第4章 数列（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（   ） A．B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （    ） A．2021 B．-2022 C．2024 D．-2023 5．（23-24高二上·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A．B． C． D． 8．（2024高二·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 11．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列前项和为.若，则 . 13．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数上一点，若，记数列的前项和为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 16．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 17．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为等差数列，各项为正的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 19．（24-25高三上·北京房山·开学考试）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合，并写出的值； (2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； (3)已知数列，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由递推数列的性质，代值求解即可. 【详解】 ， 故选：B. 2．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推式求出数列前几项，得到数列为周期数列，然后可求出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以，，，， 故是周期为2的数列， 所以. 故选：D 3．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用 【分析】先根据条件确定等差数列的通项公式，再逐项验证即可. 【详解】设数列的公差为， 由题意：. 又，所以. 所以. 所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （    ） A．2021 B．-2022 C．2024 D．-2023 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列前项和公式，由，求出，利用等差数列求和公式即可求解． 【详解】在等差数列中，，其前项和为， ， ，解得， 则． 故选：C． 5．（23-24高二上·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的其他性质 【分析】根据已知写出等比数列的通项公式，利用指数运算法则和等差数列的求和公式得到关于n的表达式，并化简整理，先求得最大时的n的值，再分析正负，即得最大时的n的值. 【详解】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先应用，得出，求得,利用的值排除部分选择支ABD，再放缩法和裂项相消法求和即可判断选项. 【详解】当时，由可得， 两式相减可得， 当,满足上式， 所以恒成立， 所以， 所以；时，. 所以,故选择支ABD错误， 当时，． 故选：C. 7．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 8．（2024高二·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据条件判断，结合，即可判断A；分和两情况讨论，根据的成立与否得出，，结合等比数列的性质可判断B；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，， 由可得，又因为， 所以数列为各项均为正数的等比数列，所以，即A正确； 当时，因，数列为递增数列，则， 此时，与已知矛盾，所以不成立； 当时，数列为递减数列，根据， 有，此时成立，所以， 对于B，因，故B正确； 对于C，D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C正确，D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知条件，推出，即可得到数列的单调性，从而判断A、B、D，再利用作差法判断C． 【详解】因为， 所以，， 故，故A、B正确； ，，所以单调递增， 则， 所以，则，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 10．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【知识点】判断数列的增减性、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】首先根据的关系求出数列的分段表达式，然后结合数列的性质即可逐一判断各个选项求解. 【详解】，时， ， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，显然，当时，当且仅当，故C正确； 对于D，由于，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】根据递推关系可得，即可代入求解ACD,结合，相减即可判断B. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，…，第号蜂房的路线数为，即， 所以，，，，，，A正确； 由于，则，两式相减可得，所以，B错误； 由于，C正确； ，D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列前项和为.若，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】令可求得的值，令，由可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的值. 【详解】当时，由，得， 当时，由可得，两式相减得，即， 所以数列为等比数列，且首项为1，公比为， 故. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】等比数列中，，，再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】 等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数上一点，若，记数列的前项和为，则 ． 【答案】10 【知识点】裂项相消法求和、已知函数值求自变量或参数 【分析】根据题意易知，再由裂项相消求和可计算出结果. 【详解】由题可得，解得，则， 由于， 所以，可得． 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】 （1）根据等差数列通项公式即可求出； （2）根据等比数列的通项即可求解； （3）根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可. 【详解】（1） 因为是公差为2的等差数列，， 所以. （2）因为，数列是公比为2的等比数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 由于的首项为，故的前项和为， 的首项和公比均为2，故前项和为， 故的前项和. 16．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，数列满足， 即， 所以根据题意，数列为以为公差的等差数列， 又，则， 所以； （2）根据题意，， 所以数列的前n项和为：. 17．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为等差数列，各项为正的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）由已知，设公差为，则，解得， 所以， 又，公比为，所以； （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， 所以． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用、裂项相消法求和 【分析】（1）设（为常数），则有，设， 可得，再根据对应项系数相等即可得证； （2）利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）证明：因为等差数列的通项公式是关于的一次式，前项和为关于的缺少常数项的二次式， 所以若数列是等差数列，则设（为常数）， 即， 设， 即，所以， 解得， 所以， 故“”是“若数列是等差数列，则也是等差数列”的充分条件． （2）解：若， 则， 所以 ． 19．（24-25高三上·北京房山·开学考试）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合，并写出的值； (2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； (3)已知数列，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、集合新定义 【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解； （2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得必要性成立； 再由是递减数列，，得到，由此证明为等差数列，得到充分性成立，即可得证； （3）根据题意，得到，得出，设存在， ，推出矛盾，进而得证. 【详解】（1）由题意，数列， 可得， 所以集合，所以. （2）必要性：若为等差数列，且是递减数列，设的公差为， 当时，，所以， 则，故必要性成立. 充分性：若是递减数列，，则为等差数列， 因为是递减数列，所以， 所以，且互不相等， 所以， 又因为， 所以且互不相等， 所以， 所以， 所以为等差数列，充分性成立. 所以若是递减数列，“为等差数列”的充要条件是“”. （3）由题意集合中的元素个数最多为个， 即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 故，故，故由得到的彼此相异，所以. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 学科网（北京）股份有限公司 $$