第四章第02讲 一次函数与正比例函数（2考点+6题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 一次函数与正比例函数 课程标准 学习目标 ①掌握正比例函数的概念 ②掌握一次函数的概念 1．掌握正比例函数的概念； 2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式； 知识点01 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数．根据定义作答即可． 【详解】解：y是x的一次函数的有：①，②，共2个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，为常数）的函数为一次函数． 根据定义得：且，求出的值即可． 【详解】解：由已知可得且 解得且 ∴． 故一次函数解析为： 故答案为：． 知识点02 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，注意把握正比例函数的概念是解题关键．根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、是正比例函数，故本选项正确； C、自变量的次数是二次，故本选项错误； D、自变量的次数是不是1，不是正比例函数，故本选项错误； 故选：B． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知函数值求自变量． （1）将点代入正比例函数，求出，即可得到正比例函数的解析式； （2）将代入正比例函数，即可求出x的值． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点， ， ， 即正比例函数的解析式； （2）解：当时，， ∴． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，此题可以根据正比例的定义进行解答． 【详解】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的一般形式是，即可求解． 【详解】解：A．该函数属于一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B．该函数的次数是，不是1，因此该函数不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．该函数中自变量的次数是2，因此不是正比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数符合正比例函数的定义，是正比例函数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列函数中，表示是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义条件：是常数且，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故本选项不合题意； B、不是表示是的正比例函数，故本选项不合题意； C、不是表示是的正比例函数，故本选项不合题意； D、符合正比例函数的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：是正比例函数； 当时，是正比例函数； 是一次函数； 不是正比例函数， 不是正比例函数． 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 题型02 一次函数的识别 【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数，熟练掌握定义是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：①，当时，不是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 所以是一次函数的有2个． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数解答． 【详解】解：A、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意； B、是一次函数，符合题意； C、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意； D、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如（，为常数）的函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数， ∴一次函数有个， 故选：． 【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数． 故选：B 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义得出且，即可得出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴且， 解得：． 故答案为： 【变式1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知是y关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如为常数）的函数为一次函数． 根据定义得： 且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数 ∴且 解得且 ∴． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若是关于x的一次函数，则实数 ． 【答案】2 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的概念，形如，其中k，b是常数的函数是一次函数的一般形式；由概念知，，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：； 故答案为：2． 【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线经过点，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，图象上的点的坐标满足函数解析式．把点代入，即可求得的值． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： ． 【变式1】（23-24八年级下·广东·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标适合一次函数解析式是解题的关键．本题直接把点代入一次函数，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）当时，y与x的函数解析式为，则y的范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】代入及，求出值，进而可得出的范围．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，， 当时，的范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10 (2)P（7，3） 【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围； （2）把S=12代入函数解析式即可． 【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10， ∴y=10-x， ∴OA=8，P（x，10-x） ∴S=×8(10-x)=-4x+40． 又∵x>0，且10-x>0， ∴0<x<10． （2）当S=12时，即12=40-4x， 解得x=7， ∴y=10-7=3， ∴S=12时，P点坐标（7，3）． 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算． 【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式2】如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)与x之间的关系式为，与x之间的关系式为 (2)选择方案②更为优惠 【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可； （2）将分别代入、求出结果比较大小即可． 【详解】（1）解：方案①：， 方案②：， 与x之间的关系式为，与x之间的关系式为； （2）当时，；. ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键． 题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式 【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在此函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【详解】（1）根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为，根据表达式特点对选项进行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，是反比例函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，是一次函数，不合题意； 故选：A． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列各点中，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将各选项中的点的坐标横坐标分别代入，根据图象上点的坐标性质即可得出答案． 【详解】A．当时，，点在图象上，故此选项符合题意； B．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意； C．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意； D．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①，是一次函数，正确，故符合要求； ②，是一次函数，正确，故符合要求； ③，不是一次函数，错误，故不符合要求； ④，不是一次函数，错误，故不符合要求； 综上可知，是的一次函数有2个． 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点坐标的求解及整式的化简，熟练掌握一次函数点的求法及整式的计算法则是解决本题的关键．根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到的关系式即可得解． 【详解】解：将点代入得： ， 解得：， 则即， 故选：A． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将姐妹点代入解析式即可求解； 【详解】解：设梦幻点 ∵ ∴， 点是直线上的“姐妹点”， ， ， 点； 故答案为：D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）函数中，当时， ． 【答案】4 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查求一次函数的值，将已知的自变量代入函数解析式即可求得答案． 【详解】解：当时，， 故答案为：4． 7．（23-24八年级上·广西百色·期中）已知一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，由一次函数的定义可知：且，从而可求得k的值即可 【详解】解：根据题意得： 且， 解得：， 故答案为∶． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．将一次函数解析式化简为，从而可得当时，的取值与值无关，进而求解． 【详解】解：，令，则，此时 直线（为常数，）所过的定点坐标为． 故答案为：． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在直线的图象上，它们的横坐标分别为，，，，，，分别过这些点作轴、轴的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，把代入，求出对应的纵坐标，即可求出每个三角形的面积，进而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， ∴每个三角形的面积为， ∴图中阴影部分的面积之和为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】见解析 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、正比例函数的定义、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的是函数关系式， （1）设与的函数关系式为，再把当时，代入求出的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可； 掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）由（1）知，与的函数关系式为， ∴当时，． ∴当时的函数值为． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1) (2)， 【知识点】正比例函数的定义 【详解】解：（1）是的一次函数， 且，为任意实数，解得. （2）是的正比例函数， 且，， 解得， 14．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)判断点是否是上述函数图像上的点，说明理由． 【答案】(1) (2)在函数图像上，理由见解析 【知识点】正比例函数的定义 【分析】（1）设正比例函数的解析式为，再把时，代入求出k的值，即可得出y关于x的函数表达式； （2）把点代入函数解析式进行检验即可． 【详解】（1）与成正比例， ∴设正比例函数的解析式为， 时， ， 解得， ∴， ∴； （2）点在函数图像上． 由（1）知y与x的解析式为， ∴当时，， ∴点在函数图像上． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的概念，及判断一个点是否在函数图像上．正比例函数的标准形式为．判断一个点是否在函数图像上，只要将这个点的坐标代入函数解析式中，看是否满足函数解析式即可．熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（23-24八年级上·安徽池州·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果，那么我们称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为，点的“关联点”为点． (1)点的“关联点”为，则__________； (2)如果点的“关联点”在一次函数上，求的值． 【答案】(1)0 (2)1或 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上坐标的特征： （1）根据关联点的定义即可求解； （2）根据关联点的定义得当时，点的纵坐标为2；当时，点的纵坐标为，再将其代入一次函数的解析式即可求解； 熟练掌握一次函数图象上坐标的特征是解题的关键 【详解】（1）解：点的“关联点”为， ，， ， 故答案为：0． （2）点是一次函数图象上点的“关联点”， 当时，点的纵坐标为2； 当时，点的纵坐标为， 点在一次函数的图象上， 或． 或． 16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、列一次函数解析式并求值、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一次函数与正比例函数 课程标准 学习目标 ①掌握正比例函数的概念 ②掌握一次函数的概念 1．掌握正比例函数的概念； 2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式； 知识点01 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 知识点02 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列函数中，表示是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 一次函数的识别 【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【变式1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知是y关于x的一次函数，则 ． 【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若是关于x的一次函数，则实数 ． 【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线经过点，则 ． 【变式1】（23-24八年级下·广东·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则 ． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）当时，y与x的函数解析式为，则y的范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【变式2】如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式 【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列各点中，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）函数中，当时， ． 7．（23-24八年级上·广西百色·期中）已知一次函数，则 ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 10．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在直线的图象上，它们的横坐标分别为，，，，，，分别过这些点作轴、轴的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ． 三、解答题 11．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 14．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)判断点是否是上述函数图像上的点，说明理由． 15．（23-24八年级上·安徽池州·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果，那么我们称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为，点的“关联点”为点． (1)点的“关联点”为，则__________； (2)如果点的“关联点”在一次函数上，求的值． 16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$