22.3实际问题与二次函数同步复习讲义（知识梳理、典型例题、跟踪训练）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

22.3实际问题与二次函数同步复习讲义（知识梳理、典型例题、跟踪训练）-数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 典型例题 1．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)108 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并根据题意正确列出解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，利用面积公式计算即可； （2）根据题意得到，，推出， 然后由得到关于的一元二次方程，根据值即可得到答案； （3）根据题意得到，然后由和确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：当时，， （2）解：由题意得：， 与四边形的面积相等，即 ，即， 此方程无解 不存在与四边形的面积相等的时刻 （3）解：由题意可得： 其中： ． 当时，有最小值为108． 2．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)25 (3)该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润得出函数关系式是解题关键． （1）设，根据题意，利用待定系数法确定出与的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量每本的利润，进而求出答案； （3）根据题意结合销量每本的利润，进而利用二次函数增减性求出答案． 【详解】（1）解：设， 把与代入得：， 解得：， 则； （2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是元， 根据题意得：， 则， 整理得：， ， 解得：，， ∵， ， 答：每本纪念册的销售单价是25元； （3）解：由题意可得： ， ∵， 当时，最大，（元）， 答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元． 3．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． (1)求点A，C的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积有最大值，最大值为8，此时 【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令和，可得A和C的坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式； （3）方法一：过M点作轴，与交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 方法二：连接，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 【详解】（1）解：对于一次函数． 令，得，令，得， ∴， （2）解：将，代入得 解得 ∴ （3）解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ 如图过点M作直线轴交直线于点N 设则 ∴ ∴ ∵， ∴当时，四边形最大值为8且； 方法二：由（1）知： ∴抛物线的对称轴是直线 ∵，∴ 连接，设 ∴ ∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为8，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式． 跟踪训练 一、单选题 1．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（   ）． A． B． C． D． 2．一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A． B． C． D． 3．如图，某抛物线形状的大门，先测得门的底部宽度，然后用长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，测得，则门的最高点离地面的距离是（    ） A． B． C． D． 4．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元 5．某旅社有100张床位，当每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的方法变化下去，为了投资少且利润大，每床每晚应提高（    ） A．4元和6元 B．4元 C．6元 D．8元 6．矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知抛物线与轴分别交于点、，与轴的负半轴交于点，连接，点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接，，设所得的面积为．若的面积为整数，则这样的共有（    ）个 A． B． C． D． 8．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 二、填空题 9．飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行 米才能停下来． 10．已知小金同学掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小金同学本次投掷实心球的成绩为 米． 11．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 12．如图，在长方形中，，点为边上点，且，点为边上动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段与边交于点，连接. （1）当点与点重合时，的面积是 . （2）当点在边上运动时，的面积最小值是 . 13．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面时，测得拱桥内水面宽为．当水面升高后，拱桥内水面的宽度减少 m． 14．如图，某校计划在边长为的正方形花坛内种花，过上一点P作，，分别交正方形的四边于点E，F，G，H，连接，在区域种百合花，在四边形区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/，玫瑰花的成本为15元/，则种植两种花卉的计划成本最少为 元． 15．如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … 则该运动员踢出的足球在第 s落地． 16．在美化校园活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为 ． 三、解答题 17．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价为200元/台，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，月销售量就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． (1)求出月销售量y（单位：台）与售价x（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润W（单位：元）最大？最大利润是多少？ 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 19．一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分的高度为，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子处达到距水平面最高，且最高为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？ 20．已知点和点在抛物线上． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为． ①求的值； ②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值． 21．某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2，是一单杠示意图，两立柱与之间的距离为，，，，将带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，实验开始时绳子系于，处，，此时，抛物线记为，兴趣小组将绳子两端分别向，滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为，直至绳子两端各到，处停止，滑动过程中依次得到抛物线，，，若兴趣小组以点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为．    (1)抛物线的解析式为： ； (2)当绳子两端系在，处时，身高的小明站在单杠下，其头部刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离． (3)兴趣小组探究，，之间的特殊位置关系时，发现有一条与轴平行的直线与，，只有三个交点，直接写出这条直线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B A C A C B 1．A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，汽车从刹车后到停下来时所行进的距离最远，即S最大，据此把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，需注意两年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．原价为100万元，一年后的价格是万元，两年后的价格是为：万元，则函数解析式求得． 【详解】解：由题意得，，即． 故选：A 3．B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据所建坐标系，易求、、的坐标，设抛物线解析式为：，把代入，求出抛物线的解析式，再求顶点坐标得高度长，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，建立直角坐标系为： 由题意得，， ∴， ∴点， 设抛物线解析式为：， 把代入，得： ， 解得： ∴抛物线解析式为：， 令，得：， 即， ∴， ∴门的高度约为， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了二次函数的基本应用及二次函数的最值问题，熟练掌握基本知识是解题关键． 先根据二次函数解析式求出开口方向和对称轴，再通过的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：∵一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足， 函数开口向下，对称轴为，当时，函数取到最大值为1568， 所以当时，函数取到的最大值为1568， ∴可获得的最大利润为1568元． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：设每床每晚收费应提高个元，获得利润为元， 取整数， 当或时，最大， 当时，每床收费提高元，床位最少，即投资最少． 为了投资少且利润大，每床每晚应提高6元． 故选C． 6．A 【分析】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可． 【详解】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当时，， 此时函数的图象为抛物线的一部分， 它的最高点为抛物线的顶点，最低点为； 当时，点E停留在B点处， 故，此时函数的图象为直线的一部分， 它的最上点可以为，它的最下点为． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数综合应用（面积问题）等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论解决问题．首先确定点的坐标，利用待定系数法求得直线的表达式；分点在线段下方和点在线段上方两种情况，分别求得的面积的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 对于抛物线， 令，可得，即， 令，可得， 解得，，即，， 设直线的表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， 当点在线段下方时，此时， 过点作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴若点在线段下方，当时，取最大值，最大值为4， 故若的面积为整数，符合条件的的个数为7个； 当点在线段上方时，此时， ∵， ∴， ∴若的面积为整数，符合条件的的个数为4个． 综上所述，若的面积为整数，则这样的共有个． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了二次函数的应用，将解析化为顶点式，根据题意，求最大值即可求解． 【详解】解：， 当时，取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 故答案为：600． 10．9 【分析】本题考查了二次函数的应用，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入，得： ， 解得（舍去）或， 小朱本次投掷实心球的成绩为9米， 故答案为：9． 11． 10240 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 12． 【分析】（1）依题意，则的面积，把数值代入计算，即可作答． （2）设因为，所以，再根据等面积列式，得，把看做已知数，得，根据割补法列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵点与点重合 则的面积 ∵长方形中，，点为边上点，且 ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段 ∴ 则 那么 故的面积； （2）依题意，设 当点与点不重合 故 此时 则 延长交的延长线于点，过点G作 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段 ∴ ∵ ∴， 则 根据等面积法， 得 ∴ 则 根据公式法， 进行分母有理化，，负值已舍去 整理得， 则 当时，有最小值，且为 故答案为：， 【点睛】本题考查了旋转性质，等面积法、矩形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题：难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13． 【分析】本题考查扫物线的性质及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 建立平面直角直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，求出抛物线方程为．由此能求出结果． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线为， 由题意知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点， 解得： ∴抛物线方程为． 当水面升高后，，则，解得． ∴当水面升高后，拱桥内水面宽度是米． 当水面升高后，拱桥内水面的宽度减少m． 故答案为：． 14．600 【分析】本题考查二次函数的应用、正方形的判定与性质，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．根据题意判断出四边形、四边形是正方形，设，根据题意和正方形的面积公式得到，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，，，，， ∴四边形、四边形是正方形， 设，则，， ∴，， 设种植两种花卉的计划成本W元，则 ， ∵，， ∴时，种植两种花卉的计划成本最小，最小值为600， 故答案为：600． 15．8 【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得：或， 则该运动员踢出的足球在第落地， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，则，花园的面积，根据要将这棵树围在花园内，得出，再根据二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 花园的面积， 要将这棵树围在花园内， ，即， 解得：， 的对称轴为直线，且， 在上，随着的增大而增大， 当时，最大，此时， 花园面积的最大值为， 故答案为：． 17．(1) (2)售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出实际销售量关于售价x的关系式，由利润的相等关系得出总利润的相等关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售列不等式组可得x的取值范围； （2）根据“总利润＝每台利润×每月的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式可得函数的最值． 【详解】（1）解：根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：； 供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则， 解得：． ∴售价x的范围为：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：， ． ∵在内， ∴当时，最大值为121000， 即售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元 18．(1) (2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，求一次函数解析式： （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，    设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则点的坐标为； 在中，当时， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为． 19．(1) (2)喷出的水流不会落到池外．理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式； （2）依据题意，由（1）得解析式，令，结合喷水池的半径为2.8米，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，顶点为， 可设解析式为， ∵抛物线过点． ∴， 解得． 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）抛物线的解析式为， 令， ． 或（舍去）． ， 当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流不会落到池外． 20．(1)； (2)①0；②． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①联立直线和抛物线的解析式得出，再根据根与系数的关系得出，，利用待定系数法求出直线的表达式为，联立后得出，推出，求得 ，同理，，求出，即可得解；②设与轴交于点，与轴交于点，求出直线的表达式为，得出，记的面积为，的面积为，的面积为，，求出.记，则，即，再运用一元二次方程根的判别式即可求得答案． 【详解】（1）解：将点和点代入，得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：①依题意，联立，得， 所以，， 设直线的表达式为，又直线过点， 所以， 解得， 所以直线的表达式为， 联立，得， 所以，所以， 所以， 同理，， 联立，得， 所以， 所以，即； ②设与轴交于点，与轴交于点， 当，时，由(2)①得， 解得， 所以直线的表达式为， 所以， 记的面积为，的面积为，的面积为，， 所以， 又因为， 所以，，， 所以， 所以， 记，则，即， 因为存在， 故关于的一元二次方程有实数根， 所以， 所以或， 解得或(不符合题意，舍去)， 所以当时，取得最小值，且的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，综合性强，难度较大，属于常考的中考数学压轴题． 21．(1) (2)或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将代入解析式求解即可； （2）首先得到当时，然后将代入求解即可； （3）首先求出，，，然后分别转化成顶点式求出顶点坐标，进而求解即可． 【详解】（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 小明身高1.7米， ， ， 或， 小明到立柱的距离为或； （3），，， 与的顶点为， 直线与，，只有三个交点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$