第3章 圆锥曲线与方程 知识归纳与题型突破（单元复习 13类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识点03：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点04：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点05：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 知识点06：直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 知识点07：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点08：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识点09：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点10：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点11：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点12：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 知识点123：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点14：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 知识点15：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点16：直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点17：直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 03 题型归纳 题型一 圆锥曲线的定义 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 巩固训练 1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 题型二 圆锥曲线的标准方程 例题1．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 例题2．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 例题3．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列椭圆的方程. (1)过且与有相同的焦点； (2)经过点，. 2．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）（1）求经过两点，的双曲线的标准方程； （2）求经过两点，的椭圆的标准方程． 3．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点； (2)关于y轴对称，且过点； (3)焦点在直线上. 题型三 圆锥曲线中的点到焦点和差距离最值问题 例题1．（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 例题3．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ． 题型四 判断二次方程是否表示圆锥曲线 例题1．（多选）（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知曲线（且），则下列说法正确的是（    ） A．若，则C为圆 B．若，则C为椭圆 C．若，则C为双曲线 D．若C为焦点在y轴上的双曲线，则 例题2．（多选）（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（    ） A．当时，为椭圆 B．当或时，为双曲线 C．若为椭圆，则长轴长为 D．若为双曲线，则焦距为 巩固训练 1．（多选）（23-24高二上·甘肃白银·阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 2．（多选）（23-24高二上·江苏徐州·期中）方程表示的曲线中，可以是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 题型五 圆锥曲线的焦点三角形问题 例题1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 例题2．（多选）（23-24高二下·河北·期末）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（       ）    A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 题型六 椭圆、抛物线中的离心率问题 例题1．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线共焦点，设的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的离心率为 ． 题型七 直线与圆锥曲线的位置关系 例题1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 例题3．（23-24高三·全国·期末）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 巩固训练 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24高二下·安徽·期末）直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 题型八 圆锥曲线中的中点弦问题 例题1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型九 圆锥曲线中的弦长问题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为，左顶点为A，且为AO的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆方程为：，椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点，试求弦长的最大值． 例题2．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 例题3．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知过点的直线l与抛物线相交于两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求直线l的方程． 巩固训练 1．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知椭圆方程为（），为椭圆的焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3，椭圆的长轴为4． (1)求椭圆的方程． (2)已知圆，过点且斜率为的直线和椭圆交于两点，若，求的值． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且. (1)求双曲线及其渐近线的方程； (2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 题型十 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（中等难度） 例题1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 例题2．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 例题3．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 巩固训练 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，虚轴上､下两个端点分别为，，右顶点为，且双曲线过点，. （1）求双曲线的标准方程； （2）设以点为圆心，半径为2的圆为，已知过的两条相互垂直的直线，，直线与双曲线交于，两点，直线与圆相交于，两点，记，的面积分别为，，求的取值范围. 3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知为抛物线上一点，经过点且斜率为的直线与的另一个交点为，与垂直的直线与的另一交点为． (1)若直线经过的焦点，求直线的方程； (2)若直线与直线关于对称，求的面积． 题型十一 圆锥曲线中的定点、定值问题（中等难度） 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点． 例题2．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 例题3．（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 巩固训练 1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值． 2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 题型十二 圆锥曲线中的定直线问题（中等难度） 例题1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)直线与交于两点， （i）求面积的最大值； （ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 例题2．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 巩固训练 1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 2．（2024·广西·模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 题型十三 圆锥曲线中的向量问题（中等难度） 例题1．（23-24高二下·天津·期中）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 巩固训练 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）． (1)若椭圆的焦距为6，求的值； (2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值． 2．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识点03：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点04：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点05：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 知识点06：直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 知识点07：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点08：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识点09：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点10：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点11：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点12：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 知识点123：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点14：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 知识点15：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点16：直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点17：直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 03 题型归纳 题型一 圆锥曲线的定义 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 例题2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由可知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线上支， 设双曲线的方程为，可知，， 所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    巩固训练 1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 题型二 圆锥曲线的标准方程 例题1．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据焦距得到，再根据离心率得到，则得到标准方程； （2）根据短轴长求出，再分两种情况写出椭圆方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意知，，， ， ，从而， 椭圆的标准方程是． （2）设椭圆的标准方程为或， 由得， 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为或． 例题2．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）设双曲线的方程为或，然后根据已知条件来求得正确答案. （2）双曲线的方程为，然后根据已知条件来求得正确答案. 【详解】（1）方法一 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 解得 双曲线的标准方程为． 例题3．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【答案】(1) (2) (3)或． (4)或或或． 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据焦点位置得到，则得到其标准方程； （2）根据准线方程得到，则得到其标准方程； （3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可； （4）根据距离求出，则得到其标准方程. 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列椭圆的方程. (1)过且与有相同的焦点； (2)经过点，. 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】（1）由焦点坐标得值，设出椭圆方程将点代入方程待定系数可得； （2）方法一：根据椭圆位置分别设出方程，代入两点的坐标待定系数可得； 方法二：设出椭圆方程，代入两点的坐标待定系数可得. 【详解】（1）由方程可知，其焦点的坐标为，即. 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； （2）方法一  ①当椭圆的焦点在轴上时， 设标准方程为， 依题意有，解得， 因为，所以方程组无解． ②当椭圆的焦点在轴上时， 设标准方程为， 依题意有，解得， 所以所求椭圆的方程为； 方法二  设所求椭圆的方程为， 依题意得，解得， 故所求椭圆的方程为， 即. 2．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）（1）求经过两点，的双曲线的标准方程； （2）求经过两点，的椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）利用待定系数法设出双曲线方程为，代点计算即可； （2）利用待定系数法设出椭圆方程为1，代点计算即可. 【详解】（1）由题意，设双曲线方程为，代入点、， 则，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意，设椭圆的方程为1，代入点、， 则，解得． 故椭圆的标准方程为. 3．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点； (2)关于y轴对称，且过点； (3)焦点在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的标准方程,注意标准方程的形式； （2）根据已知条件设抛物线的标准方程,注意标准方程的形式； （3）求出直线与坐标轴的交点坐标，写出抛物线方程. 【详解】（1）设抛物线方程为,或， 把点分别代入抛物线方程，可得或； 所求抛物线方程为,或. （2）设抛物线方程为，由过点，可得， 所以所求抛物线方程为. （3）焦点在直线上， 可得抛物线的焦点坐标为,或， 所以所求抛物线方程为,或. 题型三 圆锥曲线中的点到焦点和差距离最值问题 例题1．（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解. 【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 例题3．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 【答案】8 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标 【分析】由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值． 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， ，，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以， 最大值为. 故选：D. 2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、轨迹问题——椭圆 【分析】以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，由题意求出点的轨迹方程，结合图像可知，即可得出答案. 【详解】由题意知，点在以为圆心，6为半径的圆上运动， 点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外）． 为方便计算，可将，视为定点，则点在以为圆心，为半径的圆上运动， 以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系， 设点和，则点的轨迹方程为， 由图可知，当，，三点共线时 （在，之间或，重合），等号成立． 故答案为：. 题型四 判断二次方程是否表示圆锥曲线 例题1．（多选）（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知曲线（且），则下列说法正确的是（    ） A．若，则C为圆 B．若，则C为椭圆 C．若，则C为双曲线 D．若C为焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】AC 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围、判断方程是否表示椭圆 【分析】由表示双曲线，圆以及椭圆的条件逐一判断每一个选项即可求解. 【详解】对于AB，若，曲线即，表示原点在圆心半径为1的圆，故A正确B错误； 对于CD，若，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确D错误. 故选：AC. 例题2．（多选）（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（    ） A．当时，为椭圆 B．当或时，为双曲线 C．若为椭圆，则长轴长为 D．若为双曲线，则焦距为 【答案】ACD 【知识点】由方程研究曲线的性质、根据方程表示椭圆求参数的范围、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据椭圆以及双曲线的几何性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】当为椭圆时，则，所以且，故A错误， 当为双曲线时，所以，解得或，故B正确， 当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，故C错误， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，故D错误， 故选：ACD 巩固训练 1．（多选）（23-24高二上·甘肃白银·阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 【答案】AD 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆 【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为方程所表示的曲线为， AC.当，取时，方程为，表示圆，故A错误，C正确； B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，故B正确； D.若为双曲线，可得，解得或，故D错误. 故选：AD. 2．（多选）（23-24高二上·江苏徐州·期中）方程表示的曲线中，可以是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 【答案】AB 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、由方程求曲线的图形、抛物线方程的四种形式与位置特征 【分析】根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可. 【详解】因为，则该曲线不表示圆，故C错误； 若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确； 若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确； 该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误； 故选：AB. 题型五 圆锥曲线的焦点三角形问题 例题1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 例题2．（多选）（23-24高二下·河北·期末）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（       ）    A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】AD 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；B.应用余弦定理，正确表示离心率，即可判断；C.根据勾股定理，并表示离心率，最后应用基本不等式，即可判断；D.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为， 而，故B错误； C. 若，则，则， 则， ， 当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误； D.在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由离心率得，利用双曲线定义可得，由勾股定理逆定理可知为直角三角形进而得面积. 【详解】由题意可知，所以， 由双曲线定义可得，则， 则， 所以为直角三角形， 所以． 故选：B. 2．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 【答案】AD 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据椭圆方程即可判断A正确，设出点坐标并利用椭圆性质及其范围可判断B错误，满足的点在以为原点，1为半径的圆上，此时圆与椭圆无交点，即C错误；利用椭圆定义求得的表达式并利用二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确； 对于B，设，则， 又点在上，则，即，所以， 由得，所以， 因此不可能为，B错误； 对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上， 易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误； 对于D，由椭圆的定义可得，， 易知，则，D正确． 故选：AD 题型六 椭圆、抛物线中的离心率问题 例题1．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意结合椭圆定义可求出，再由通径定义可得，进而求出，再由结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以由椭圆定义得， 又由椭圆通径定义可知，所以，即， 所以. 故选：A. 例题2．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，过作，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过作于，则，而为线段中点， 于是，， 由，得，，， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 巩固训练 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、余弦定理解三角形 【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率. 【详解】令椭圆：（）的半焦距为， 设，则，由点在轴上， ，得， 而，，因此， 即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，而， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线共焦点，设的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解 【分析】先确定抛物线方程，进而得到其准线方程，过向准线做垂线垂足为，结合，结合，得到，代入数据即可求解. 【详解】 设的半焦距为，因为抛物线与双曲线共焦点，所以的方程为， 故的准线的方程为，过作于，则由抛物线的定义可知， 易知，所以， 又，所以，即， 即，解得（负值舍去）． 故答案为： 题型七 直线与圆锥曲线的位置关系 例题1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】方程变形，分析曲线为半椭圆形状，再由直线与椭圆的位置关系，利用代数法求解判别式，结合图形分析范围可得答案. 【详解】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 例题2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 例题3．（23-24高三·全国·期末）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解； 【详解】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，消得，， 当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条． 故选：B. 巩固训练 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案. 【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B    2．（23-24高二下·安徽·期末）直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、双曲线中的直线过定点问题 【分析】按l的斜率存在与否写出直线l的方程，利用方程组有唯一解即可作答. 【详解】直线l的斜率存在时，设l的方程为：， 由得， 时，不成立，方程组无解，时，解得，方程组有唯一解，即直线l与双曲线有唯一公共点， 时，， 即直线l的斜率存在时，符合条件的直线只有一条， 当直线l的斜率不存在时，直线l：x=2，代入双曲线方程得y=0，即直线l与双曲线也有唯一公共点， 所以符合条件的直线有2条. 故选：B 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 题型八 圆锥曲线中的中点弦问题 例题1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得解. 【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意； 故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得， ， 有，，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 例题2．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法求出斜率即可. 【详解】设，因为点在双曲线上， 所以， 两式相减得到， 因为过点且被平分， 所以，代入上式可得， 故选：C 例题3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案. 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为. 故选：C. 巩固训练 1．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程. 【详解】不妨设，所以， 两式相减可得，整理可得， 根据题意可知直线的斜率为， 由的中点坐标为可得； 因此，可得， 又焦点为可得，解得； 所以椭圆的方程为. 故选：A 2．（23-24高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 3．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】设直线与抛物线的交点坐标，代入抛物线方程点差法求解斜率，进一步利用点斜式方程求出直线方程 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点， 设，则，两式相减得， 整理得，因为MN的中点为，则， 所以，所以直线l的方程为即. 故选：A 题型九 圆锥曲线中的弦长问题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为，左顶点为A，且为AO的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆方程为：，椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点，试求弦长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）先写出相似椭圆的方程，设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、距离公式进行求解. 【详解】（1）∵椭圆C的中心在原点O，左焦点为，∴，， ∴，椭圆C的方程为． （2） 椭圆C的3倍相似椭圆的方程为：， ①若切线垂直于轴， 则其方程为：，解得，； ②若切线不垂直于轴， 可设其方程为， 将代入椭圆方程，得，，即， 设两点的坐标分别是， 将代入椭圆方程，得， 此时，， ， 由于，所以，即， 综合上述． 例题2．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 例题3．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知过点的直线l与抛物线相交于两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设直线的方程为，联立，消元得，再利用韦达定理得到，进而得到，从而得到，即可证明结果； （2）由，再根据（1）中结果及条件即可求出结果. 【详解】（1）由题可设直线的方程为，， 由，消得到，， 由韦达定理得，， 又， 因为，所以，得到，所以. （2）因为，由（1）知， 所以，解得， 所以，直线l的方程为或. 巩固训练 1．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知椭圆方程为（），为椭圆的焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3，椭圆的长轴为4． (1)求椭圆的方程． (2)已知圆，过点且斜率为的直线和椭圆交于两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据焦半径公式以及长轴长，即可求得，可得椭圆方程； （2）易知，设出直线方程并于椭圆联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】（1）因为为椭圆上的动点，的最大值为3，则 又由椭圆的长轴为4，则， 由 即椭圆的方程 （2）由（1）知椭圆的方程， 圆的圆心为， 则过点且斜率为的直线的方程为 因为直线和椭圆交于两点，设， 代入椭圆得 由， 可得， 解得 2．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且. (1)求双曲线及其渐近线的方程； (2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长、双曲线中的通径问题 【分析】（1）根据题意可得，求出，再由双曲线的定义求出，即可得出方程； （2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出， 再联立直线与渐近线方程得出的横坐标，再由弦长公式求出，再由即可得解. 【详解】（1）由题意知，，即， 由轴，可知，代入双曲线方程可得， 又，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，，所以， 设直线方程为 ，，，，， 由，可得， ，， ， 由可知双曲线的渐近线方程为和， 联立可得，同理可得 由可得，， 化简可得，即， 整理得，，解得. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可. 【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得， 因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得， 所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为. （2）设的方程为：，则， 由消去得：，则，， 由，得，则，满足， 因此，，， 所以．    题型十 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（中等难度） 例题1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)． 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可； （2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得， 则椭圆的方程为． （2）易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得 ， 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． 例题2．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程； （2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以. 例题3．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）由椭圆的定义可得准线到轴的距离为，从而求出； （2）依题意直线，的斜率均存在，且不为0，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出，同理可得，再由及基本不等式计算可得. 【详解】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为， 即，可得， 抛物线的方程为：． （2）由（1）可得焦点， 由题意直线，的斜率均存在，且不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 可得，， 由抛物线的性质可得， 同理可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 巩固训练 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【知识点】数量积的坐标表示、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再由弦长公式计算可得结果. 【详解】（1）将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； （2）由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得， 所以， 则， 所以 ， 解得，即， 所以， 则的面积. 2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，虚轴上､下两个端点分别为，，右顶点为，且双曲线过点，. （1）求双曲线的标准方程； （2）设以点为圆心，半径为2的圆为，已知过的两条相互垂直的直线，，直线与双曲线交于，两点，直线与圆相交于，两点，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由得，由双曲线过点得，两个方程联立求出和，可得双曲线的标准方程； （2）设直线：，根据垂直关系得直线：，求出弦长和，求出，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知，，，， 则，. 因为，所以，即.① 又双曲线过点，所以.② 由①②解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）设直线：，，， 则由，得直线：，即. 因为圆心到直线的距离， 所以，又，故. 联立消去得， ， 则，， 所以， 则， 又，所以. 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：设直线：，用表示和是本题的解题关键. 3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知为抛物线上一点，经过点且斜率为的直线与的另一个交点为，与垂直的直线与的另一交点为． (1)若直线经过的焦点，求直线的方程； (2)若直线与直线关于对称，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线两点式方程及辨析、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意求出，根据抛物线定义求出焦点，最后利用两点式求出直线的方程； （2）设，，由点斜式得直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，利用根与系数的关系得，同理得，然后根据直线上两点求斜率的公式化简求出直线的斜率，再根据，求出的值，进而求出两点的坐标，最后根据，求出的面积即可. 【详解】（1）由在抛物线上， 则可得，解得， 故抛物线，所以焦点， 又直线经过两点，则直线的方程为， 即； （2）    由题意知，直线的斜率存在且不为， 设，直线的方程为， 由，联立可得， 又，解得， 由根与系数的关系可得，解得， 因为直线与直线关于对称，则可得直线的斜率为， 设，直线的方程为， 由，联立可得， 又，解得， 由根与系数的关系可得，解得， 则可得， 又直线的斜率， 又，则， 因此可得，则，故， ，则，故， 则，， 所以. 题型十一 圆锥曲线中的定点、定值问题（中等难度） 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可； （2）设方程及坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及两点斜率公式化简计算即可. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为4， 由题得， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为， 其中， 所以的方程为． （2）易知直线的斜率不为0， 设的方程为，， 联立，得， 则， 又可知点，所以， 由得， 又，所以， 即， 又， 代入得， 整理可得， 因为两点不在轴上，所以， 所以，化简得， 所以，直线的方程为， 故直线恒过定点． 例题2．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的标准方程为； （2）设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 例题3．（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）设圆心，半径为，由两点间距离公式和圆的弦长公式列方程，消去即可； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去x，利用斜率公式将用坐标表示，然后由韦达定理代入化简即可. 【详解】（1）设圆心，半径为，由圆过点得， 又因为圆在轴上截得的弦长为4，所以， 则，整理得. （2）易知直线的斜率不为0， 设直线方程为，即， 联立消去得， 由得或， 设，则， ， 所以， 即等于定值1. 巩固训练 1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）设，根据题设得到，从而得到，即而有和，联立即可求解； （2）设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，从而得到， ，同理求得，，即可求解. 【详解】（1）设，且， 因为，又， 所以，解得， 又点在上，所以①，又②，联立①②，解得， 所以的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为， 由，消得到， 所以，得到，所以， 同理可得，， 所以为定值， 即直线的斜率为定值，定值为. 2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点. 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设出动圆的圆心坐标，利用圆的性质列出方程并化简即得. （2）设出直线的方程，与曲线C的方程联立，利用韦达定理求出以MN为直径的圆的方程即可推理得证. 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足， 所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，， 由消去x并整理得，恒成立， 则，令圆心为，则，，， 直径， 则圆的方程为， 当时，， 因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点.    题型十二 圆锥曲线中的定直线问题（中等难度） 例题1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)直线与交于两点， （i）求面积的最大值； （ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析，． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，即可求解； （2）（ⅰ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值； （ⅱ）利用韦达定理，结合向量的坐标公式，表示点的坐标，即可求解定直线方程. 【详解】（1）设焦距为，依题意，解得 又，所以， 所以的方程为． （2）（i）设， 因为，所以， ，解得， 所以， 点到直线的距离， 的面积 当且仅当，即时，面积的最大值为． （ii）设，由，有， 即 因为，所以， 故，于是有， 所以点在定直线． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用韦达定理表示弦长，以及坐标. 例题2．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定直线 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意列式求出，即得答案； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论. 【详解】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 巩固训练 1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点 (2)证明见解析 【知识点】椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）设出平行直线的方程，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式，消去参数，即可得证． 【详解】（1）依题意，设这组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 即，即， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点； （2）由（1）知直线和椭圆方程联立，可得， 此时，则，则中点的横坐标为， 代入直线方程可得截得弦的中点为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 2．（2024·广西·模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的定直线、根据韦达定理求参数 【分析】（1）解：设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】（1）解：设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）证明：设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系． 题型十三 圆锥曲线中的向量问题（中等难度） 例题1．（23-24高二下·天津·期中）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】椭圆中向量点乘问题、根据韦达定理求参数、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由椭圆的几何性质，转化为关于的方程，即可求解； （2）首先设点的坐标，由条件转化为关于坐标的关系式，再设直线方程与椭圆方程联立， 【详解】（1）由题意可知，，，则，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 直线的方程为，， 直线的方程为，， 则，，，，， ① ，则， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， ，，② ， ， ，③ 将②③代入①得，， 整理为，即或， 若，则直线为，过点，不符合题意，舍去， 若，则直线为，过原点，此时， 又因为，所以，，代入椭圆方程得，， 则，又， 所以， 所以点的坐标为. 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线中存在定点满足某条件问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）由题意得，由此可得，而为抛物线焦点到直线的距离，由点到直线的距离公式即可得解. （2）将直线与双曲线方程联立，由，解得或，结合韦达定理以及，求得参数，并注意检验，由此即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点是双曲线M的一个顶点，即，， 所以双曲线M的方程是． （2）设，联立方程得消去y得， ∵，解得或（*）， 由韦达定理， ∵，∴即， 所以，解得， 不满足（*）式，所以不存在m符合题意． 巩固训练 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）． (1)若椭圆的焦距为6，求的值； (2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值． 【答案】(1)12 (2)20 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）由焦距以及之间的关系列方程即可求解； （2）设出直线方程，并与椭圆方程联立，结合已知和韦达定理即可求解. 【详解】（1）设焦距为，则，解得． （2） 要使点的横坐标最大，需直线斜率存在． 设，与椭圆联立得， 由韦达定理：． 由知，故， 要使点的横坐标最大，在这里不妨取， 所以，当且仅当时，等号成立． 当时，，即，此时． 2．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中向量点乘问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）结合已知，将双曲线上的点代入计算即可求得； （2）设，则有，然后利用数量积的坐标运算化简整理为二次函数，利用函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由双曲线过点且，故， 故，故的标准方程为； （2）设，则， 因为点在第一象限，所以，且，， 所以， 所以的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$