上单调递增，上单调递减， 若即，，则在上单调递增， 若即，令，解得或，令，解得， 则在，上单调递，上单调递减， 不论上述哪种情况，均有，因此，不可能有恒成立，舍. 综上：的取值范围为. （3）由（2）的结论可知：当时：在上单调递增，上单调递减， ∵， ∴由图，不妨设，    欲证①， 只需证，即证，即证，即证， 即证②， 设， ， ，，， 又∵，， ，，， 在上单调递减， ， ∴②成立， ∴①成立. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 压轴八 隐零点的应用 1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得. （2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数， 又，且当时，，所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 综上，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）证明:由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点， 当时，令 则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得, 且当时，，即，则在上单调递增， ，故在没有零点 当时，有，即，则在上单调递减， 又 ，，所以在上有且只有一个零点， 综上，函数在上有2个零点． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数在上的单调性． 【答案】答案见解析 【知识点】简单复合函数的导数、导数的乘除法、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导可得，分、和三种情况，利用导数判断原函数的单调性. 【详解】由题意可得， 因为，则，可知， 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则， 可得，可知在内单调递增； 当时，令，则， 因为，，，则， 可知在上为减函数，且， 则在上存在唯一零点， 当时，，即，可知在内单调递增； 当时，，即，可知在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减， 其中为在上的唯一零点. 3．（2024·四川成都·三模）已知函数 . (1)当 时，求 的单调区间; (2)若 有两个零点，求 的取值范围. 【答案】(1)单增区间为 ，单减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）代入，对求导求单调性即可. （2）令 ，设函数，函数 有两个零点等价于函数 有两个零点，对求导，讨论和，研究单调性和最值情况，找到满足题意的即可. 【详解】（1）当 时， ， 注意到函数 与  均在 单调递增， 在 上单调递增. 由 ，得 ， ，在 上单调递减; ， ，在 上单调递增; 综上， 的单增区间为 ，单减区间为 . （2）令 ，设函数  . 函数 有两个零点等价于函数 有两个零点. (1)当 时， ， 当 时， ; 当 时， ; 当 时， . 在 上只有一个零点，故 不合题意. (2)当 时， ，令 ， ，令 得 ， 在 上单调递减， 上单调递增， ，当时， ， 当 时，  ， 由零点存在定理得存在 ，使得  ， 所以 时， 单调递减， 时，  单调递增.， 由 时，  ，时， ，且 ， 故当 时，函数 有且仅有一个零点，不合题意. 当 时， ， 此时 在 上各有一个零点，满足题意. 由 在 上单调递增，且， 故当 时，  ，不合题意. 当 时，  ，满足题意. 综上， 的取值范围为  . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$