22.2二次函数与一元二次方程同步复习讲义（知识梳理、典型例题、跟踪训练）2024-2025学年-数学九年级上册人教版

22.2二次函数与一元二次方程同步复习讲义（知识梳理、典型例题、跟踪训练）-数学九年级上册人教版 知识梳理 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2） 二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 典型例题 1．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 2．在平面直角坐标系中，设二函数，其中． (1)求证：函数与x轴有交点； (2)若函数经过函数的顶点，求实数n的最大值； (3)已知点在函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数图象是解题关键． （1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可； （2）将化为顶点式，然后代入解析式，化简即可得出实数m，n的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围． 【详解】（1）解：， ，，， ， ∴函数与x轴有交点； （2）， ∴顶点坐标为：， ∵函数经过函数的顶点， ∴， 化简可得：， 则， ∵， ∴当时，实数n的最大值为； （3）抛物线的对称轴为：， ∵二次项系数，开口向上，作草图如下： ∴与关于对称， ∵，点在函数的图象上， ∴根据函数图象的性质可得：， ∴的取值范围为：． 3．若关于的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程．例如方程：和是方程的对称解，则为对称解方程． (1)下列方程是对称解方程的有______； ①； ②； ③． (2)已知关于的方程恰好是对称解方程，若函数与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，求的面积； (3)已知为一元二次方程（为常数）的对称解，当．试求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，理解对称解方程的定义是解题的关键． （1）分别求得各方程的解，即可判断； （2）解方程，得，，利用对称解方程的定义求得，再求得函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据对称解方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系求得，得到，再利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解：①，因式分解得， 即， 解得或或， 则为对称解方程； ②，因式分解得， 解得或， 则不是对称解方程； ③，解得或， 则为对称解方程； 故答案为：①③； （2）解：解方程，得，， 的方程恰好是对称解方程． 又，即， ， 则函数为， 令，则， 解得或， 令，则， 函数与轴的交点为，， 与轴的交点为， 的面积为； （3）解：为一元二次方程为常数）的对称解， ，， ， ， ， ， ． 跟踪训练 一、单选题 1．若抛物线与直线交于A，B两点，则线段的长为（    ） A． B． C． D．8 2．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 3．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（    ） A． B．方程有两个相等的实数根 C．当时， D．抛物线与轴的另一个交点是 5．二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，都有．其中正确个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知二次函数的y与x 的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程的正根在 2 与 3 之间 8．已知抛物线与x轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，B的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 9．二次函数与y轴的交点坐标是 ． 10．如图，直线和抛物线都经过点和，不等式的解集为 ． 11．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 12．若抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为 ． 13．若二次函数的图象与x轴交于，则的值是 ． 14．抛物线，对称轴为．下列说法：①一元二次方程有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式恒成立；③抛物线经过点；④若，且，则．正确的有 （填序号）． 15．二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ． 16．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向； (2)写出当时x的取值范围． 18．已知抛物线：的图象经过点，抛物线的对称轴直线是． (1)请求出抛物线的表达式； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求该抛物线的“不动点”的坐标． 19．如图，抛物线交轴于两点（点在左边），交轴于点；设直线解析式为：．    (1)求两点的坐标； (2)求直线的函数关系式； (3)请直接写出时的自变量取值范围． 20．如图，已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于B，C两点． (1)求抛物线的解析式，并求出B，C两点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，求出点H的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． (3)将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A A B C D D 1．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解法、两点间的距离．抛物线与直线交于A、B两点横坐标为一元二次方程的两个解，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于A、B两点， A、B两点的横坐标为一元二次方程的两个解， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据二次函数图象可得判定A选项；根据二次函数的顶点坐标可判定B选项；根据图示信息可判定C选项；根据对称轴与二次函数与轴的交点可得另一个交点，判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象开口向下，与轴的交于正半轴， ∴， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， ∴，故A选项错误，符合题意； ∵二次函数的顶点坐标为，即当时，， ∴有两个相等的实数根，，故B选项正确，不符合题意； 根据图示可得，当时，，故C选项正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的横坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故D选项正确，不符合题意； 故选：A ． 5．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，开口方向判断①，对称轴判断②，与轴的交点个数判断③，对称性，特殊点判断④和⑤，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴；故②正确； ∵图象与轴有两个交点， ∴，即：；故③错误； ∵当时，，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同，由图象可知：的函数值为负数， ∴当时，， ∵， ∴；故⑤错误； 故选B． 6．C 【分析】本题考查二次函数的性质，利用二次函数的性质逐一分析即可解答，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确； 根据图形可得二次函数图象与轴有两个交点， ，故②正确； 当时，可得， 由图象可得，此时，故，故③正确； ， 当时，可得， 由图象可得此时，故，故④正确； 由时函数取最小值可得， ，故⑤错误． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的解析式为，即可判断A、B，再求出当时的值即可判断C，求出方程的判别式，并结合表格即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 抛物线与y轴交于，即抛物线与y轴交于正半轴，故B错误，不符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； ∵当时，，且方程的判别式， ∴结合表格可得，方程的正根在 2 与 3 之间，故D正确，符合题意； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，难度较大． 判断一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨假设，结合二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，， 不妨假设， 如图，若，，，则， ∴、满足，即：，    ∵， ，故A错误； 当，时，，满足， 则，此时，故B错误； ， 、在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故D正确； 如图，若，存在、满足，但，故C错误，不符合题意；    故选：D． 9． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标．熟练掌握坐标轴的坐标特征是解题关键． 当时，，进而可得结果． 【详解】解：当时，， ∴交点坐标为 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．要求不等式的解集，实质上就是根据图象找出函数的值小于于函数值时的取值范围，即函数的图象在函数下方，由两个函数图象的交点及图象的位置，即可求得范围． 【详解】解：要求不等式的解集， 即求不等式的解集， 实质上就是根据图象找出函数的值小于于函数值时的取值范围，即函数的图象在函数下方， ∵直线和抛物线都经过点和， ∴当函数的图象在函数下方时，的取值范围为：或， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题．分别求出，两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，函数是二次函数，令，即， 当时，二次函数的图象与轴有交点， 解得：， 当时，函数是一次函数，其解析式为， 直线与轴有交点， 故的取值范围是． 故答案为：． 12．， 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．由关于的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】解：抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，， 联立二次函数及一次函数解析式可得，即， 关于的方程的解为，； 故答案为：，． 13．2029 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点和二次函数的性质，熟练掌握整体代入求代数式的值是解题的关键．将代入得：，即，代入到原式可得答案． 【详解】解：根据题意，将代入得：， 则， ， 故答案为：2029． 14．①③④ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题的关键． ①根据二次函数对称轴是直线得出并结合条件得出，然后通过判断一元二次方程的符号解答即可；②通过分解因式得出，利用 解答；③把代入解答即可；④通过对分解因式得出结合条件判断即可． 【详解】∵中，对称轴为， ， ， ， ， 一元二次方程中，， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故①正确； ， ， ，故②错误； ， ， 把代入 得， ∴抛物线经过点，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①③④， 故答案为：①③④． 15．2或6 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，由题意先求出，再求出，根据对称性表示出点E坐标并代入表达式计算即可，注意分情况讨论． 【详解】解：由题意，令， ， ， 将该图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧）， ， 由题意得，平移前后的函数图象相交于点，若， 当点E在x轴上方时，如下图： 由对称性得：， 点纵坐标为，横坐标为， 点在二次函数的图象上， ， 解得：（不合题意舍去）； 当点E在x轴下方时， 同理：点纵坐标为， ， 解得：（不合题意舍去）； 故答案为：2或6． 16．15 【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得或3，则，， 当时，，则， ∴，， ∴， 故答案为：15． 17．(1)对称轴为直线；顶点坐标为；抛物线开口方向下 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与不等式，掌握二次函数的顶点式 对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键． （1）由题意写出对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数小于0确定出开口向下； （2）求出该函数图象与轴的交点坐标为，，则可得出抛物线在轴上方部分的的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口方向下； （2）令，则， 整理得， 解得，， 所以该函数图象与轴的交点坐标为，， ∴时，的取值范围． 18．(1) (2)和 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点问题，求二次函数解析式： （1）根据对称轴计算公式得到，再把点A坐标代入解析式，进而建立关于a、b的方程组，解之即可得到答案； （2）求出时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线：的图象经过点，抛物线的对称轴直线是， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；在中，当时， 解得， ∴该抛物线的“不动点”的坐标为和． 19．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系： （1）求出当时，自变量的值即可得到答案； （2）先求出点C坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴直线的函数关系式； （3）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或， ∴当时，或． 20．(1)，， (2) 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，根据待定系数法求出抛物线的解析式，再令，即可求出B，C两点的坐标； （2）由抛物线解析式知对称轴为直线，求出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 代入点，解得， ∴抛物线的解析式为． 令，， 解得：，， ∴，． （2）解：由抛物线解析式知对称轴为直线， 根据C与B关于抛物线的对称轴直线对称，连接，与对称轴交于点H，即为所求， 设直线的解析式为， 将与代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得，则． 21．(1)，， (2)最大值为，此时P点的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）中，分别令，，解方程求得点A、B、C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，设点P的横坐标为p，则，，进而表示出与p的关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出新抛物线顶点，对称轴为直线，设，，进而分3种情况讨论，①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的性质，中点坐标公式列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得，， 点A在点B的左侧， ，． 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设点P的横坐标为p，则，， ，， ， ， 当时，取最大值，最大值为， ， 此时P点的坐标为． （3）解：， 把抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 新抛物线解析式为， 新抛物线顶点，对称轴为直线， 设，，又， 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或（H与Q重合，舍去） ； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线与坐标轴交点问题，二次函数的性质，二次函数的平移，菱形的性质，熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$