上海高二数学上学期期中考前模拟卷01（10-11章+空间向量）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

高二上学期期中模拟卷01 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分共计42分） 1．点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 2．已知球的表面积为，则它的体积为 ． 3．正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为，则侧面与底面所成二面角的大小为 . 4．设{直四棱柱}、{正方体}、{长方体}、{正四棱柱}，则这些集合的关系是 .（用符号连接） 5．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 6．如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    7．已知P为所在平面外一点，且在平面上的射影为O，若P到的三边距离相等，则O为的 心． 8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为 . 9．一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 10．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ． 11．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 12．下图是位于南桥工商银行和大菜场南面的一个正方体雕塑，其六个面镂空刻满了大美奉贤的多个地标.可以将其视为：某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为 . 二、选择题（每题4分，共计16分） 13．设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 14．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 15．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，动点分别在棱上，若，，（都大于零），则四面体的体积（    ） A．与都无关 B．与有关，与无关 C．与都有关 D．与无关，与有关 三、解答题（6+8+8+8+12=42分） 17．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁. (1)证明: BE⊥平面EB₁C₁ (2)若AA₁=2，AB=1，求四棱锥的体积. 18．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积； (2)设为该圆锥的底面半径，且，为的中点，求二面角的大小（用反三角表示） 19．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 20．如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面的成角的大小. 21．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若 (1)求与平面所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上学期期中模拟卷01 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分共计42分） 1．点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 【答案】 【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论. 【详解】因为既在平面内又在平面内，所以在两平面的交线上，即; 因为点平面，点平面，平面平面直线l，所以 故答案为： 2．已知球的表面积为，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积公式求出半径，再根据球的体积公式计算即可． 【详解】设球的半径为， 由球的表面积为，则，得， 所以球的体积为， 故答案为：． 3．正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为，则侧面与底面所成二面角的大小为 . 【答案】 【分析】画出图形，找到二面角，求出即可. 【详解】 如图所示，为底面中心，为棱的中点， 因为是正四棱锥，所以平面，设正方形的边长为，则， 因为侧棱与底面所成角的大小为，即，则， 因为，则为所求二面角， 因为，所以， 所以侧面与底面所成二面角的大小为， 故答案为： 4．设{直四棱柱}、{正方体}、{长方体}、{正四棱柱}，则这些集合的关系是 .（用符号连接） 【答案】 【分析】四种棱柱中正方体最特殊，直四棱柱最一般，而正四棱柱是底面为正方形的长方体，由此可知四个集合的关系. 【详解】 由底面为正方形的直四棱柱为正四棱柱，得， 由底面为矩形得直四棱柱为长方体，可得， 因为正方形时特殊的矩形，所以， 由侧棱等于底面边长的正四棱柱为正方体，可得， 所以. 故答案为：. 5．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 6．如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    【答案】5 【分析】列出与直线异面的面对角线所在直线，得到答案. 【详解】与直线相交的有， 与直线平行的有， 剩余的与直线异面，共5条. 故答案为：5 7．已知P为所在平面外一点，且在平面上的射影为O，若P到的三边距离相等，则O为的 心． 【答案】内 【分析】作出图象，由线面垂直可得，，再由三角形全等可得，结合三角形的内心的定义即可得答案. 【详解】 过分别作于， 因为到距离相等， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，所以， 同理可证， 因为， 所以两两全等， 所以， 即到距离相等， 所以为的内心． 故答案为：内． 8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解. 【详解】取中点为，连接, 由于是等边三角形，所以 因为平面平面，其交线为,平面, 所以平面，是直线与平面所成角． 不妨设， 在等边中，，，所以， 故 故直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 9．一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 【答案】或 【分析】分以的边为高，和以的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解. 【详解】①如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. ②如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. 故答案为：或. 10．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，确定，，得到半径关系，计算体积即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，设圆柱的底面半径为，高为， 则，故， 圆柱的侧面积为， 当时侧面积最大，此时体积之比为：. 故答案为： 11．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 【答案】1 【分析】根据数量积的定义和运算性质，即可求得答案. 【详解】设中点为，正方形的中心为. ∵ 且 又∵， ∴. 故答案为：1. 12．下图是位于南桥工商银行和大菜场南面的一个正方体雕塑，其六个面镂空刻满了大美奉贤的多个地标.可以将其视为：某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】利用点到平面的距离的向量求法得出法向量的坐标，再利用单位向量的模求出正方体棱长，根据正方体外接球的半径为体对角线求解即可. 【详解】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底， 设是平面的一个方向向上的单位法向量. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得. 由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，2. 于是，即，即，即. 同理，. 从而，由，得， 即，解得， 所以正方体的外接球半径为，外接球的表面积为. 故答案为： 二、选择题（每题4分，共计16分） 13．设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】ABC项，利用长方体模型找到反例即可；D项，由线面平行的性质定理可得. 【详解】如图，长方体中，记平面为.    A项，若，则或. 如：图中设为直线，为直线， 则，但，不满足，故A不正确； B项，由，且，不一定垂直. 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，且，但，不满足，故B不正确； C项，若，，则或， 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，但，不满足，故C不正确； D项，若，，， 由线面平行的性质定理可得，所以D正确. 故选：D. 14．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 15．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取是中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案. 【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，   ，则；，则， 平面，平面， 故是二面角的平面角，故. 故选：C 16．如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，动点分别在棱上，若，，（都大于零），则四面体的体积（    ） A．与都无关 B．与有关，与无关 C．与都有关 D．与无关，与有关 【答案】B 【分析】由题已知，连接，交于，过作，交于，进而可证明平面，再根据几何关系得四面体的体积即可判断. 【详解】解：因为在正方体中，， 所以，四边形为平行四边形， 所以， 因为动点在棱上，动点在棱上， 所以， 连接，交于， 所以， 因为在正方体中，平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 过作，交于， 所以平面，即平面， 因为， 所以，即， 所以四面体的体积， 所以，四面体的体积与有关，与无关. 故选：B 三、解答题（6+8+8+8+12=42分） 17．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁. (1)证明: BE⊥平面EB₁C₁ (2)若AA₁=2，AB=1，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】线面垂直的判定，先证，再结合已知可得. （2）常规方法求棱锥的体积，先求，再由体积公式可得. 【详解】（1） 证明：由长方体的性质可知，平面 因为平面， 所以 ∴⊥平面 . （2）取棱的中点F，连接EF、 则 由（1）知，由题设可知，      ∵在长方体 中，平面 ∴点E到平面的距离 ∴四棱锥的体积 18．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积； (2)设为该圆锥的底面半径，且，为的中点，求二面角的大小（用反三角表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出圆锥的母线，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解； （2）如图，由题意可得、，则为二面角所成角.在中，解三角形即可求解. 【详解】（1）由题意知，平面，平面， 所以 ，所以圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积； （2）如图，连接，为的中点，，则， 又为等腰三角形，，所以， 所以为二面角所成角. 在等腰直角中，，所以， 在中，，得， 所以. 19．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）取的中点，证得平面，得到为直线与平面所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 因为，正三棱柱的体积为，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 取的中点，连接，在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的大小为. （2）取的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面平面， 且平面平面，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，且， 在直角中，可得，所以. 所以直线与平面所成的角为. 20．如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面的成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)由题设可得平面，从可得，再根据可得平面，故可得，结合可得要证明的线面垂直． (2)过作交于，可证为到平面的距离，最后利用得到的长． （3）由（2）是与平面所成的角，进而求出正弦值即可. 【详解】（1）证明　∵点在平面上的射影在上， ∴平面，平面， ∴． 又∵，，平面 ∴平面，又平面， ∴． 又∵，∴． ∵，平面，∴平面． （2） 如图所示，过作，垂足为，连接． ∵平面，平面， ∴，又， 平面，∴平面． 故的长就是点到平面的距离． 又平面，又平面， ∴． 在中，． 在中，． 在中，由面积关系，得 ． ∴点到平面的距离是． （3）由（2）知平面，则为在平面的射影， 所以是与平面所成的角. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 则直线与平面的成角. 21．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若 (1)求与平面所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值． 【答案】(1) (2)存在，1 (3)点见解析， 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，然后由线面角的定义得到与平面所成的角为,在中，由边角关系求解即可； （2）假设边上存在一点满足题设条件，作，可证明平面，从而得到，由此求解； （3）延长到，使得，连结，过作于，利用三点共线，两线段和最小，得到，过作于，连结，在直角中，求解即可． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 又平面. 所以平面， 故与平面所成角为， 因为,. 所以, 故与平面所成角的大小为； （2）假设边上存在一点满足题设条件，作， 因为平面,且平面，所以， 因为,平面, 则平面，故， 其中底面如图所示： 因为 ，且， 所以,所以, 所以,所以 故存在点，当时，点到平面的距离为； （3）延长到，使得，连结，过作于， 因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 又平面. 所以平面，所以. 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 故， 过作于，连结， 易得 所以,. 在直角中， 所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键在于对立体几何中线面位置关系的把握，求解空间角的关键是找到对应的角；特别是第（3）问空间中两线段和的最值的求解，关键在于转化为三点共线问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$