精品解析：广东省深圳市宝安中学(集团)初中部2024—-2025学年上学期九年级国庆数学作业检测

2024-2025宝安中学（集团）初中部九年级上国庆数学作业检测 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列四组线段中，不成比例的是（ ） A. 3，9，2，6 B. 1，，， C. 1，2，4，8 D. 1，2，3，9 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 5. 共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对德州投放新型单车，计划10月投放1000台，12月投放4000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点为的中点，连接，在上取一点，使得，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 四边形是菱形 C. D. 9. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 10. 如图，在中，，D是上一点，，将沿折叠得到，连接，与相交于点F，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值为______． 12. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 13. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，若，，则________． 14. 如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 15. 如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，连接，点G在线段上，若，则的长为______． 三、计算题（共55分） 16. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 先化简，然后在三个数中选一个合适的数代入求值． 18. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）请尺规作图，在的延长线上取一点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）若，，求的长． 20. 某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶，该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶． （1）如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？ （2）同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元，为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价，则洗发水至少需打几折？ 21. 我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为     ； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； （3）如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025宝安中学（集团）初中部九年级上国庆数学作业检测 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列四组线段中，不成比例的是（ ） A. 3，9，2，6 B. 1，，， C. 1，2，4，8 D. 1，2，3，9 【答案】D 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了成比例线段的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键． 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； B、如图所示，∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、如图所示，∵， ∴，结合四边形是平行四边形不能证明四边形是菱形，故此选项符合题意； D、如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意． 4. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 5. 共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对德州投放新型单车，计划10月投放1000台，12月投放4000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月投放台数，利用增长率表示月投放台，根据题意列方程即可． 【详解】解：设增长率为， ∵计划月投放台， ∴月投放， 则可列方程． 故选:C． 【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，关键是抓住增长率表示出月的投放台数． 6. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：与都是等边三角形， ， 又， ， 与相似的三角形是， 故选：D． 7. 如图，在中，，点为的中点，连接，在上取一点，使得，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，根据等腰三角形的性质求出，，再根据勾股定理求出的长度，设，最后在中，根据勾股定理建立有关x的方程即可得到答案． 【详解】解：，点为的中点，， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：． 故选：A． 8. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 四边形是菱形 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断A选项；由和是等边三角形，可得，即可判断B选项；由含角的直角三角形的性质即可判断C选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ∴点为矩形的中心， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故A选项正确，但不符合题意； 由上得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故B选项正确，但不符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 则， ∴由勾股定理得，， 而在中，， ∴， ∴； 故C选项正确，但不符合题意； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 9. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC， 由三角形面积公式得：y＝， 解得EH＝AB＝6， ∴BH=AE=8, 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合， ∴ED=4, ∴BC=AD＝12， ∴矩形的面积为12×6＝72． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 10. 如图，在中，，D是上一点，，将沿折叠得到，连接，与相交于点F，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点M并延长，作，，结合已知条件可得四边形是矩形，再根据等腰三角形的性质求出，可证明，进而得出，然后根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，可得，根据勾股定理求出，可得，接下来可求，再次证明，求出，最后结合得出答案. 【详解】如图，连接交于点M并延长，作的延长线于点N，作于点H. ∵沿折叠得到， ∴点D，E对称， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴. ∵沿着折叠得到， ∴点D，E对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 即, 解得， ∴, ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式变形求解比值即可． 【详解】解：由两边同时除以得， 故答案为：． 12. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】 如图：过点C作CD⊥EF， 由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°， ∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， 有=; 即DC2=EDFD， 代入数据可得DC2=16， DC=4； 故答案为4. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键. 13. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可求BF=5，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 由作图可知：， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 【答案】或20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 15. 如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，连接，点G在线段上，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及解直角三角形的计算，利用三角形的面积的关系式求得线段的长度是解题的关键．连接，，过点作于点，利用正方形的性质和勾股定理求得线段，的长度，利用列出等式求得，再利用三角函数求得的长． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图， 四边形为矩形，、分别是、的中点， ，，． ，， ， ， ． ，， ， 故答案为：． 三、计算题（共55分） 16. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，选择合适的方法解方程，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴； 【小问2详解】 解： ∴． 17. 先化简，然后在三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】，-3 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后由分母不能为0排除a的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式=； ∵， ∴， ∴把代入得，原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 18. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】这棵树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线， 米，米，米， (米)， 又根据题意，得 ， ， ，即 ， 解得：米， (米)， 答：这棵树的高度为米． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）请尺规作图，在的延长线上取一点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 如图，点即为所作： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）证明出，利用对应边成比例即可求出，继而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶，该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶． （1）如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？ （2）同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元，为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价，则洗发水至少需打几折？ 【答案】（1）每瓶售价定为50元 （2）洗发水至少需打八折 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）设每件的售价定为a元，根据利润不变，列出关于a的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每瓶售价定为a元，则 解得，， ∵要尽快销售完这批洗发水， ∴， 答：每瓶售价定为50元； 【小问2详解】 设洗发水打m折，则， 解得： 答：洗发水至少需打八折． 21. 我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为     ； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； （3）如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 【答案】（1） （2） 证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）或时，、分别是、的黄金分割点 【解析】 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）先证明，得，由，得，再证明，得，所以，再分两种情况讨论，一是，可证明，所以，则、分别是、的黄金分割点；二是，先探究出当、分别是、的黄金分割点时，，再证明当时，则，，所以、分别是、的黄金分割点． 【小问1详解】 解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或时，、分别是、的黄金分割点， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若，如图③， 则， 当时，则， ， 、分别是、的黄金分割点； 若，如图④， 设，则， 由可知， ， 当时，由得， 整理得， 解关于的方程得，（不符合题意，舍去）， ，， 、分别是、的黄金分割点． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法与应用、黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合与分类讨论数学思想的运用，求得所有符合题意的结论． 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】 【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】； 【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：略 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $