第4章 数列 知识归纳与题型突破（单元复习 11类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 知识点02：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点03：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 知识点04：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 知识点05：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点06：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 知识点07：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 知识点08：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 知识点09：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点10：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 知识点11：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点12：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点13：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 知识点14：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 知识点15:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 03 题型归纳 题型一　等差与等比数列的基本运算 例题1．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）在等差数列中， (1)已知，，求与； (2)已知，求. 【答案】(1)， (2)24 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 由，，可得，解得 所以公差的值为3，的值为. （2）解：由是等差数列，因为，解得 所以，故的值为24. 例题2．（23-24高二上·四川眉山·期末）各项均为正数的等比数列中，，． (1)求的通项公式; (2)记为的前项和，若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得公比，即可求解， （2）由求和公式即可求解. 【详解】（1）设公比为，由于，所以， 由于，所以， 又，所以 （2），故，解得 巩固训练 1．（23-24高二下·全国·课后作业）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以 （2）因为，所以， 又因为，所以 （3）方法一：由，即， 所以 方法二：由，得， 所以 2．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）首先根据题意得到，再根据求解即可. （2）首先根据题意得到或，再分别求和即可. 【详解】（1）因为，， 所以，解得. 所以. （2），，所以，即，解得或. 当时，， 所以. 当时，， 所以. 题型二　等差、等比数列的判定 例题1．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等比数列的基本量法，求出基本量，从而求得通项公式，再求得通项公式，从而得证. （2）从二次函数的角度理解，求得的最大值. 【详解】（1）设等比数列的公比为q, ∵数列是等比数列，且，则， ∴ , ∴ , ∴==2 又∵=8,∴ , ∴ ∴ ∴ ∴数列是等差数列，首项，公差. （2）由(1)知， ∵ , ∴对称轴,又，所以取 ∴时，最大，最大值为6. 例题2．（24-25高二上·全国·课堂例题）数列的前项和．求的通项公式，并判断是否是等比数列． 【答案】；不是等比数列. 【知识点】由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用前项和与的关系求出通项公式，再利用等比数列定义判断即得. 【详解】当时，， 当时，不适合上式， 所以的通项公式是； 由于，，，显然不是等比数列，所以不是等比数列. 巩固训练 1．（23-24高二下·全国·课后作业）设为数列的前项和，. 求并判断数列是否是等差数列． 【答案】，不是等差数列 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据得到数列通项公式，结合等差数列通项公式的形式进行判断即可. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以，数列不是等差数列 2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列中，，且满足，设，. (1)求，证明数列是等比数列； (2)求及数列的前n项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2)， 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）直接代入计算可得，由等比数列的定义可得证明； （2）由等比数列的通项公式、求和公式，计算可得所求． 【详解】（1）由数列中，，且满足，设， 可得； 由，可得，即， 则数列是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得，则． 题型三　等差数列的性质及应用 例题1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和 【分析】根据已知比例关系结合等差数列求和公式可设，再结合求和公式及等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为，则设， 所以； ． 故答案为：；. 巩固训练 1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解. 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 2．（2024高二·全国·专题练习）设等差数列与的前n项和分别为，，且，则 ． 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列前n项和的性质，推导出，代入题干所给公式得到结果. 【详解】， 故答案为：． 题型四　等比数列的性质及应用 例题1．（23-24高二下·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．324 B．420 C．480 D．768 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列，且，显然的公比不为， 所以也成等比数列. 由，解得. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ； 【答案】 【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用 【分析】由得，再根据等比数列的性质得，进而可得. 【详解】由得， 所以， 因为等比数列的各项均为正数， 所以， 故，得. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件，利用等比列的性质及基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，又， 所以，得到，即， 故答案为：. 2．（2024高二下·全国·专题练习）在等比数列中，若，，求. 【答案】70 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据条件，利用等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为为等比数列，根据等比数列前项和的性质，可得：，，仍成等比数列， 所以，又，， 所以，解得. 题型五　数列求通项（法） 例题1．（2024·海南海口·）已知数列对任意的都满足. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，通过作差法即可求解. 【详解】（1）数列满足， 当时，， 两式相减可得，即， 又当时，可得，满足上式， 数列的通项公式为. 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； 【答案】(1)是，理由见解析 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论； 【详解】（1）当时，， 当时，得， 则， 化简得， 当时，成立. 综上所述，数列的通项公式为， 当时，，故数列为等差数列. 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 当时，，则， 所以，又， 则数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以. 巩固训练 1．（2024·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，其中，且. (1)求的通项公式. 【答案】(1) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，得到时，，再由，结合等比数列的通项公式，即可求解； 【详解】（1）由，可得，则， 两式相减，可得，即， 又由，易知， 所以当时，， 所以数列的通项公式为. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设数列的各项均为正整数． (1)数列满足，求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）设，当时有，当时有，可求 【详解】（1）数列满足， 设， 当时，有，即， 当时，有，得， 符合，所以． 题型六　数列求通项（累加累乘法） 例题1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】利用累加法求数列的通项公式. 【详解】∵， 所以，当时， ，，…，. 以上各式相加，得： 所以. 当时，也成立. 所以，. 故答案为：. 例题2．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】分组（并项）法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； 巩固训练 1．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】（1）利用累加法求出的通项公式； 【详解】（1）由，得，又， 所以时， ， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为. 2．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： 【答案】(1) 【知识点】累乘法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法求解数列通项公式； 【详解】（1）因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. 题型七　数列求通项（构造法，倒数法） 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】根据题意，得到，得到数列是等比数列，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得，则， 所以，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，则． 故答案为：. 例题2．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 例题3．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构造法求数列通项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】首先构造函数可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，由等差数列通项公式即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：D. 巩固训练 1．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项 【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可. 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 2．（23-24高二上·宁夏中卫·阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、构造法求数列通项 【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可. 【详解】设，则， 又因为，所以，则， 所以， 因为，所以， 所以为常数， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 题型八　数列求和（倒序相加法） 例题1．（23-24高二上·江苏·阶段练习），且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、倒序相加法求和 【分析】根据函数的解析式，求得，结合倒序相减法，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可得， 可得， 则， 可得， 所以，即数列的通项公式为. 故答案为：. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）若，则 . 【答案】15 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【解析】由，由倒序相加可得答案. 【详解】由，得 设 则 两式相加得 所以 故答案为；15 【点睛】本题考查函数性质，考查倒序相加法求和，属于基础题. 巩固训练 1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）对任意都有.数列满足：，则 . 【答案】 【知识点】倒序相加法求和 【分析】采用倒序相加法即可求得结果. 【详解】由题意得：，，，……， ， ， ，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题. 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】1005. 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】由函数式计算出，然后倒序相加求和． 【详解】因为，所以， 所以.令， 倒写得. 两式相加得，故. 题型九　数列求和（分组求和法） 例题1．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 例题2．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）设依次是等比数列的前3项，其中为正数. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）运用等比数列的性质公式求解即可； （2）运用分组求和,结合对数性质计算即可. 【详解】（1）依题意可得， 整理得，解得或1. 因为为正数，所以， 所以的前3项依次是，所以. （2）由（1）知， 所以， 所以 . 巩固训练 1．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由，且成等差数列，解出和，即可写出通项公式； （2）由（1）可得，则数列的前项和可以分为奇数项和和偶数项和两组分别求和，计算可得结果. 【详解】（1）因为成等差数列，所以，即， 又，所以，所以通项公式为，； （2）由（1）可知， 则， 所以 ． 2．（2024·全国·模拟预测）已知数列是递增数列，前项和为，且当时，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，利用得，进而得，再把两式相减得，然后因式分解解方程可得，从而由等差数列的定义得到数列的通项公式； （2）为了确定第项的符号，对进行分类，然后每相邻两项分一组，利用平方差公式因式分解，从而利用等差数列的前项和公式得到答案. 【详解】（1）因为当时，，则，所以， 两式相减可得，整理得， 即. 因为是递增数列，且，所以， 则，即， 所以数列是公差为的等差数列，即， 经检验时成立，则. （2）由（1）知. 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 综上所述，. 题型十　数列求和（裂项相消法） 例题1．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 例题2．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】判断等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义证明所给数列是等差数列. （2）根据（1）的结论，转化成由与的关系求通项公式. （3）利用裂项求和法求，再比较与的大小. 【详解】（1）证明：将两边同时除以，得． 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得，则．① 当时，．② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以． （3）证明：由（2）得， 所以 因为，所以 巩固训练 1．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）设为数列的前项和，满足. (1)求数列的通项公式. (2)设，数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】 （1）利用的关系与等比数列的通项公式即可得出； （2）为奇数时，．为偶数时，,利用等比求和公式以及裂项相消法，结合分组求和即可得解． 【详解】（1） 由，，两式相减得， 得， 又，解得． 故数列是以为首项，为公比的等比数列． 故． （2） 为奇数时，． 为偶数时，， 2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足：（）． (1)求数列的通项公式； (2)设（），数列前项和为，试比较与的大小并证明． 【答案】(1)，（） (2)，证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）结合前项和与通项公式的关系分和两种情况求解即可； （2）先验证，再讨论时，，进而根据裂项求和法得. 【详解】（1）①， （）②， ①－②得（）， ∴（）， 当时，，不满足上式， ∴，（） （2）当时，， ， 当时， ， ∵，∴ 综上所述，． 题型十一　数列求和（错位相减法） 例题1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为等差数列，各项为正的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）由已知，设公差为，则，解得， 所以， 又，公比为，所以； （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， 所以． 例题2．（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项； （2）应用错位相减法求出数列的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． （2）设， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以，所以． 巩固训练 1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）依题意可得，在根据，作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）依题意可得，则，再利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为是与的等差中项，可得， 当时，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为， 可得数列是首项和公比均为的等比数列， 所以； （2）若是以为首项，为公差的等差数列， 则， 可得， 数列的前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 知识点02：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点03：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 知识点04：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 知识点05：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点06：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 知识点07：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 知识点08：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 知识点09：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点10：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 知识点11：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点12：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点13：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 知识点14：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 知识点15:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 03 题型归纳 题型一　等差与等比数列的基本运算 例题1．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）在等差数列中， (1)已知，，求与； (2)已知，求. 例题2．（23-24高二上·四川眉山·期末）各项均为正数的等比数列中，，． (1)求的通项公式; (2)记为的前项和，若，求． 巩固训练 1．（23-24高二下·全国·课后作业）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 2．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 题型二　等差、等比数列的判定 例题1．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，求的最大值． 例题2．（24-25高二上·全国·课堂例题）数列的前项和．求的通项公式，并判断是否是等比数列． 巩固训练 1．（23-24高二下·全国·课后作业）设为数列的前项和，. 求并判断数列是否是等差数列． 2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列中，，且满足，设，. (1)求，证明数列是等比数列； (2)求及数列的前n项和. 题型三　等差数列的性质及应用 例题1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 巩固训练 1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（2024高二·全国·专题练习）设等差数列与的前n项和分别为，，且，则 ． 题型四　等比数列的性质及应用 例题1．（23-24高二下·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．324 B．420 C．480 D．768 例题2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ； 巩固训练 1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 . 2．（2024高二下·全国·专题练习）在等比数列中，若，，求. 题型五　数列求通项（法） 例题1．（2024·海南海口·）已知数列对任意的都满足. (1)求数列的通项公式； 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 巩固训练 1．（2024·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，其中，且. (1)求的通项公式. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设数列的各项均为正整数． (1)数列满足，求数列的通项公式； 题型六　数列求通项（累加累乘法） 例题1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则 . 例题2．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； 巩固训练 1．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； 2．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： 题型七　数列求通项（构造法，倒数法） 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则 ． 例题2．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 例题3．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 2．（23-24高二上·宁夏中卫·阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是 ． 3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 题型八　数列求和（倒序相加法） 例题1．（23-24高二上·江苏·阶段练习），且，则数列的通项公式为 ． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）若，则 . 巩固训练 1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）对任意都有.数列满足：，则 . 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 题型九　数列求和（分组求和法） 例题1．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 例题2．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）设依次是等比数列的前3项，其中为正数. (1)求； (2)求数列的前项和. 巩固训练 1．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 2．（2024·全国·模拟预测）已知数列是递增数列，前项和为，且当时，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型十　数列求和（裂项相消法） 例题1．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 例题2．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，数列的前项和为，证明：. 巩固训练 1．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）设为数列的前项和，满足. (1)求数列的通项公式. (2)设，数列的前项和. 2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足：（）． (1)求数列的通项公式； (2)设（），数列前项和为，试比较与的大小并证明． 题型十一　数列求和（错位相减法） 例题1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为等差数列，各项为正的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 例题2．（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 巩固训练 1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$