专题3.1 椭圆的方程及其几何性质（八个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆的方程及其几何性质 一、利用椭圆的定义求轨迹方程 五、椭圆的简单几何性质 二、椭圆的标准方程问题 六、求椭圆的离心率 三、利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 七、求椭圆离心率的取值范围 四、利用椭圆的定义求最值 八、与椭圆几何性质有关的最值范围问题 知识点1 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点2 椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 重难点一 利用椭圆的定义求轨迹方程 1．已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 3．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 7．已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 重难点二 椭圆的标准方程问题 8．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 12．中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 13．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 （1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 重难点三 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 14．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 15．若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 16．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 17．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 18．（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 19．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 20．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 重难点四 利用椭圆的定义求最值 21．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在椭圆上，则周长的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 24．点是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．已知点和，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 25．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 26．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 28．已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 . 解决椭圆中最值问题的常见思路：设为椭圆上一点，为椭圆的焦点． （1）与有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件． （2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 重难点五 椭圆的简单几何性质 29．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 30．椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 31．若椭圆的长轴长为，则（    ） A． B． C． D． 32．已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 34．椭圆的短轴长为 ，以坐标原点为圆心，该椭圆的短轴长为直径的圆的方程为 ． 重难点六 求椭圆的离心率 35．已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 36．设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．（多选）嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（    ） A． B． C． D． 39．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．已知是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 41．已知F₁，F₂分别是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂ 为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若， 则E 的离心率为（    ） A． B． C． D． 求椭圆离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解 （1）若已知可直接代入求得；（2）若已知则使用.求解. （3）若已知，则先求，再利用（1）求解. （4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 重难点七 求椭圆离心率的取值范围 42．已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点为直线上一点，若点在线段的垂直平分线上，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 48．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 重难点八 与椭圆几何性质有关的最值范围问题 50．已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 51．已知圆的圆心为，半径为4，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 53．已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A． B． C．6 D． 54．点在椭圆上，则点到直线的距离的最大值为 ． 55．已知椭圆的方程为，点为的一个焦点，点为的两个顶点，若，，则的可能值中的最大值为 ． 一、单选题 1．已知椭圆的上焦点为，则（    ） A． B．5 C． D．7 2．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 3．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 4．已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．关于方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D．若，则该方程表示两条直线 8．设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（   ） A．周长为定值 B．的最大值为3 C．恒为锐角 D．直线与圆相交 9．已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则（     ） A．顺次连接的四个焦点构成一个正方形 B．的面积为的4倍 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 三、填空题 10．已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ． 11．已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 . 12．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 14．已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点. (1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程； (2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围， 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. (1)求的方程； (2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 椭圆的方程及其几何性质 一、利用椭圆的定义求轨迹方程 五、椭圆的简单几何性质 二、椭圆的标准方程问题 六、求椭圆的离心率 三、利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 七、求椭圆离心率的取值范围 四、利用椭圆的定义求最值 八、与椭圆几何性质有关的最值范围问题 知识点1 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点2 椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 重难点一 利用椭圆的定义求轨迹方程 1．已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，可得， 注意到焦点在y轴上，所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 2．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 3．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 4．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 5．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 6．如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 【答案】 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 7．已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】 【详解】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切， 设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 点的轨迹方程为．    平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 重难点二 椭圆的标准方程问题 8．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，解得， 故选：D. 9．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 10．（多选）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 【答案】BC 【详解】当，则，可得，即曲线是圆； 当，则，可得，即，曲线是两条直线； 当，则，可得， 则，曲线是椭圆； 故选：BC. 11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意，可设椭圆的标准方程为， 代入两点得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 12．中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 13．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且， 设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）． 所以椭圆的标准方程为． （2）椭圆经过，两点， 设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得， 所以所求椭圆的方程为． （3）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． （1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 重难点三 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 14．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 15．若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 【答案】24 【详解】如图所示：      根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上， 所以的周长为 . 故答案为：24. 16．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【详解】设，则满足，取， 因为，所以，即， 联立，解得， 则的面积， 故选：C 17．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 18．（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 19．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 20．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 重难点四 利用椭圆的定义求最值 21．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 22．已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的右焦点为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 故选：A 23．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在椭圆上，则周长的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆定义知，故， 所以的周长为， 因为当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，， 所以周长的最大值为， 故选：D 24．点是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．已知点和，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，，， 由得：，即，， 为圆上的点，，即点轨迹为； 为的左焦点，右焦点为， 由椭圆定义知：， 在椭圆外，（当且仅当三点共线时取等号）， . 故选：C. 25．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】C 【详解】依题意可知，对于椭圆，， 对于圆，圆心为，半径， 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义有， 根据圆的几何性质有， 当且仅当是线段与圆交点时等号成立， 所以， 其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立， 所以， 此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点. 故选：C 26．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点为椭圆的右焦点， ， 点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外， 设椭圆的左焦点为， ， ， ，当点在的延长线上时取等号， ， 则的最大值为． 故选：． 27．在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 【答案】15 【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的直 角坐标系. 设Р为沿湖小径上的任意一点，则， 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆. 所以， 则点P的轨迹方程为， 由题意，修建两条观景步道的总费用为， 由图形可知，当三点共线且在之间时，即运动到处时，总费用最低，最低为. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立平面直角坐标系，利用椭圆定义得到动点的轨迹方程，再由数形结合，得出三点共线时，动点的位置，属于较难题目. 28．已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图， 由为椭圆上任意一点，则， 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为， 当共线时，最大，如下图所示：， 最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键. 解决椭圆中最值问题的常见思路：设为椭圆上一点，为椭圆的焦点． （1）与有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件． （2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 重难点五 椭圆的简单几何性质 29．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得（*）， 因，即，代入（*）解得， 故短轴长为 故选：B. 30．椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因为, 又因为， 所以, , 解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：. 故选：C. 31．若椭圆的长轴长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，即， 于是，. 故选：B. 32．已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B 33．已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 34．椭圆的短轴长为 ，以坐标原点为圆心，该椭圆的短轴长为直径的圆的方程为 ． 【答案】 【详解】由方程可知， 椭圆上任意一点到两定点的距离之和为， 由椭圆定义可知，为椭圆两焦点，且长轴长，焦距， 则，短轴长， 由题意，所求圆的半径，圆心为， 故圆的方程为. 故答案为：；. 重难点六 求椭圆的离心率 35．已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，即. 由可知， 在中利用余弦定理可得 ， 同理可解得， 又因为，即， 所以． 故选：A. 36．设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图：由题意不妨设在第一象限，知， 因为，所以， 所以， 则，且，即， 又由，所以，又，即， 结合解得， 代入中，整理得， 即，解得（舍）或. 故选：D. 37．椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，设，则，则，， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：C 38．（多选）嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设且， 故 故， 故， 由于，故，故，即， 对于A，，满足，故A正确， 对于B，，，故B错误， 对于B，，，故C错误， 对于D，，，故D正确， 故选：AD 39．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 设，    因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 40．已知是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】取为椭圆上顶点，则， 因为，所以，即， 代入椭圆得， 所以，又，所以. 故答案为：. 41．已知F₁，F₂分别是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂ 为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若， 则E 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，根据圆与椭圆的对称性可知，点M在y轴上， 若 则 设 则易得 所以 易知 QF₁⊥QF₂，则△QF₁F₂∽△OF₁M， 则 即 解得 且 解得 所以在中，由勾股定理得 所 以由椭圆的定义得 得 即 故E的离心率为 故选 ：B. 求椭圆离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解 （1）若已知可直接代入求得；（2）若已知则使用.求解. （3）若已知，则先求，再利用（1）求解. （4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 重难点七 求椭圆离心率的取值范围 42．已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 43．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 44．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 45．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点为直线上一点，若点在线段的垂直平分线上，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：， 因为点为直线上一点，则， 若点在线段的垂直平分线上，可得， 则，整理可得，即， 所以的离心率的取值范围是. 故选：D. 46．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以有， 故，，因为，既有， ，解得，又因为椭圆离心率，所以. 故选： 47．设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【答案】 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 48．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 49．已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由椭圆可知， 易知，直线与的斜率存在且不为0， 故可设直线方程为，直线方程为， 联立消元得， 解得， 同理，联立可解得， 由题知，， 所以，即， 整理得， 因为为上述方程的根， 所以，要使满足条件的△ABC有且只有一个，方程没有实数解，或者有两个相等的根. 当时，解得， 当时，解得，此时方程的根为1. 综上，. 所以，. 故答案为： 【点睛】求离心率的方法主要有： （1）定义法：根据题意求出a，c，然后由离心率公式直接求解； （2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得的关系式，利用消去，然后两边同时除以转化为关于的方程或不等式即可求解. 重难点八 与椭圆几何性质有关的最值范围问题 50．已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，当该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴取得最小值， 且最小值为边长为2的正三角形的高，即. 故选：C. 51．已知圆的圆心为，半径为4，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆半径为R，圆． （1）当动圆与两定圆都内切时，如图①，    则，故； （2）当动圆与两定圆分别内切，外切时， 如图②， 则，此时. ． 注意到，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是通过得出，由此即可顺利得解. 52．已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【详解】依题意，椭圆短轴长为，得，则， 又的最大值是最小值的3倍，即， 所以，所以，则其焦距为. 故选：D 53．已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】设，则，，，    由，可得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 则椭圆长轴长的最小值是. 故选：B． 54．点在椭圆上，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为点在椭圆上， 故可设点坐标是，， 所以点到直线的距离， 所以，当且仅当，即时，取得最大值． 故答案为：． 55．已知椭圆的方程为，点为的一个焦点，点为的两个顶点，若，，则的可能值中的最大值为 ． 【答案】5 【详解】设．由椭圆的对称性，不妨设为右焦点， 易知点到的左顶点的距离为，到右顶点的距离为，到上、下顶点的距离均为， 分情况进行讨论：①若分别为的左、右顶点，则，解得，则， 所以，相对应的的方程为； ②若为的左顶点，为的上顶点或下顶点，则，所以，， 所以，相对应的的方程为； ③若为上顶点或下顶点，为右顶点，则，所以，， 所以，相对应的的方程为． 综上所述，的所有可能值为，，；比较可知三值最大的为，即的可能值中的最大值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分类讨论，需做到不重不漏. 一、单选题 1．已知椭圆的上焦点为，则（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，． 因为，所以，所以. 故选：C. 2．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】A 【详解】由题知，则． 因为，，则<，所以． 故选：A. 3．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 4．已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 依据题意可知，，化简得：， 因为直线、的斜率存在，所以， 所以， 故选：A. 5．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题可知椭圆的焦点在轴上，， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大， 此时的最大面积为， 故选：B. 6．已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则，则，故， 因为线段的中点为 所以， 故， 又，则，即， 因为，即， 故椭圆的离心率， 故椭圆离心率范围为. 故选：D. 二、多选题 7．关于方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D．若，则该方程表示两条直线 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误； 对于C，，则可化为， 由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化为，即， 此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD 8．设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（   ） A．周长为定值 B．的最大值为3 C．恒为锐角 D．直线与圆相交 【答案】AC 【详解】对A：由椭圆定义可知，又， 故周长为，故A正确； 对B：由，则， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故B错误； 对C： ， 当且仅当时，等号成立， 故恒为正，即恒为锐角，故C正确； 对D：圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 由是上一点（除去与轴的交点）， 故有且， 则，即， 则，即， 故直线与圆相离，故D错误. 故选：AC. 9．已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则（     ） A．顺次连接的四个焦点构成一个正方形 B．的面积为的4倍 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 【答案】ABD 【详解】椭圆的焦点为，， 将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，则椭圆的焦点为，， 所以顺次连接的四个焦点构成一个正方形，故A正确； 将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆， 所以与为相似曲线，相似比为，所以的面积为的面积的倍，故B正确； 且的方程为，即，故C错误； 设，，则， 又，， 所以，即， 所以，即，所以， 所以线段的中点始终在直线上，故D正确；    故选：ABD 三、填空题 10．已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，则， 故半焦距， 因为，所以， 所以， 即， 故答案为：. 11．已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 . 【答案】/ 【详解】因为当时，代入椭圆方程可得， 所以，不妨设在第一象限，则， 因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，， 所以，故，即， 可得，解得或（舍去）， 所以椭圆M的长轴长为. 故答案为： 12．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 【答案】 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入到方程中得， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； 14．已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点. (1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程； (2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知， 设点，则，即， 直线的斜率之积， 又椭圆C的短轴长为，即，所以， 故椭圆C的方程为 （2）圆可化为， 则圆心为，半径为， 由是圆上一动点，且，可得，如图，    设，则， 所以 ， 当，即时，，即，符合题意， 由，可得，即； 当即时，， 即，化简得，所以， 这与矛盾，不符合题意. 综上，椭圆C的离心率的范围为 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. (1)求的方程； (2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的长轴长与短轴长之和为6，则，即①， 又因为，结合可得②， 联立①②解得，所以的方程为. （2）设，则， 因为存在实数使得，即， 可得， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$