第3章 圆锥曲线与方程（单元复习 11类压轴题专练）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程（压轴题专练） 压轴一 圆锥曲线中离心率定值，最值，范围问题 1．（多选）（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（    ） A．面积为 B．若，则 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为 . 3．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，．则 ，的取值范围是 ． 4．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是 ． 5．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为 ． 6．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 . 压轴二 直线与圆锥曲线位置关系（小题） 1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津和平·期中）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 压轴三 圆锥曲线中弦长问题 1．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 2．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：. 3．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于两点. (1)证明：当时，与抛物线相切； (2)当时，求. 4．（2024·青海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率． 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，是双曲线上一点，且的面积为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 6．（2024·广东茂名·一模）已知抛物线，为抛物线的焦点，其为准线上的两个动点，且.当时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段分别交抛物线于点，记的面积为，的面积为，当时，求的长. 压轴四 根据弦长求参数 1．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. (1)设直线的斜率为，已知，求证：； (2)直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 3．（23-24高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为C上一点，的面积的最大值为. (1)求C的方程； (2)若直线与圆相切，与椭圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 4．（23-24高三上·广东揭阳·期末）已知F是抛物线E：的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点.当轴时，（O为坐标原点）的面积为2. (1)求E的方程； (2)设过点F的直线与E交于C，D两点，且.当时，求直线l的方程. 压轴五 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 1．（24-25高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为． (1)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； (2)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值． 2．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 3．（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 4．（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理： 定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点． 定理：过抛物线上一点处的切线方程为． 完成下述问题： 已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点， (1)若，求线段的长度； (2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点； (3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围． 压轴六 圆锥曲线中参数范围及最值问题 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为. (1)求的值； (2)为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， (1)求双曲线的标准方程； (2)若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 4．（2024·四川泸州·二模）设F为抛物线H：的焦点，点P在H上，点，若． (1)求H的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO（O为坐标原点）与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 压轴七 圆锥曲线中定点问题 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 2．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． (1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）平面直角坐标系中，过点的动直线l与抛物线交于A，B两点且． (1)求t的值； (2)若点M在x轴上且，在x轴上是否存在确定的点P，使得当动直线l不与x轴垂直时，恒有．若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 压轴八 圆锥曲线中定值问题 1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 3．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点. （i）求与的面积之比； （ii）证明：为定值. 压轴九 圆锥曲线中定直线问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 2．（2024·河北·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为. (1)求的方程； (2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程. 3．（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 压轴十 圆锥曲线中向量问题 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，是双曲线的左、右焦点，，点在上. (1)求的方程 (2)设直线过点，且与交于，两点. ①若，求的面积； ②以线段为直径的圆交轴于，两点，若，求直线的方程. 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：； (3)若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率. 3．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 压轴十一 圆锥曲线中新定义问题 1．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 2．（23-24高三上·贵州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． (1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． (2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程（压轴题专练） 压轴一 圆锥曲线中离心率定值，最值，范围问题 1．（多选）（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（    ） A．面积为 B．若，则 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，，，不妨设M在第一象限．，，，，． .根据余弦定理、同角三角平方关系和三角形面积公式可判断A；根据不同的条件结合余弦定理和离心率公式计算判断其余选项； 【详解】设，，，，不妨设M在第一象限． ∴，，∴，，． . 对于A，在中，由余弦定理可得， ， ，A正确． 对于B，在中，由余弦定理可得， 即， ∴． ∴ ∴，∴．B正确； 对于C，当时， 即，所以，所以．∵， ∴．设，∴， 所以．C错误； 对于D，，记， ∴，即．D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是经过计算变形得到，，．，结合这些条件即可判断选项. 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，利用余弦定理求出最小时的值，确定在中，，再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知； 设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值， 则此时在中，， 则, 即，整理得， 故椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用余弦定理确定最小时的值，进而再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 3．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，．则 ，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由椭圆的离心率求参数的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得，因此可求得；求出的表达式再根据三角形三边关系可求得，利用函数单调性即可求得结果. 【详解】如下图所示：    根据椭圆定义以及双曲线定义可得，解得； 显然，可得； 又且，其中； 可得，所以，即； 所以． 令，则． 因为，所以． 又，所以有，所以有； 又，所以有，所以有， 所以可得． 设函数，则，函数在区间上单调递增， 所以，所以． 即可得的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度表达式，再进行相关问题求解. 4．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是 ． 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出辅助线，设，得到，由椭圆定义和勾股定理得到方程，得到，故，设，，由对勾函数性质得到函数单调性，从而得到，求出离心率的取值范围，得到最大值. 【详解】连接，设， 因为点在第一象限，所以， 由对称性可知， 因为，所以，即， 由椭圆定义可得， 由圆的性质得⊥，由勾股定理得， 所以，即， 因为， 设，，则， 由对勾函数性质，单调递增， 所以，即， 当时，解得，即，解得 当时，解得，即，解得， 综上，所以C的离心率的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 5．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理及辨析、面面垂直证线面垂直、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，可得两两互相垂直，且，，从而可求得，，，利用余弦定理建立关于的方程即可求解. 【详解】    由题意，，所以，， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，且面， 所以平面，又平面，所以， 所以， ， 因为， 所以由余弦定理有， 即， 所以，即， 所以或，又离心率， 所以， 故答案为：. 6．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 . 【答案】 3 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题 【分析】根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可. 【详解】由题意知M在双曲线右支上，， 设，设点，则， 即， 则， 即， 又， 所以，所以，所以. 点在双曲线C右支上，所以，所以. 由对称性可得为的中点， 在中，， 即， 又在中，， 所以， 由于，故， 故， 所以双曲线的离心率的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可. 压轴二 直线与圆锥曲线位置关系（小题） 1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点关于直线的对称点、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解. 【详解】设，线段的中点， 若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称， 所以直线的方程可以设为， 联立，化为， ，解得， 而，所以，即， 代入直线可得， 所以，即实数m的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高二上·天津和平·期中）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求直线关于点的对称直线、求平面两点间的距离、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解得个数，即可选出答案. 【详解】直线关于原点对称的直线为 联立，解得或 则，，所以 又的面积为，所以边上的高为 设，则，点到直线的距离 化简得：或 联立，得，其中，故方程无解； 或，得，其中，方程有两个不同解. 即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个. 故选：B 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条. 【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求； 当过点的直线斜率存在时，其方程可设为， 由，整理得 当时，方程可化为，方程仅有一根， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，方程可化为，方程仅有一根， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，若方程仅有一组解， 则，解之得 此时方程为，整理得，则 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意 综上，满足条件的直线共有4条 故选：D 4．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】首先去绝对值符号画出曲线C的图象，再分析可得的图象是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的，通过数形结合的方式即可求得答案. 【详解】曲线C：， 曲线， 当时，曲线可作图如下：   ， 此时交点个数为3，即； 当时， 若，则曲线，相当于将向上平移了k个单位； 若，则曲线，相当于将向下平移了k个单位； 因此曲线是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的， 当k在增大的过程中，图象变化如下： 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：    ， 此时； 故答案为：. 压轴三 圆锥曲线中弦长问题 1．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）直接由题意建立关于的方程组求出即可得解. （2）当直线l的斜率不存在时易得；当直线l的斜率存在时设其方程为，由直线l与圆相切得参数k与m的关系式，由直线与椭圆相交联立方程得韦达定理，再根据弦长公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，， 所求椭圆方程为. （2）①当直线l的斜率不存在时，，将其代入得， 故可得；    ②当直线l的斜率存在时，设，，， 由与圆相切，所以圆心到的距离， 所以， 由得， 所以 ， 设，则， ， 当时， 当时， ， 当且仅当即时等号成立，所以， 又因为，所以. 2．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：. 【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）设双曲线的渐近线为，将代入渐近线方程，得出方程.，解出c，综合解出即可. （2）斜率不存在是刚好满足，斜率存在与渐近线平行时也成立，分情况讨论，求出直线方程即可. （3）用弦长公式求出，看做k的函数，后借助导数知识研究函数最小值，结合放缩即可证明. 【详解】（1）设双曲线的渐近线为， 因为点在双曲线的一条渐近线上，所以， 又，故， 又解得，故双曲线的方程为. （2） 如图，当直线斜率不存在时，，满足题意； 如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得， 当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点， 此时，， 此时直线方程为：，即 综上：直线的方程为或. （3）由题，直线斜率存在， 设直线方程为，即，， 联立，整理得：， 则 由弦长公式： 令，则, 则,，则 令,与同正负.，此时，则，即单调递增， 则，且， 则，使得 则当，即，则单调递减. 当，即，则单调递增. 则在出取得最小值,且， 故 即，原命题得证. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的计算，计算过程十分复杂，计算量大，并且基本都是关于字母参数的运算，要求十分仔细才可以. 3．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于两点. (1)证明：当时，与抛物线相切； (2)当时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、判断直线与抛物线的位置关系 【分析】（1）由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可求出，从而可求出的坐标，则可求出直线方程，分别与抛物线方程联立可证得结论； （2）由（1）可得平分，则，利用三角函数恒等变换公式可求出，从而得，，两式相乘化简可求得，再利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得，设直线为，， 由，得， ， 所以， ，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，，得， 所以直线为，则， 此时直线关于对称， ，， 所以为，直线为， 由，得，， 所以方程组只有一组解，所以直线与抛物线相切， 由，得，， 所以方程组只有一组解，所以直线与抛物线相切， 综上，当时，与抛物线相切； （2）由（1）可知，，， 所以， 所以平分， 因为，所以， 因为， 所以，， 所以， ， ， 所以， ，得， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线与直线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查弦长公式的应用，考查抛物线的焦点弦问题，解题的关键是将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合斜率公式得到平分，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题. 4．（2024·青海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据弦长求参数、求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由离心率公式求出即可； （2）首先计算直线的斜率为时不符合题意，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出，再求出点坐标，即可得到，从而得到方程，求出即可. 【详解】（1）因为椭圆：的离心率为， 所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）可得， 当直线的斜率为时，则，，， 所以，，显然不满足，故舍去； 依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 显然，则，， 所以 ， 又解得，所以， 所以， 因为，所以，解得， 综上可得的斜率为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，是双曲线上一点，且的面积为. (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的弦长、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）依题意可得，从而将方程化为，再由三角形面积及点在曲线上求出，即可得解； （2）依题意可得，当直线的斜率不存在时直接求出，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，再由弦长公式及计算可得. 【详解】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，所以直线的斜率大于1． 由两条渐近线的夹角为，可得，因为，所以， 即双曲线方程为， 因为的面积为，所以，所以． 因为点在双曲线上，所以将点的坐标代入方程可得， 解得或．因为条件，所以，即双曲线的方程为． （2）因为以为直径的圆过坐标原点，所以，所以，即， ①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设， 由可得， 又点、在双曲线上，代入可得，解得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立消去整理得（*）， 因为直线与双曲线交于两点，所以， 即． 设，， 则， 由得到，所以， 即， 即， 所以， 化简得． 所以 ． 当时上式取等号，且方程（*）有解． 综上可得的最小值是． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 6．（2024·广东茂名·一模）已知抛物线，为抛物线的焦点，其为准线上的两个动点，且.当时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段分别交抛物线于点，记的面积为，的面积为，当时，求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】由弦长求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，，再由等面积法求出，即可得解； （2）设直线的解析式为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到，再由得到线段的比例关系，从而求出，再计算出，最后根据及韦达定理计算可得. 【详解】（1）方法一：，，， ，解得，， 在中，根据等面积法， ，解得， 抛物线的标准方程为； 方法二：设轴与准线的交点为. 当时，， ，. ，， 抛物线的标准方程为； （2）由（1）可得抛物线的焦点，准线为， 依题意，直线的斜率不为， 设直线的解析式为，，. 联立，消去得，显然， ，. 由，则，可得，，整理得.① 易知直线的解析式为，令，可得， 同理可得. ， ，即，. ，，，即，. . 所以 . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 压轴四 根据弦长求参数 1．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】由弦长求参数 【分析】先判断直线的斜率存在，然后设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长求得直线的方程与倾斜角，求得点、点的坐标，进而求得. 【详解】抛物线，，焦点，准线. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 由解得，则不符合题意，所以直线的斜率存在. 设， 由消去并化简得①， ， 设，则， 则，， 不妨设，在第一象限，则直线，倾斜角为. 所以， ①式为，即，解得， ， ， 所以， 则，所以. 由于，所以. 所以. 故选：D 【点睛】求解直线和抛物线相交所得弦长问题，一定要注意的是判断直线的斜率是否存在.如果直线过抛物线的焦点，则可用来进行求解，其它情况用来进行求解. 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. (1)设直线的斜率为，已知，求证：； (2)直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率、求椭圆中的弦长、根据弦长求参数 【分析】（1）利用点差法表示直线和直线的斜率关系，再利用点在椭圆内，建立不等式，即可求解； （2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，以及点的坐标，并得到直线的方程，并求解弦长，根据条件得到代入公式，即可求解. 【详解】（1）设， 由，得，变形得， 即，故，又，解得，故. （2）由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 可得. ， 则弦的中点的坐标为， 故的方程为.联立，得， 由对称性，不妨设，则，其中. 可得. 由题意， 且， 故，即 代入，得， 解得，故直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是将条件等式转化为，从而利用韦达定理表示弦长和. 3．（23-24高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为C上一点，的面积的最大值为. (1)求C的方程； (2)若直线与圆相切，与椭圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据弦长求参数 【分析】 （1）由题意知求得，结合离心率解得，则椭圆方程可得 （2）利用直线和圆相切，得到一个方程，后利用弦长得到另一个方程，联立求解即可. 【详解】（1）由题意知，当面积最大时，, 又，所以， 故的方程为. （2）   因为直线与圆相切，则直线方程也为， 所以，， 设， 联立方程，消去，得， 则，即，显然成立， 此时， 因为， 所以，即， 整理得， 又，所以， 解得（负值舍去），则， 所以直线的方程或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（23-24高三上·广东揭阳·期末）已知F是抛物线E：的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点.当轴时，（O为坐标原点）的面积为2. (1)求E的方程； (2)设过点F的直线与E交于C，D两点，且.当时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】抛物线的通径问题、由弦长求参数、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线的通径代入三角形的面积公式计算可得结果. （2）联立直线l的方程与抛物线方程，由韦达定理及抛物线定义得，同理可得，进而得，由抛物线的定义可得，进而得，代入计算可得结果. 【详解】（1）当轴时，AB为抛物线E的通径，此时. 易知，所以OF是△OAB的高， 所以△OAB的面积，解得， 所以E的方程为. （2）由题意可设直线l的方程为，，， 联立，得，， 则，. 根据抛物线的定义，得，， 所以， 整理得. 设直线的方程为，同理可得. 因为，所以， 解得（舍去）或，即， 所以， 同理可得. 当时，即，解得， 所以直线l的方程为或. 压轴五 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 1．（24-25高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为． (1)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； (2)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析， 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【详解】（1）由椭圆方程可知：， 则，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. （2）由题意，， 设直线的方程为，， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. 2．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据，即可根据椭圆中的关系以及离心率公式求解， （2）（i）联立直线与椭圆方程，根据判别式为0可得，进而可得，利用向量的坐标运算，即可求证； （ii）根据法向量可得切线方程，进而根据点到直线的距离公式可得是平行四边形，结合全等和切线长性质可得是菱形，即可根据三角形相似，结合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意可知椭圆满足， 故. （2）（i）由测量数据可得，， 故，，墙壁所在直线， 易知直线斜率存在，设，可得， 设切线，联立， 则， 相切可得， 则， 则， 切点， ， 故，，，， 故，则. （ii）设动点，则，不妨设过点的两条切线法向量为， 过点的两条切线法向量为，均为非零向量， 故切线方程为和， 则满足和. 由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为, 由于关于原点对称，故也关于原点对称，又, 故故，故平行四边形是菱形. 下面研究菱形的面积： 过作PR的垂线GH，则，由（i）可知,故， 设，则有：，解得，则， 其中的取值范围是， 设，在上是单调函数， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将四边形的面积用表示出来，然后再利用函数的单调性求解最值． 3．（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由题意，设双曲线的半焦距为c（c＞0），结合题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解； （2）将双曲线方程与直线l的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到|AB|，设出直线AD的方程，将直线AD的方程与双曲线方程联立，利用根与系数的关系再进行求解即可． 【详解】（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为的一条渐近线的倾斜角为， 所以，① 因为一个焦点到上的点的最小距离为， 所以，② 又，③ 联立①②③，解得， 则的方程为； （2）联立，消去并整理得， 不妨设， 由韦达定理得， 不妨设，所以， 此时， 易知直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理， 所以 ， 故四边形的面积. 4．（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理： 定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点． 定理：过抛物线上一点处的切线方程为． 完成下述问题： 已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点， (1)若，求线段的长度； (2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点； (3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【知识点】求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据定义求得，再求出切线的方程，得到，再利用两点间的距离公式即可得解； （2）写出两条切线方程，然后联立求得切线交点的坐标，然后利用在直线上，即可得证直线过定点，并可求出定点坐标； （3）由（1）（2）得，然后利用求得四边形的面积，通过换元，构造函数，借助导数求出函数的值域即可得解. 【详解】（1）由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号， 设，因为，， 不妨设，则方程为，即，，， 所以线段CF的长度为.    （2）设，直线， 联立，可得. 在轴两侧，，， 所以点处的切线方程为，整理得， 同理可求得点处的切线方程为， 由，可得， 又在直线上，，直线过定点.    （3）由（2）可得在曲线上，.    由（1）可知， ， 令在单调递减， 四边形的面积的范围为 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是结合定义，求出；第（2）小问的关键是联立两切线方程，求出切线方程交点Q的坐标；第（3）小问的关键是借助（1）（2）小问的结论，将表实成只含一个参数的式子，然后构造函数，求出值域从而得解. 压轴六 圆锥曲线中参数范围及最值问题 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为. (1)求的值； (2)为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中的定直线、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题可知，当时，设椭圆左焦点为，则，再根据椭圆定义和三角形面积可求得，，的值，即可求得； （2）由题可知点，直线的斜率不为0，设其方程，并和椭圆方程联立，根据韦达定理及相关知识，可确定点的轨迹方程，设直线的倾斜角分别为，则，再根据两角差的正切公式即可求得结果. 【详解】（1）因为①， 设椭圆的左焦点为，因为，所以. 即，又，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以②，又③， 由①②③，解得，所以. （2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为， 联立，得， 设，易得，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 因为，所以，解得 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为. 2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， (1)求双曲线的标准方程； (2)若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程； （2）①由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证； ②由得到，结合①中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， 则当l与x轴垂直时，不妨设， 由，得， 将代入方程，得，解得， 所以双曲线E的方程为． （2）①设，，， 由与，得， 即，，将代入E的方程得：， 整理得：①， 同理由可得②． 由①②知，，是方程的两个不等实根． 由韦达定理知，所以为定值． ②又，即， 整理得：， 又，且，所以，则， 整理得，又，故， 而由①知，，故， 代入， 令，得， 由双勾函数在上单调递增，得， 所以m的取值范围为． 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求抛物线的切线方程、抛物线中的参数范围问题、由弦长求参数 【分析】（1）联立直线与方程可得与横坐标有关韦达定理，结合弦长公式计算即可得解； （2）借助导数可得、，从而得到，结合韦达定理可表示出，结合圆的纵坐标的范围即可得解. 【详解】（1）设点， 由，可得， 则，， ，解得， 即抛物线； （2）设点，，，其中，， 由，即，， 则，， 则有， 即，都在直线上， 化简得， 将直线的方程代入得， 则，， 则 ， 又为的一点，则，故． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（2024·四川泸州·二模）设F为抛物线H：的焦点，点P在H上，点，若． (1)求H的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO（O为坐标原点）与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的参数范围问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解； （2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式，从而得解. 【详解】（1）依题意，点的坐标为， 又，，所以点的横坐标为， 由拋物线的定义得，所以， 所以拋物线的方程为. （2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为， 联立，消去，得，易知， 设，则，故， 易得直线的方程为，抛物线的准线方程为:， 所以点的坐标为， 因为，所以，即点， 所以直㦱平行于轴，则直线的斜率为， 所以直线的斜率为，其方程为， 因为点的纵坐标为， 所以点的横坐标为， 所以 ， 因为，则，所以， 即的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 压轴七 圆锥曲线中定点问题 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 2．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． (1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）由题意先求出双曲线方程，即可确定，进而设出直线方程求得坐标，即可求得答案； （2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设其方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合化简，可得的关系，即可求得直线所过定点坐标，再说明直线斜率不存在时也过该定点，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知， 设，故， 则 ， 当时，取到最小值，即， 又，则， 故双曲线方程为； 将代入可得，由于是双曲线在第一象限内的点，故， 又双曲线渐近线方程为， 不妨设QA方程为，联立， 解得，则, 设QB方程为，联立，得， 则， 由双曲线渐近线方程可知，则, 则为钝角，结合，可得， 故四边形OAQB的面积为； （2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为，设， 联立，得， 则， 因为，故， 故 即， 可得 即得或； 当时，直线l方程为过点，不合题意； 当时，直线l方程为过点； 当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则可取， ，解得或， 时，直线l过点Q，不合题意； 时，直线l也过点， 综合上述，直线l过定点. 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类题目，比如面积问题以及定值定点问题，解答的思路并不困难，难点在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，计算量较大，需要十分细心. 3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）平面直角坐标系中，过点的动直线l与抛物线交于A，B两点且． (1)求t的值； (2)若点M在x轴上且，在x轴上是否存在确定的点P，使得当动直线l不与x轴垂直时，恒有．若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)存在， 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设，根据向量垂直结合韦达定理运算求解； （2）根据题意分析可知点在的外接圆上，，可得，利用韦达定理分析求解. 【详解】（1）由题意可知：动直线l的斜率可能不存在，且不为0，且， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为，则， 可得， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以t的值4. （2）设， 由（1）可知：，，此时， 且， 若，且，则， 可知点在的外接圆上，结合，可知， 则，可得， 整理可得，即， 且，则，即， 所以存在点. 【点睛】方法点睛： 1．过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点； 2．求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值． 压轴八 圆锥曲线中定值问题 1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程. （2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明. 【详解】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题中条件找到双曲线中的，从而求出的方程. （2）利用平移齐次化进行证明即可. 【详解】（1）由双曲线过点，则， 又离心率为2，则，即， ，即，代入， 可得，，， 因此，的方程为：. （2） 将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线为，得到的双曲线如图所示， 则平移到，平移到， 平移后，变为，，设，，直线的方程为：①， ②， 将①代入②，用“1”的代换得，则， 各项同时除以，得，则， 又直线过，则，即， 因此， 故当直线，的斜率存在时，，的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：平移齐次化的步骤， （1）平移； （2）与圆锥曲线联立并其次化； （3）同除； （4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去. 3．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点. （i）求与的面积之比； （ii）证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）当点为短轴的端点时，面积最大，然后根据题意建立方程组求解即可； （2）先利用直线与直线平行，设直线方程为，然后计算出，再与椭圆联立，得方程，设点，然后用韦达定理得到，分别计算两个小问即可. 【详解】（1）根据题意解得， 所以椭圆的方程为 （2）如图所示： 设直线的方程为，则， 联立方程消去，整理得， ，得 设，则. （i）， ， 与的面积之比为1. （ii）证明： . 综上，. 压轴九 圆锥曲线中定直线问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为， 点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：， 直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 2．（2024·河北·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为. (1)求的方程； (2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】双曲线中的动点在定直线上问题、求双曲线中的最值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）分别求出均位于双曲线的右支时或分别位于双曲线的左､右支时的最小值，再根据题意进行取舍，进而求出曲线的方程即可； （2）先讨论斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，直线与双曲线联立，解出的取值范围，由的外心落在轴上，可得，则，最后解出的值，进而解出直线的方程. 【详解】（1）当均位于的右支时，， 当分别位于的左､右支时，， 因为，且，所以（舍）， 所以，即， 所以双曲线的方程为. （2） 由曲线的方程为，可得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得， 则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴， 若外心的横坐标，则，但此时，， 由，则不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，联立消去可得， 由题意知恒成立， 设，则， 由于位于双曲线的右支，所以，即， 解得或， . 设的中点， 则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， 所以，显然，则，可得， 由，则， 又因为， 可得:， 整理得， ， 即，由，则，满足， 所以直线方程为，即或. 【点睛】关键点点睛：由一元二次方程的判别式大于得出直线斜率的取值范围，再由题意结合图象得到关于的高次方程，结合的取值范围降次得到的值. 3．（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【知识点】由弦长求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定直线 【分析】（1）由抛物线的对称性知，由四边形的面积求出，又的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出，即可得解； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，联立解得，即可得证. 【详解】（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于， 直线的方程为，由抛物线的对称性知， 所以，得． 联立方程组，消去得． 设两点的横坐标分别为，则，． 又，所以，所以的方程为． （2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为， 则直线的方程为． 联立方程组消去得，显然， 设，则． 设，同理可得， 所以，同理可得． 直线的方程为， 即． 同理，直线的方程为 ． 两直线方程联立得，解得， 即直线与的交点在定直线上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 压轴十 圆锥曲线中向量问题 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，是双曲线的左、右焦点，，点在上. (1)求的方程 (2)设直线过点，且与交于，两点. ①若，求的面积； ②以线段为直径的圆交轴于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）由题意可得双曲线的焦点坐标，结合双曲线的定义可得的值，从而可得双曲线的方程； （2）①设，由已知可得点坐标为，代入双曲线方程解得点坐标，根据即可求解； ②当直线与轴垂直时，不满足条件，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，，，联立直线与，由得且，由，是以线段为直径的圆交轴的交点，根据韦达定理表示两点间距离可求解的值，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意可知，所以，， 由点在上，根据双曲线的定义可知， 即，所以， 则，所以的方程为； （2）①设，， 因为，所以， 所以点坐标为， 因为，在双曲线上，所以， 解得，，所以点坐标为， 所以； ②当直线与轴垂直时，此时不满足条件， 设直线的方程为，，，，， 直线与联立，消去，得， 所以，， 由，得且， 以AB为直径的圆方程为， 令，可得，则，为方程的两个根， 所以，， 所以 ， 解得（舍）或，即， 所以直线的方程为：. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用设线法并联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出两点直径式方程，代入韦达定理式计算即可. 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：； (3)若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由直线斜率求得，再利用离心率求得得椭圆方程； （2）设直线方程为，，结合韦达定理求得和面积，从而求得值，得出两点坐标后，由对称性得出及，然后由三角形全等证得角相等； （3）假设存在，得，从而得，设，由向量平行的坐标表示写出点坐标，两点坐标代入椭圆方程化简得出满足的方程，同理得出满足的方程，由直线方程的定义可得直线的方程，从而得直线斜率． 【详解】（1）由题意，，， 又，所以， 所以椭圆标准方程为； （2）由题意可设直线方程为，， 由得，，，， 所以， 解得，又直线的斜率小于零，所以，即直线， 则有，解得或，从而有， 又，，由对称性知，且，而轴，， 所以， 所以.    （3）若存在实数，使得，则，所以， 由题意可知， 设，由得， 又均在椭圆上，所以， 上式变形为， 所以， 整理得， 同理可得， 所以直线方程为 所以的斜率为．    【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题的三角形面积问题，可设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元后，利用韦达定理求出三角形的面积，得出相应结论． 3．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 【答案】(1) (2)1 (3)证明过程见解析 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、抛物线定义的理解 【分析】（1）已知焦点，就确定了椭圆的实轴所在的坐标轴和焦距，通过离心率就可以解出，，的值，进而写出椭圆的标准方程. （2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求. （3）设，利用点斜式写出，方程，进而表示出、两点坐标，用数量积表示出，再进行化简出常数即可. 【详解】（1） 解：根据题意设椭圆方程为，焦距为， 因为抛物线：的焦点为，且椭圆以为焦点， 所以，因为离心率为，所以， 因为，所以， 所以椭圆标准方程为. （2） 解：因为直线经过点且与交于点、，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为，组成方程组，则有， 则，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且，所以中点纵坐标为， 此时中点到轴的矩离为. 根据对称性，当时，中点到轴的矩离也为. （3） 由题意设直线方程为，与抛物线组成方程组： ，则， 有，，， 根据题意设，，， 则直线方程为，即， 因为点横坐标为，所以，即， 同理点坐标为， 所以， 化简得 因为，， 所以，即为常数. 压轴十一 圆锥曲线中新定义问题 1．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【答案】(1) (2)12 (3)证明见解析 【知识点】求平面轨迹方程、圆锥曲线新定义 【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方， 因为直线为的等线，所以， 解得，所以的方程为 （2）设，切线，代入得: 故， 该式可以看作关于的一元二次方程， 所以，即方程为 当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故 . 所以， 所以， 所以，所以 （3） 设，由，所以， 故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 所以 由得 因为， 所以直线为的等线 . 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可． 2．（23-24高三上·贵州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． (1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． (2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】(1) (2)①，；②证明见解析 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求直线与椭圆的交点坐标、圆锥曲线新定义 【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【详解】（1）设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． （2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故.    【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$