专题强化05：直线与圆方程解答题必刷题【25道 培优】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化05：直线与圆方程解答题必刷题 1．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 2．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 4．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 6．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆与圆相交于A，两点． (1)求公共弦的长 (2)求圆心在直线上，且过A，两点的圆的方程 7．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知的三个顶点坐标分别是. (1)求边所在的直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 8．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 9．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求m的值； (3)若直线被圆截得的弦长，求的值. 10．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 11．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知圆，圆 (1)若圆、相切，求实数的值； (2)若圆与直线相交于、两点，且，求的值. 12．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 13．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 14．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 15．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 16．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆和点. (1)过点向圆引切线，求切线的方程； (2)点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程； (3)设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由. 18．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 19．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知动点与两定点的距离之比为 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为1，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由. 20．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆心为的圆满足下列条件：圆心位于轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为． (1)求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形，是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 21．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 22．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 23．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且， ①证明：直线过定点，并求出点的坐标； ②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 24．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知直线经过定点是坐标原点，点M在直线上，且． (1)当直线绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程； (2)已知点，过点T的直线交轨迹E于点，且，求． 25．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知圆C经过点，，且直线被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A、B的任意一点，直线与x轴交于点M，直线与y轴交于点N. (1)求圆C的方程； (2)探求是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由； (3)过点的动直线l与圆C交于不同的两点E，F.记线段的中点为R，则当直线l绕点D转动时，求动点R的轨迹长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化05：直线与圆方程解答题必刷题 1．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 2．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【详解】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. （2）因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 4．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直且过点，利用点斜式计算可得； （2）首先求出的中点的坐标，依题意，则，即可求出的方程. 【详解】（1）由题意知边上的高过，， 因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直， 故高线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为：，即； （2）由已知点坐标为，，故的中点为， 因为是的一条中位线，所以， 而，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得． 6．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆与圆相交于A，两点． (1)求公共弦的长 (2)求圆心在直线上，且过A，两点的圆的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作差可得公共弦方程，利用圆的弦长公式计算即可； （2）法一、先计算A，两点的坐标，再求其中垂线，联立求出圆心坐标后求圆的方程；法二、利用圆系方程直接计算即可. 【详解】（1）由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程， 由， 即圆心，半径， 则到直线的距离为， 公共弦长； （2）法一、由或， 不妨令，， 中点为， 易知，则中垂线的斜率为， 中垂线的方程为， 由， 即圆心为，半径， ∴所求圆的方程为； 法二、圆的圆心不在上，符合题意的圆不是圆， 设所求的圆的方程为， 即， 圆心为，在上， 代入可得， 所求圆的方程为. 7．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知的三个顶点坐标分别是. (1)求边所在的直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先求出所在的直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （2）先求出的中点坐标，再求出所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出边上的高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程. 【详解】（1）由， 得所在的直线的斜率， 所以所在的直线的方程：，即， 所以边所在的直线的一般式方程：； （2）由， 得的中点坐标为，所在的直线的斜率， 所以中线所在直线的方程：，即， 所以中线所在直线的一般式方程为； （3）由得，边的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以上的高所在直线的方程为：， 即， 所以边上的高所在直线的一般式方程为. 8．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出，得到圆的方程； （2）设出直线，联立圆的方程，得到两根之和，两根之积，由得到，根据得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为． （2）设，，直线， 联立得，， ，解得， 所以，， ， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线． 9．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求m的值； (3)若直线被圆截得的弦长，求的值. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）根据两点间距离公式求出半径，然后可得标准方程； （2）根据圆心到直线距离等于半径即可求解； （3）利用弦长公式求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式求解可得. 【详解】（1）由题意知，， 所以圆的方程为． （2）若与圆相切， 则圆心到直线的距离， 解得或 （3）设圆心到直线的距离为，则有 因为，所以， 由点到直线的距离公式得，解得或． 10．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心 到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程； （2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长. 【详解】（1）因为圆心 到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为.    （2）圆：的圆心 ，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心 到 距离， 所以.    11．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知圆，圆 (1)若圆、相切，求实数的值； (2)若圆与直线相交于、两点，且，求的值. 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）求出圆和圆的圆心和半径，求出圆心距，分外切和内切两种情况，得到方程，求出m的取值； （2）求出圆心距，利用垂径定理得到方程，求出的值. 【详解】（1）已知圆变形为， 圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径为，圆心距， 当两圆外切时，有，即，解得， 当两圆内切时，有，即，解得， 故m的取值为或 （2）因为圆与直线相交于、N两点，且， 而圆心到直线的距离， 有，即，解得：或. 12．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 13．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 14．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】 （1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1） 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2） 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 15．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 16．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的，且坐标为 【分析】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心， （2）根据四点共圆可得圆方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程， （3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； （2）法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 则,半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法2：设，设直线上任意不同于点的点为， 根据,可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； （3）设存在点满足条件，由题可设直线，， 由，得， ∵点在圆内部，∴恒成立，则， 因为，所以，即， 即是，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为．    17．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆和点. (1)过点向圆引切线，求切线的方程； (2)点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程； (3)设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和 (2) (3)存在，理由见解析，或 【分析】（1）根据直线与圆相切的几何意义，讨论直线斜率存在与不存在两种情况，计算可得； （2）设点，点，根据中点建立等式，用含的式子表示，含的式子表示后代入点满足的方程中，化简计算即可； （3）根据题意先求出点坐标，再设出直线方程，直线与曲线联立方程组求出，根据，建立等式求解即可. 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2， ，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. （2）设点，点，点且点是线段的中点， ，由题意，点是圆上任意一点， ，即，符合题意， 点运动的轨迹的方程为； （3）由题设，，,设, ,，，， 因为,得，即, 因为在线段上，所以，即， 若存在，由题意可不妨设的方程为，如图所示为正数， 联立， （i） 设. 由求根公式 ， . 所以， 化简得：（ii） （ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线， 并且可以解得直线的斜率或. 18．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明； （2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程； （3）由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． （3）过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为． 点到直线的距离， 所以， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 19．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知动点与两定点的距离之比为 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为1，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由. 【答案】(1) (2)线段的中点在定直线上. 【分析】（1）设点的坐标为，由题意知，代入点的坐标整理计算即可； （2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，求出点坐标，同理求出点的坐标，进而可求出中点坐标得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，由题意知， 即， 平方整理得， 即动点的轨迹的方程为. （2）设直线的方程为：，代入， 整理得， 因为点都在圆上， 所以，即， 此时. 因为直线与的斜率之积为1， 同理可得， . 设的中点为，此时，则. 故线段的中点在定直线上. 20．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆心为的圆满足下列条件：圆心位于轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为． (1)求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形，是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）设圆的方程为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率不存在时，根据、、三点共线推出不合乎题意，在斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据求出的值，再结合进行验证，即可得出结论. 【详解】（1）解：设圆的方程为，由题意知，解得， 所以，圆的标准方程为． （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则、、三点共线，不满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立，消去可得， 则，可得，解得或， 由韦达定理可得，则， 在平行四边形中，， 假设，则，且，则， 所以，，解得，但，假设不成立． 所以，不存在满足题设条件的直线． 21．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 22．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程； （3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可. 【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆 轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）解：因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，    因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 23．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且， ①证明：直线过定点，并求出点的坐标； ②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②证明见解析 【分析】（1）直接设点，由中点坐标代入即可得到轨迹方程； （2）先设直线然后联立，联立后得到韦达定理，再求斜率之积，代入韦达定理得到参数之间的关系，进而得到直线过定点，然后应用直角三角形斜边中线长是斜边一半求出定点坐标即可. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得． 因为点的轨迹方程是，所以， 整理得曲线的方程为． （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以 ， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点． ②如图所示， 因为为定值，且于，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值． 因为，，所以由中点坐标公式得． 所以存在定点使得为定值． 【点睛】关键点睛：定点问题的解题关键是设出直线然后应用韦达定理求出参数之间的联系，定值问题关键在于求出斜边是定值，进而得到斜边中线也是定值，即可得到对应的点. 24．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知直线经过定点是坐标原点，点M在直线上，且． (1)当直线绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程； (2)已知点，过点T的直线交轨迹E于点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论思想，根据直线垂直的条件列式可得轨迹方程； （2）根据直线与圆相交，设出直线方程，联立直线与圆的方程，结合韦达定理和数量积的坐标运算求出直线方程，再求直线与圆相交的弦长. 【详解】（1）依题意可知，直线即为直线,显然当直线与直线的斜率不存在时不合题意，故直线与直线的斜率都存在， ,设，,即， 所以，即， 所以点M的轨迹E的方程为. （2）依题意，过点T的直线l的斜率存在，设直线l方程为， 联立，整理得，① ，即，所以， 由直线不经过点，所以且 设，则为①式两根，        所以， 又 ， 即，所以或（舍去），故所求直线l为， 此时直线l一定与轨迹E交于不同两点P,Q又圆心到直线l的距离, 所以. 【点睛】求曲线方程的常用方法：求曲线方程是解析几何核心问题之一，求曲线方程的方法比较多，但总的说来有三种： （1）直接法：先找出动点满足的几何条件，由条件直接转化得到轨迹方程； （2）待定系数法：此种类型需知道曲线类型，先设出曲线方程，把条件代入求出其中的系数即可； （3）参数法：借助中间变量，间接得到轨迹方程的方法；参数法关键是参数的选择，找出参数与x,y之间的关系，消去参数即可. 25．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知圆C经过点，，且直线被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A、B的任意一点，直线与x轴交于点M，直线与y轴交于点N. (1)求圆C的方程； (2)探求是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由； (3)过点的动直线l与圆C交于不同的两点E，F.记线段的中点为R，则当直线l绕点D转动时，求动点R的轨迹长度. 【答案】(1) (2)为定值8 (3) 【分析】（1）根据的中垂线方程设出点坐标，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出圆心和半径，则圆的方程可求； （2）考虑直线的斜率是否存在，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时分别求解出的坐标，然后再计算的值； （3）先根据垂径定理以及直角三角形的性质求解出点坐标所满足的方程，然后再根据点位置特点确定出坐标满足的不等关系，由此求解出轨迹的长度. 【详解】（1）中点，点C在线段的中垂线即上， 故可设，圆C的半径为r， 直线被圆C所截得的弦长为，且， 到直线的距离， 由，得，， 圆心为，半径， 圆C的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，此时，与轴交于，与轴交于， ， ； 当直线的斜率存在时，如图，设，    直线的方程为，令得， 直线的方程为，令得， ， 故为定值8； （3）设的中点为Q，则， 因为线段的中点为，所以，即，所以， 设，则， 如图，设圆与的交点为G，H 联立，可得，，则，， 因为点在圆内， 所以点的轨迹方程为，， 因为，所以， 同理，所以， 所以，圆弧的长度为， 所以动点的轨迹长度为. . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$