22.1二次函数的图像和性质同步复习讲义（知识梳理、典型例题、跟踪训练）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

22.1二次函数的图像和性质同步复习讲义（知识梳理、典型例题、跟踪训练）-数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 典型例题 1．已知：二次函数． (1)用配方法将函数关系式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)画出所给函数的图象； (3)直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)，该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了是二次函数的三种形式及二次函数的图象及二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式及二次函数的图象及二次函数的性质． （1）利用配方法把一般式转化为顶点式，据此即可求解． （2）列表，描点，连线，即可画出图象； （3）根据图象直接回答问题． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：由抛物线解析式列表， 0 0 3 4 3 0 所以其图象如图所示： ； （3）解：当时，， 根据图象知，当时，． 2．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可； （3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：如图：连接，过点D作于点E，    设， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ， 令，则， ， ． ， ． ， 设， ， ∴， ∴当时，面积取得最大值， 此时， 的坐标为； （3）解：存在点，使得，理由如下： 当D在上方时，如图：    ∵， ∴， 令中，， 即， 解得：或， ∴； 当D在下方时，设交x轴于K，如图：    ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴ ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． 3．小明在研究某二次函数时，函数值与自变量的部分对应值如表： … 2 3 5 … … 1 0 … (1)求该二次函数的表达式： (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求的值； (3)已知点是该二次函数图象与轴的交点，把点向下平移个单位得到点．若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，点的平移规律， （1）根据当时，；当时，；可得二次函数的对称轴，顶点坐标为，设二次函数解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式，可得图象开口向下，对称轴为，由此可得当时有最大值，则当时有最小值，根据最大值与最小值的差为2，可得，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得，根据点的平移规律“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”可得，，根据对称轴即可求解的值，把点代入二次函数可求出的值． 【详解】（1）解：当时，；当时，； ∴二次函数的对称轴为， 当时，， ∴二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为，把代入得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，时有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为， 根据题意可得，，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）解：在二次函数中，令，则， ∴， ∵把点向下平移个单位得到点， ∴， ∵点向左平移个单位， ∴此时的点， ∵点平移后与该二次函数图象上的点重合， ∴点， ∵若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合， ∴点， ∵二次函数图象的对称轴为， ∴， 解得，， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 解得，， ∴． 跟踪训练 一、单选题 1．下列平移中，不能使二次函数经过点的是（   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向下平移3个单位 D．向上平移4个单位 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．对于抛物线与，下列说法不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．都过原点 C．对称轴都是y轴 D．开口大小相同 4．已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 6．若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 7．已知点都在函数的图象上，则为的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点中心对称，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线 的顶点是 ． 10．已知A，n均为自然数，且，若A是一个完全平方数，那么n等于 ． 11．已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点．当为整数时，的值为 ． 12．如图，抛物线与直线相交于点A和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标的取值范围 ． 如图， 13．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 则满足的x的取值范围是 ． 14．对一切实数，若二次函数的值恒为非负数，则的最小值是 ． 15．若二次函数的最小值为0，且点，在该函数的图像上，则 ． 16．已知点为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点之间（含点）的一个动点，则点的纵坐标的最大值是 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标． 18．已知均为正整数，交轴于，两点，其中至原点的距离均小于1． (1)比较： 0； 0 (2)求的最小值，并给出一组符合要求的 19．如图，抛物线与直线l交于点、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若的面积为，求点P的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 21．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．且对称轴为直线．，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与重合，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． (1)求此抛物线所对应的函数表达式． (2)当图象的最大值与最小值差为4时，直接写出的取值范围． (3)图象与直线有且只有一个交点时，求的取值范围． (4)已知点，点，以、为邻边作，边与抛物线的交点为，当把的面积分成两部分时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A D B B A 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换的知识点，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律以及图象过的特点．根据二次函数平移与坐标的性质得出，左加右减，上加下减分别得出平移后的解析式，再把代入即可得出答案． 【详解】解：抛物线， 则当向左平移2个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此A不符合题意； 则当向右平移2个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此B不符合题意； 则当向下平移3个单位，得到， 当时，，抛物线不经过，故此C符合题意； 则当向上平移4个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此D不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查抛物线的性质，开口方向，顶点，对称轴，掌握抛物线的性质是解题关键． 根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的顶点坐标以及对称轴，分别分析即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴此函数顶点坐标为，对称轴为y轴，，开口向上， ∵， ∴此函数顶点坐标为，对称轴为y轴，，开口向上， ∴ABC正确， ∵， ∴抛物线与开口大小不同，故D错误． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象．根据两个函数解析式求得其交点的大致位置，结合函数图象解答． 【详解】解：∵两函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1， ∴，， ∴二次函数的解析式为和一次函数的解析式为， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，排除选项B、C和D， 一次函数的图象经过一、二、三象限，选项A符合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，排除选项A、B和C， 一次函数的图象经过一、二、四象限，选项D不符合题意； 综上，选项A符合题意； 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据对称轴解析式，顶点坐标以及二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：将代入，求出，故图象与y轴交点的坐标是，选项A错误； 对称轴是直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误， 因为函数开口向下，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，由题意得出该定弦抛物线过点，，待定系数法求出二次函数解析式为，再根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴该定弦抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先把分别代入，得出的值，然后结合进行比较，即可作答． 【详解】解：∵点都在函数的图象上， ∴把分别代入， 得出， ∵， ∴， 即， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得抛物线与抛物线的开口方向相反，故，与的对称轴关于直线对称，分别求出与的对称轴列出关于n的方程求解即可． 【详解】解：根据抛物线的对称性可知，抛物线与抛物线的开口方向相反，故， ∵与关于点中心对称， ∴与的对称轴关于直线对称， ∵的对称轴，的对称轴 ， 解得， ∴， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据（）的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： 抛物线的顶点是， 故答案为： ． 10．23 【分析】本题考查完全平方式，首先设，根据题意可知，并可用表示的形式．根据为自然数故讨论符合题意的取值，进而代入求得的值． 【详解】设，则， ∴， ∴， 为自然数， ∴且或且， 当且时，此时无解； 当且时，此时， ∴自然数，7， 代入验证， 只有时，． 故答案为：23． 11．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出的取值．首先根据题意确定的符号，然后进一步确定的取值范围，根据为整数确定a的值，从而确定的值． 【详解】解：依题意知，，， 故，且，， 由，得， ∴ 又为整数， ∴的值为：0， ∴的值为：， ∵， ∴， 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化平移．分类求解确定的位置，进而求解． 【详解】解：联立两个函数表达式得， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴A，B的水平距离为3， 当点M在线段上（不与点A重合）时， ∵M，N的距离为3，而A，B的水平距离是3， ∴此时只有一个交点，即； 当点M在点B的左侧时，线段与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点． 综上所述，或时，线段与抛物线只有一个公共点． 故答案为：或． 13．或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，根据题意画出图形，由得，由表格可知抛物线的顶点为，求出二次函数的解析式为，求出直线与抛物线的交点坐标为，，然后画出图形，根据图形求出结果即可． 【详解】解：由得， 由表格可知抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴，， 作出函数和图象，如图所示： 由图象可得，当或时，，即． 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查了一元二次函数恒非负的条件，利用基本不等式求最小值，熟练掌握一元二次函数恒非负的条件，利用基本不等式求最小值等知识点是解答本题的关键．先根据二次函数恒非负，结合判别式得到，，的不等关系，化简的表达式，然后利用基本不等式求得最小值． 【详解】解：由题意得：，， ， 令， 则， 当且仅当，，即时，的最小值为， 故答案为：． 15． 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 根据点，纵坐标相同，且都在二次函数的图像上，得出对称轴为直线，求出，根据，关于对称轴对称，且，得出，即可求解； 【详解】解：∵点，纵坐标相同，且都在二次函数的图像上， ∴对称轴为直线， ∴，解得：， ∵二次函数的最小值为0， ∴， 解得：， ∵点，都在二次函数的图像上，且，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．或4 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及最值问题，根据题意，将解析式化为顶点式，然后确定对称轴为直线，顶点的坐标为，再由题意确定点坐标为或，点坐标为，然后分两种情况分析即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点的坐标为， ∵点为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， 点的横坐标为或4，点的横坐标为， ∴点坐标为或，点坐标为， ∵点为抛物线上点之间（含点）的一个动点， 当在对称轴的同侧时，； 当在对称轴的两侧时， ∴点的纵坐标的最大值为或4， 故答案为：或4． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的顶点坐标为． 18．(1)， (2)最小，分别取、、的值为5、5、1． 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，解题的关键是利用二次函数的对称轴及与坐标轴的交点的特点进行求解； （1）根据条件判断出对称轴在轴的左边，再根据与轴的交点在非负半轴即可判断； （2）设，．利用根与系数的关系、根的判别式得到且①，则②，且．可得③，由③得，故，又因为，分别取、、的最小整数5、5、1． 【详解】（1）解：的对称轴，， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设，．． 据题意得，方程有两个相异根，都在中， 故当时，，则，一元二次方程的两根且①， 可见②，且． 所以，可得，③ 由③得，故， 又因为，分别取、、的最小整数5、5、1． 经检验，符合题意， 所以最小． 19．(1)； (2)点坐标为． 【分析】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，，然后根据可求解． 【详解】（1）解：将、代入二次函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为； 如图，过点作轴，交直线于点． 设，， ， ， ∵的面积为， ∴，整理得， 解得． ∴， ∴点坐标为． 20．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式； （2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由题意知，， 当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图， ∵， ∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， ∴表达式为：， 联立， 解得，，， ∴点E或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式是解题的关键． 21．(1)； (2)或，满足图象的最大值与最小值差为4； (3)或或； (4)或． 【分析】（1）由抛物线过点以及对称轴为直线，可求二次函数解析式． （2）分三种情况①，②，③，分别求出每个范围内的函数最大值和函数最大值，再计算即可． （3）分三种情况，，，再计算对应的的值即可． （4）由、、的坐标得面积，当四边形面积面积时，面积，又面积，得为中点，利用中点公式得，代入，再计算即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， ， ， 答：抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：①时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值： ， （舍去）； ②时， 当时，函数有最小值：， 当时，函数有最大值： ， ； ③时， 当时，函数有最小值：， 函数最大值函数最大值， 函数最大值， ， 或4， 时，满足图象的最大值与最小值差为4； 综上所述：或，满足图象的最大值与最小值差为4； （3）解：设， ， 当与抛物线有交点时， ， ． ①当时，与抛物线只有一个交点， 此时，在对称轴右侧，符合题意； ②当过时， ， ， 当过时， ， ， ， 符合题意． 综上所述，或或； （4）解：如图： ，，， 面积， 当四边形面积面积时， 面积， ， ， 为中点， ， ， 代入得， ， ． 当四边形面积面积时， 面积， ， ， ， 这种情况不存在． 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$