精品解析：山东省临沂第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测数学试题

山东省临沂第一中学高二年级第一次阶段性检测题 数学学科 2024年10月 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的班级､姓名､考号､座号填涂在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用黑色签字笔在各题目的答题区域内作答，字体工整､笔迹清楚.保持卡面整洁. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A B. C. D. 3. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A B. C. D. 4. 已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A. B. C. D. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A B. C. D. 7. 如图，平行六面体所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 若，则四点共面 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 动点C的轨迹方程为 B. 若点在轨迹圆外，则的取值范围为 C. 直线l恒过定点 D. 动点C到直线l的距离的最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 13. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点，和点，使，且（称为异面直线的公垂线）.已知，则线段的长为______. 14. 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． （1）在两坐标轴上截距相等； （2），到直线l距离相等． 16. 用坐标法求证：三角形的三条高线必交于一点. 17. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求点到平面的距离. 18. 已知圆满足：① 截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线：的距离为，求该圆的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省临沂第一中学高二年级第一次阶段性检测题 数学学科 2024年10月 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的班级､姓名､考号､座号填涂在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用黑色签字笔在各题目的答题区域内作答，字体工整､笔迹清楚.保持卡面整洁. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面定理逐一判断即可. 【详解】因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，A错误． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，B错误． 假设存在m，n，使得， 则，显然无解，所以，，不共面， 所以是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，D错误． 故选：C 3. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解】根据题意，. 设向量是直线的单位方向向量，， 则点C到直线AB距离为. 故选：D. 4. 已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心C为点（2，﹣3）， 由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6， ∴r=， 则此圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13， 即x2+y2﹣4x+6y=0． 故选A． 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 6. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解. 【详解】入射光线所在的直线方程为，即， 联立方程组解得即入射点的坐标为． 设P关于直线对称的点为， 则解得即． 因为反射光线所在直线经过入射点和点， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为， 即． 故选：D 7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用基底表示向量，再将异面直线所成的角，转化为向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以， 所以， 即，又因为， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 8. 已知，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得点的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可. 【详解】因为，所以，则点在以为直径的圆上， 因为的中点坐标为，，所以点的轨迹方程为， 由题可知，直线与圆有公共点，所以，解得：. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 若，则四点共面 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量加法法则判断A；由投影向量的定义求在上的投影向量判断B；根据向量共面的推论判断C；设在基底下的坐标为，应用向量的坐标表示及已知求对应坐标判断D. 【详解】A：，对； B：在上的投影向量为，错； C：由，而，故四点不共面，错； D：设在基底下的坐标为，则， 而在单位正交基底下的坐标为， 所以，即在基底下的坐标为，D对. 故选：AD 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 动点C的轨迹方程为 B. 若点在轨迹圆外，则的取值范围为 C. 直线l恒过定点 D. 动点C到直线l的距离的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接求出动点轨迹方程判断A，由点与圆的位置关系判断B，把直线方程整理成关于参数的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断C，由圆心到定点距离求得圆心到直线距离的最大值，从而得出点到直线的距离最大值，判断D． 【详解】选项A，设，则由得，化简得，A正确， 选项B，圆心坐标为，半径为2，点在轨迹圆外，则 ，解得或，B正确； 选项C，直线方程整理为，由得，直线过定点，C正确； 选项D，圆心到定点的距离为，所以圆心到直线的距离的最大值为，从而动点到直线距离的最大值是，D错． 故选：ABC． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用面面平行证明线面平行，得到动点轨迹；选项B：利用向量法证明线面垂直，判断动点是否存在；选项C：利用向量法求点到平面距离，计算棱锥体积；选项D:利用方程判断轨迹形状并求轨迹长度. 【详解】取、中点、，连接、、、， 由且知是平行四边形，∴， ∵平面，平面，平面，同理可得平面， ∵，平面， ∴平面平面，则Q点的轨迹为线段EF，A选项正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，，. 设为平面的一个法向量， 则即得取，则. 若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误； 的面积为定值，∴当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大. ， ①，，则当时，有最大值1； ②，，则当时，有最大值； 综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确； 平面，∴，， ∴，点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 13. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点，和点，使，且（称为异面直线的公垂线）.已知，则线段的长为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据异面直线，所成角为，则与所成角为或者，，，，，，则，根据向量的模即可求得. 【详解】因为两条异面直线，所成角为，则与所成角为或者， 因为，，，，， 则，，则， 设，所以 即，则或者. 故答案为：或. 14. 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． （1）在两坐标轴上的截距相等； （2），到直线l距离相等． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）讨论截距是否为0，求对应直线方程； （2）讨论两点与直线的位置，利用直线平行、点对称求直线方程. 【小问1详解】 若直线过原点，令，则，故直线为； 若截距不为0，令，则，故直线为； 综上，直线方程为或. 小问2详解】 若，在直线的同一侧，即直线直线， 而，故直线为，则； 若，分别在直线的两侧，即关于直线上一点对称， 所以中点在直线上，又直线l过点，故直线为； 综上，直线l的方程为或. 16. 用坐标法求证：三角形的三条高线必交于一点. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】取最长一边所在的直线为轴，经过的高线为轴，进而写出，所在直线方程，求出高所在直线方程，再求得交点，即可求证. 【详解】证明：取最长一边所在的直线为轴，经过的高线为轴， 建立如图所示的直角坐标系 设､､的坐标分别为､､，有，， 方程为，其斜率为；. 的方程为，其斜率为；. 高线方程为①；高线的方程为② 解①､②，得： 即高线､的交点的横坐标为0，也即它们交点在高线上. 因此，三角形的三条高线交于一点 17. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可得，结合题意可知是直角三角形，且， 再利用线面垂直的判定定理可得平面，最后面面垂直的判定定理即可得结论； （2）由（1）得，，，建立以为原点的空间直角直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【小问1详解】 作交于， 因为底面，平面，所以. 四边形是直角梯形，，，， 所以四边形为矩形，又因为， 所以，， 在中，， 在中，， 所以， 所以， 所以 又因，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面 【小问2详解】 由（1）得，，， 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设点的坐标为，因为， 所以即，即. 所以 设平面的一个法向量为，则， 取，则，得 又 点到平面的距离为 18. 已知圆满足：① 截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线：的距离为，求该圆的方程． 【答案】或 【解析】 【详解】（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r， 则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|． 由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90° 圆P截x轴所得的弦长为，2|b|=，得r2=2b2， 圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1， 得2b2- a2=1． 又因P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有 综前述得，解得，，于是r2= 2b2=2 所求圆的方程是，或 （法二）设圆的方程为， 令x =0，得， 所以，得 再令y=0，可得， 所以，得， 即，从而有2b2- a2=1． 又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为， 得d=，即有 综前述得，解得，，于是r2= 2b2=2 所求圆的方程是，或 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论； （2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案. 【小问1详解】 如图，取AD的中点F，连接PF，EF． ∵底面ABCD是正方形，，∴，． ∵，平面PEF，∴平面PEF． 又∵平面PEF，∴． 【小问2详解】 由（1）可知，二面角的平面角为，且为， 过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O， ∵平面PEF，平面PEF，∴， ∵平面，∴平面， 以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易得，，，， 则，，，，， ，，，， 设平面PAB的法向量为，则 得取，则． 设，，则， 设直线DG与平面PAB所成的角为， 则， 令，则，． 当时，，； 当时，， 当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时． 所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$