第4章 数列（单元复习 7类压轴题专练）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列（压轴题专练） 压轴一 数列的单调性 1．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·开学考试）已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)试求，的值； (2)求数列的通项公式： (3)若数列为递增数列，求实数k的取值范围． 压轴二 等差,等比数列的函数特征 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（    ） A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10 2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，则（    ） A． B．数列是递增数列 C．时，的最小值为13 D．数列中最小项为第7项 3．（多选）（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A．当时，最小 B． C．存在，使得 D．当时，最小 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，最小？ 压轴三 数列求和（分类讨论） 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立． (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前项和．证明：当时，． 3．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 压轴四 插入新数列问题 1．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有． (1)求数列的通项公式； (2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和． 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 3．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 4．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 压轴五 数列不等式中的恒成立问题 1．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列，数列前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若（a为非零实数），求； (3)若对任意的，都存在，使得成立，求实数t的最大值． 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和满足 (1)求数列的通项公式; (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 压轴六 数列不等式中的能成立问题 1．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知数列满足，，设． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知数列满足且，数列满足且，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，对于实数，存在正整数，使得成立，求的最小值． 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的前n项和； (2)若，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 压轴七 数列中新定义题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②： ①； ②． (1)写出最小的“漂亮数”； (2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”； (3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率． 2．（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 3．（23-24高三下·江苏无锡·阶段练习）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”， ①求证：数列为递增数列； ②求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列（压轴题专练） 压轴一 数列的单调性 1．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据数列的单调性求参数 【分析】在上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 由于和均为单调函数， 故，解得. 故选：C 2．（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】探求命题为真的充要条件、根据数列的单调性求参数 【分析】根据条件，利用递增数列满足，即可求解. 【详解】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是， 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·开学考试）已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、根据数列的单调性求参数、判断数列的增减性 【分析】对的值分段讨论，根据严格增数列的概念，求的取值范围. 【详解】若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，此时，所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以. 由，该式在时恒成立； 由. 当时，，又，所以， 此时：，因为，，所以， 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：当时，解不等式，可先令，求出的取值范围，在验证所得结果对取其余非零自然数时仍成立，即可. 4．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)试求，的值； (2)求数列的通项公式： (3)若数列为递增数列，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【知识点】数列不等式恒成立问题、根据数列的单调性求参数、由递推关系式求通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得，进一步得到答案. （2）由（1）的分析可得答案. （3）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是，所以. 所以. （2）由（1）可知数列的通项公式为. （3）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 压轴二 等差,等比数列的函数特征 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（    ） A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10 【答案】D 【知识点】等比数列的其他性质、等比数列的单调性 【分析】首先求出首项和公比，解不等式组，代入通项公式求解出即可 【详解】（法一）∵等比数列，其前项积为，且. ∴，∴，∴.故. ∵，所以前项积有.又因为，所以为前项积的最大值. （法二）∵，.∴. 当时，有最大值，解得. ∴时，有最大值. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列前项积的最大值. 其实质是求等差数列前项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项，公比. 第二步：解不等式组.满足不等式组的的值，即为使前项积取最大值时的项数. 2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，则（    ） A． B．数列是递增数列 C．时，的最小值为13 D．数列中最小项为第7项 【答案】ACD 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等差数列的单调性、求等差数列前n项和的最值 【分析】由已知得，又，所以，可判断A；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D； 【详解】由已知得，，又，所以，故A正确； 由，解得，又， 当时，，时，，又，所以时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递增，所以数列不是递增数列，故B不正确； 由于，而，所以时，的最小值为13，故C选项正确 ； 当时，，时，，当时，，时，，所以当时，，，，时，为递增数列，为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，故D正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 3．（多选）（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A．当时，最小 B． C．存在，使得 D．当时，最小 【答案】BD 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断. 【详解】对于选项B：因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于选项A、D：因为， 所以，则， 又因为，可得， 则，故， 且，可知数列是单调递增数列， 当时，；当时，； 所以当时，最小，故选项A错误，选项D正确； 对于选项C：因为数列是单调递增数列，且当时，， 所以，故C错误. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，最小？ 【答案】(1)从第23项开始出现负数 (2)当时最小 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性 【分析】（1）依据等差数列的通项公式即可解决； （2）依据等差数列的通项公式，再以分段函数求最值即可解决. 【详解】（1）等差数列的首项，公差 则 由，得，即从第23项开始出现负数. （2）由等差数列的通项公式 可得 在时取最小值为 在时取最小值为 则在时取最小值为 压轴三 数列求和（分类讨论） 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】数列求和的其他方法、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立． (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前项和．证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据得到首项和公差，得到通项公式； （2）在（1）基础上，得到，先得到当为偶数时，，作差法得到当且为偶数时，，再考虑当为奇数时，，作差法得到当且为奇数时， ，从而证明出结论. 【详解】（1）当时，，解得或0， 是各项均为正数的等差数列，故， ①， 当时，②， 则①-②得， 故， 因为，所以，则， 则的公差为1，则， 经检验，满足要求，故通项公式为； （2），， ， 当为偶数时， ， 当且为偶数时，， 故； 当为奇数时，， 当且为奇数时， ， 综上，当时，． 3．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据裂项求和即可求解， （2）根据并项求和即可求解. 【详解】（1）由题意可知，数列是等差数列，设数列的公差为． 可转化为， 即， 即，，即， ，． （2）由题可得， ， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 综上所述, 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式，利用累加法可求的通项公式； （2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论. 【详解】（1）在数列中，当时，解得； 当时，由，则，即， 因为，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列即. 在数列中，，即， 则当时，，，，， 由累加法得， 所以， 当时，也符合上式，所以. （2）由（1）可得， 当为偶数时， = ； 当为奇数时， = ， 综上可得. 压轴四 插入新数列问题 1．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有． (1)求数列的通项公式； (2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和． 【答案】(1). (2)11563. 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用时，；时，求解即可. （2）先确定前91项的最后一项，然后分别对其中的和插入的进行求和. 【详解】（1）当时，． 又时，得，也满足上式， 故． （2）由，所以， 又，所以前91项中有87项来自， 所以 ． 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、等比中项的应用、等差中项的应用 【分析】（1）先利用递推式求得，再利用已知条件结合化简得，从而根据等比数列定义判断数列为等比数列，然后写出通项公式即可； （2）推出，假设存在3项，，成等比数列，则，即，结合解得，与已知矛盾，即可判断. 【详解】（1）由题意知，当时，，因为，所以，① 因为，所以，所以，② 两式相减得，所以. 由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式； （2）由（1）知，，所以， 所以. 假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，互不相等， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列，所以，所以. 化简得，所以，又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关求得关于的表达式，从而分析得解. 3．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）先计算，再利用得进而证明 等比数列，可得通项公式； （2）先求出，再利用并项求和法求的前项和. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即. （2）由题意，，则， 记数列的前项和为， 所以. 4．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】(1)； (2). 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、数学归纳法证明数列问题 【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可. （2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果. 【详解】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键. 压轴五 数列不等式中的恒成立问题 1．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列，数列前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若（a为非零实数），求； (3)若对任意的，都存在，使得成立，求实数t的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)41 【知识点】数列不等式恒成立问题、构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、数列的极限 【分析】(1)根据递推公式，可推出数列为等比数列，进而可求出数列的通项公式； (2)根据题意可知为等比数列，则对的关系进行化简，对进行分类讨论，最后通过极限运算可得结果； (3)根据存在性问题，需要求出最小值，然后再根据恒成立问题，分离变量可得出的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 又因，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则，所以. （2）根据题意知，则，记， 当时，则，此时不存在； 当时，则， 当时，， 当时，， 当时， ，则不存在. （3）由题意知，对有解， 因为，所以当时，， 当时，， 则, 所以，对任意恒成立， 即，对任意恒成立， 因为，所以最小值为6，所以， 所以实数t的最大值为41. 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列的前n项和满足 (1)求数列的通项公式; (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】首先令求出首项，然后当时，有，两式相减，得到数列的递推关系，发现数列是以2为首项，1为公差的等差数列，从而求得，得到所求； 将的通项公式代入不等式等价于对恒成立，即进一步求出的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 即， 解得： ； 当时，， 则， 即， 即， 数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ， 即； 又也适合上式， 故. （2）原不等式可化为：， 等价于， 记， 则对恒成立， ， 又， 当时，， 即； 当 时，， 即， 数列的最大项为， 即， 解得： . 【点睛】易错点点睛：本题主要考查由数列的与的关系式求通项公式的方法以及求与数列有关的恒成立中参数范围的求法；在由数列的与的关系式求通项的时候要注意的范围及验证. 3．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、错位相减法求和、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 压轴六 数列不等式中的能成立问题 1．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知数列满足，，设． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）由条件可得，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，接着根据等差数列通项公式求解即可. （2）先由（1）得，接着将问题“存在使得成立”转化为“存在使得成立”，再将存在问题转化为最值问题研究的最小值即可求解. 【详解】（1）因为①； 故，且②， 由②①得， 所以数列的偶数列是以为首项，公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）， 所以即， 所以存在使得成立，即存在使得， 所以，令， 任取，则， 因为，所以， 所以即， 故在上单调递增，同理可得在上单调递减， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知数列满足且，数列满足且，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，对于实数，存在正整数，使得成立，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)2 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、构造法求数列通项、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据等差、等比数列的定义和通项公式求通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法运算求解； （3）根据数列单调性的定义求的最小项，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）因为，所以，且， 可知数列是首项为2，公比为的等比数列 所以，即； 因为数列满足，所以数列为等差数列， 由于，， 可得公差，所以. （2）由题意可知， 于是， 则， 两式错位相减得到 ， 因此. （3）由（2）可知，， 因此是单调递增数列，于是， 因此，则实数的最小值为2. 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的前n项和； (2)若，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据与前n项和的关系，利用相减法可得，再根据累乘法求解通项即可得，从而可以由裂项相消法求数列的前n项和； （2）根据数列单调性判断方法确定的单调性从可得实数的取值范围． 【详解】（1）令，得，故． 当时，由，得 两式相减并整理得， 累乘得， 故，也满足该式， 故． 所以． （2）由题知，，根据题意得， 令，则． 故，所以． 压轴七 数列中新定义题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②： ①； ②． (1)写出最小的“漂亮数”； (2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”； (3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为； （2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论； （3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可. 【详解】（1）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 故，得，从而，所以. 此时，假设，则. 但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾； 所以. 由即知是“漂亮数”. 所以最小的“漂亮数”是. （2）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 此时有 . 再由，即知. 而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”. （3）若，设满足. 则，所以，即. 而，故，即. 所以，得，即. 由于，故. 而，故，即. 若，则，所以. 假设，则，矛盾. 所以，故，得. 故只可能，从而，得，而，故. 但，矛盾. 所以只可能或. 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为. 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为. 综上，全体满足条件的有，，，，，. 这表明满足条件的全部为. 所以的全部可能值为，其中是质数的有. 从而是质数的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 2．（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 【答案】(1)34 (2) 【知识点】数列新定义、数列求和的其他方法、分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据定义求出，再求； （2）由定义得，再求即可. 【详解】（1）由题意可得时，， 故； （2）当时，代入公式可得， 且， 故当时， 时，，代入上式也成立. 综上，. 3．（23-24高三下·江苏无锡·阶段练习）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”， ①求证：数列为递增数列； ②求数列的通项公式. 【答案】(1)数列不是“型数列”，理由见解析 (2)①证明见解析；② 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、数列新定义 【分析】（1）利用“型数列”定义判断即可； （2）①由已知可得，可得结论； ②因为数列不是“型数列”，可得，进而，可得趋近于，即可得，可求，可求数列的通项公式. 【详解】（1） 不满足“型数列”定义，数列不是“型数列”； （2）①∵正项数列为“型数列”， ∴数列为递增数列 ②设数列的公比为，， 又因为数列不是“型数列”，可得 可得，即得； 又数列为“型数列”，可得； 由①知为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得； 综上可得， 即，可得； 所以数列是以为首项，公比为的等比数列； 即可得，可得； 所以数列的通项公式为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$