湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 高二数学专版 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用粮皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效， 3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.复数：4在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2已知精圆+号=1口>A)的离心半为号，左右焦点分别为月，54为精圆上除在，右康 点外的一动点，则△AF,F,的面积最大为 A.1 B.3 C.2 D.23 3.设aeR,直线l,:(a+1)x+y-1=0,l2:2x+ay-(a+2)=0,则“a=1”是“l1∥l"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4若函数x)=(宝±3为偶函数.则a 9+1 A.-1 B.0 C.1 D.3 5.已知点(x0,y0)为直线x+2y+6=0上任意一点，则√(x。+1)2+y后的最小值是 A.3 B.2 c.5 D.6 6.如图，在异面直线m,n上分别取点A,B和C,D,使AB=2,CD=4,BD=6,且AC⊥m,AC⊥n, 若（店，而）=写，则线段AC的长为 A.2 B.22 C.26 D.6 数学专版试题第1页（共4页） 1已知点P为椭圆后+号-1上任意一点，则点P到直线1：x-y+9=0的距离的最小值为 A.25 B.4 C.23 D.22 8.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=3,∠ABC=∠BAP= 5,且co∠PAD=G,则cm∠PBC= A.-27 B2, 7 1 C-3 14 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署.如图 是2018一2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是 2018一2023年中国海洋生产总值 亿元1 100000 9038594628 98537 83415 89415 80000 80010 60000 40000 20000 00 2018 2019 2020202120222023年停 A.从2020年开始，中国海洋生产总值逐年增大 B.从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年 C.这6年中国海洋生产总值的极差为15122 D.这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628 10.已知圆M:(x-1)2+了=1与圆N:x2+(y-2)2=4相交于A,B两点（点A在第一象 限)，则 A.直线AB的方程是x-2y=0 B.A,M,B,N四点不共圆 C圆M的过点A的切线方程为3x+4y-8=0Dom∠WB=-号 1L.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P满足入A正=A店+AD+A4,其中Ae[1,+∞)，则下 列说法正确的是 A若A,B,D,A,P在同一一球面上，则A=3 B.若AB∥平面A,DP,则A=2 C.若点P到A,B,D,A,四点的距离相等，则入=2 D若AP1平面PBD,则A- 数学专版试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线1：y=kx+2在x轴上的截距为1，则k= 13.已知ana=2,则sin aco5a-sin'a+1= 14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作（圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的 比为常数入（入≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点A(-7,0), B为直线1：4x+3y+11=0上的动点，P为圆C:(x-2)2+y2=9上的动点，则1PA1+31PB 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线1，的方程为(0+4)x-+2=0,直线经过点}0和80， (I)若4⊥l,求a的值： (Ⅱ)若当a变化时，l,总过定点C,求IAC1 16.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3 asin C=ccos A+c. (I)求A: (Ⅱ)若C=牙，△ABC的面积为2,5+6，求c 数学专版试题第3页（共4页） 17.(15分) 已知圆E:2-2mx+y2-2m=0,点A1,0)关于直线1：y=+6的对称点为B(-2,3). (I)求1的方程： (Ⅱ)若1与圆E相交于M,N两点，圆心E到1的距离为2，圆C的圆心在线段MN上，且 圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值 18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AB=BC=2,PB=AC=2、2,PA⊥BC,M,N分别是棱PB, CA上的动点（不含端点），且BM=CN (I)证明：平面ABC⊥平面PAB 小 (Ⅱ)设BM=1,则当！为何值时，MN的长度最小？ (Ⅲ)当MN的长度最小时，求平面AMN与平面PAB的夹角的余弦值. 19.(17分) 已知桶圆上号号-1。>6>0)经过点(3，)，且离心米为50为坐标原点 (I)求E的方程 (Ⅱ)过点P(0,3)且不与y轴重合的动直线I与E相交于A,B两点，AB的中点为Q, (1)证明：直线1与0Q的斜率之积为定值： (iⅱ)当△OAB的面积最大时，求直线1的方程. 数学专版试题第4页（共4页）高二数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案D 命题意图本题考查复数的运算及几何意义 解析因为：-4+=1-4i,所以：在复平面内对应的点位于第四象限 2答案A 命题意图本题考查空问向量共线的坐标运算 解折由题可知，=u（AeR).即（-1y-0+1)=A2.34)号=方= 3.答案B 命题章图本题考查用样本估计总体 解析估计总体平均数三=号×55+8×5+号×90=74. 4答案A 命题意图本题考查两直线平行的性质及充分必要条件， (a+1)a=2, 解析若化，则 解得a=1或a=-2,所以“a=1“是“41%"的充分不必要条件 -(a+2)(a+1)-2. 5.答案G 命题章图本题考查点到直线的距离。 解析√(+1)+后表示点(-1,0)与直线x+2y+6=0上的点(，。)的距离.其最小值即点(-1,0)到直 线x+2+6=0的距离，即为-1+61。 +2 5 6.答案G 命题意图本题考查空间向量的数量 解析由题可C1店花1C市，则B亦=(B+花+C=4+部+16+2×2×42=36.所以花1=26. 7.答案D 命题意图本题考查圆台的结构特征及球的表面积计算， 解析圆台的轴截面如图所示设球心为0.球的半径为R,圆台的上，下底面圆心分别为0，O2,001=x,O0= +y=4, -y=4, ,t=3 y,x>0,y>0,则R2=x2+12,或R=x2+12.解得y=1, 或无解，所以球的表面积S=4πR=40 R2=y2+3,【R2=y2+32,【R=1o 8答案D 命题章图本题考查室间向量的应用： 折a前6期ta成-c脉网长8 又c·b=lellbleas∠PAD=l,a·b=Ial1blcs∠BD=-2,√(e-a)=e+a-2a·e=万，所以 c沼 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ABD 命题意图本题考查空间线面位置关系及空间向量基本定理， 解析对于A,E.E,G,H分捌是棱B,BC,CD,A的中点H/D,且EH=之BD,FG/BD,且FG=m. EH∥FG,EH=FG,四边形EFG是平行四边形，故A正确： 对于B,由A的推导过程结合BDt平面EFCH,EHC平面EFGH,可知BD∥平面EFGH故B正确： 对于C,三棱锥B-DHG的体积即三棱锥H-BDG的体积，三棱锥H-BDG与三棱锥E-BDF的体积相等， ∴，三棱锥B-DHG的体积等于三棱锥E-BDF的体积.故C错误： 对于D,}(+F+F元+F市=(2F尼+2F心=(F店+F府=，故D正确 10.答案AC 命题意图本题考查两圆的位置关系及直线与圆的位置关系。 解析对于A,将两圆的方程相减.可得公共弦所在直线的方程是x-2y=0,故A正确： fx-2y=0 对于B,由 l(x-1)2+2=1 可得A(受，)，B(0,0),根据圆的对称性可知∠Mav=∠W=90°，则A,M, B,N四点共圆，故B错误： 8 对于C,圆M的过点A的切线方程为y= 4 4,即3x+4y-8=0,故C正确： 对于D,如图.过点A作D⊥轴于点D,则D1-号-1=号所以m∠AWD=子则ANB=一子，故 8 3 D错误 2 M D 11.答案ABC 命题意图本题考查抽象函数的性质 解析对于A,g(x)+g(-x)=x)-1+f(-x)-1=0,x)+-x)=2.故A正确： 对于B爪x+4)=f2-(x+4))=f-(x+2)》=g(-(x+2)+1=-g(x+2)+1=-[八x+2)-1]+ 1=-x+2)+2=-[-八x)+2】+2=x)=(x)+1,则八x+4)-g(x)为定值1，故B正确： 对于C,由B可知f八x+4)=八x)x)是周期为4的函数，则g(x)也是周期为4的函数，g(4k+1)=g(1)= f八1)-1=1(keZ),故C正确： 对于D.由题及A可知f八-1)=0.则八3)=f2-3)=fR-1)=0.,f孔4k+3)=f3)=0(k∈Z),故D错误 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案-2 命题意图本题考查直线的成距 解析由题可知-子=1，则k=-2 13答案石 命题意图本题考查对数的性质及古典概型的概率计算 解析从集合2,3,4,91中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，共有(2,3)，(2,4)，(2,9)， (3,2),(3,4),(3.9),(4.2),(4,3),(4,9).(9,2),(9,3),(9.4)这12种情况，得到的对数值为整数的情况 有2，).(3,9，共2种，故所求概率为号合 14.答案9 命题意图本题考查直线与圆的位置关系， 解折设点D1,0).a,)则(a-2P+=9,所以份=票3a5=3,所以1P1+ /(a-1)+b√2a+6 31PB=3(1Pm1+Pg),PD1+PB1的最小值即点D到直线1的距离d=4+=3,所以1PA1+31PB1 √④+3 的最小值为9. 一3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题意图本题考查直线的方程与性质， 解析(【)儿：(a+4)x-y+2=0的斜率为+兰，上的斜率为-三 44(3分) 因为1场.所以。X(-名-1，…（5分 a 即2-2a-8=0,解得a=4或a=-2.…(7分） (Ⅱ)将l的方程改写为a(x-y)+4x+2=0, 曲y0, 解得==-子，所以4过定点(-之一) 4444(10分） 4x+2=0 所以4c=仔++0+-号 4…4…(13分) 16.命题意图本题考查三角函数的图象与性质 解桥(1))=5(c+p)在区间于.智上单调递减且/(）-厅皆）=-万 )的最小正周期72-2（号-号）-2 辩得=,4(4分） f(）=5m号+=， 由“五点法”可知号+p=受9=君 到=厅anx+君） (8分) ()由(1)可知5n(+君》e- 六+- ………(9分) 2m-7≤+君2m-ke2, …(12分)】 解得2m-≤长2m-keZ, 的取值花周是2k-晋，2mkeZ 小…(15分) 17.命题意图本题考查三角恒等变换及解三角形， 解析(I)3 asin C=cesA+c, ,由正弦定理可得3 sin Asin C=inC心A+nC,…(2分) sin C>0,../3sin A =cos A+1, 一4 2停m4-小-. 即(4-)=子 4小(5分) ?0<A<m心A=号 4444444444…(7分） (I）由题可知B=不-A-C一侣 m月=n语=n(君+）=mg子+mg-6: 4 …(9分) 由正张定理可得“ sin A-sin C 6 2 4…4…(11分】 4 解得=4…(5分) 18.命题意图本题考查空间线面位置关系的证明及空间向量的应用 解析(1)AB=BC=2,4C=2E, 六AB+BC2=A2 AB⊥BC 又PA⊥BC,PAOAB=A, BC⊥平面PAB.: (3分】 又BCC平面ABC, .平面ABC⊥平面PAB (4分 (ⅡPA=AB=2,PB=22, .PA +AB'PB. .PA⊥AB.又PA⊥BC,ABOBC=B PΨ面A汇……(5分) 以B为坐标原点，直线BA,BC分别为x轴，y轴，过点B且与直线AP平行的直线为：轴建立如图所示的空间 直角坐标系，则A(2.0.0).B0.0.0).C(0,2.0),P2.0,2),Ci=(2.-2,0),=(2.0,2. …(7分） 由BW=N=4(0<1<22),可得M受.0，号)N停，2-，0) 5 v√（停-到+2-别+(F-24-r2.…9分 当t=2时，N最小，且MN=2 (Ⅲ)由()可知当MN最小时4=2，此时M(1.0,1),N(1.1,0),3=(0,L,-1),Ai=(-1.0,1). 44…(12分） 设平面AMN的法向量为m=(x,y,:) m,=0, -1+=0 由 可得 可取m=(1,1,1).……(14分) m·=0. y-:=0 易知平面P4B的一个法向量为n=(0,1,0).…(15分) 设平面AMN与平面PAB的夹角为a, 期ma=lom(m,=语-停 3 平面4N与平面PB的夹角的余弦值为号…（17分) 19.命题意图本题考查直线与圆的方程及直线与圆的位置关系 解折（1：点41,0)关于直线1=+b的对称点为B(-2,3),且线段B的中点坐标为(-子号)】 x3-0 -2-7=-1, fa=l, 解得 (3分) 1 3 -20+6=2 6=2 .1的方程为者一y+2=0. (5分) (I)调后的方程可变形为(x-m)户+=m2+之， 1 则圆心￡的坐标为(m,0),且m+之m>0,解得m>0或m<-2 圆E的半径r=√m2+2m …………(6分）】 设圆心E到1的距离为d,则4=m+2斗 …行(7分) 又m<-或m>0-1<m<-或0<m<4, 此时l与圆E相离……(9分) 若d=r,则m=一1或m=4,此时1与圆E相切：………(10分) 若d<r,则m>4或m《-1,此时1与圆E相交4……(11分) 一6 (m)由圈可知m+2=万，解得m=-4或m=0(舍去).…(02分) 当m=-4时.圆B:(x+4)2+y2=14,圆心队-4.0)，半径1=/14.…(13分) 由题可知圆C的倒心C在圆E内且两倒内切，记则C的半径为？，由切点在劣弧N上，知EC1=A-, 互=1-ECl.…(14分） 点C在线段N上，EC≥2，(15分) 当且仅当圆心C与线段MN的中点重合时3最大，且()=√4-2 ,圆C的半径的最大值为√4-2，…………(17分) 一7一高二数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.D 2.A 3.B 4.A 5.c 6.C 7.D 8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.ABD 10.AC 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-2 136 14.9 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)儿，：(a+4)x-y+2=0的斜率为4+4,2的斜率为-2 a …(3分） 因为414，所以×(-名）=-1， (5分) 即a2-2a-8=0,解得a=4或a=-2. (7分) (Ⅱ)将l1的方程改写为a(x-y)+4x+2=0, 由 -y=0 4x+2=0. 解得x=y=-方，所以4过定点c(-子，-》 (10分) 所以1ac=√（行++(0+= 444444444… (13分) 16.解折(I))=3sin(ar+p)在区间号·]上单调递减且/（号引=5（智）=-5. )的最小正周期7-2石=2智-号）=2m。 解得=.… (4分)》 f(）=5im3+e)=, 由“五点法”可知写+=受，p=石 (8分) ()由(I)可知，3m(+)s- (9分) 2hm-3平≤+石≤2km-ke2… 4 (12分) 解得2a-晋≤x≤2m-ke2, ∴的取值范鬧是m告，2-eZ, (15分) 17.解析(I)3 asin C=ccosA+c, .由正弦定理可得3 sin Asin C=sin Ceos A+sinC,… (2分) :sinC>0,∴.√3sinA=cosA+1, 2停4-w4小1， 即(4-石）=7， (5分) 宁0<A<,A=号 (7分) (Ⅱ)由题可知B=m-A-C= 12 6 4 …(9分）》 由正弦定理可得“ sin Asin C 2 (11分) BS恤号)acsin B)×9cxCX6+2e2月t6o✉ 4 (13分) 解得=4.…(15分)》 18.解析(I)AB=BC=2,AC=22, .AB2 BC2 =AC2, .AB⊥BC. (1分) 又PA⊥BC,PA∩AB=A, ,BC⊥平面PAB. (3分) 又BCC平面ABC. ÷平面ABC⊥平面PAB. (4分) (Ⅱ)PA=AB=2,PB=22, .PA2 +AB PB2. ∴.PA⊥AB.又PA⊥BC,ABOBC=B, PA⊥平面ABC.…(5分） -2 以B为坐标原点，直线BA,BC分别为x轴y轴，过点B且与直线AP平行的直线为z轴建立如图所示的空间 直角坐标系，则A(2.0.0),B(0.0,0),C(0,2.0),P(2,0,2),C=(2,-2,0),B=(2.0,2). …(7分） 由w=N=(0<20,可得号0，别停.2-只，小 ∴.MW= （停-+(2-到+(=f-22+4=-22.…（9分) ∴.当t=2时，MN最小，且MNm=2. …(10分)》 (Ⅲ)由（Ⅱ）可知当MN最小时，t=√2，此时M(1,0,1),N(1,1,0),MN=(0,1,-1),AM=(-1,0,1). …(12分）》 设平面AMN的法向量为m=(x,y,) rm·AM=0, 「-x+x=0, 由 可得 可取m=(1,1,1). 14404410801:0040”008008年808000080年 (14分) m·M=0, y-=0, 易知平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0). (15分) 设平面AMN与平面PAB的夹角为， 则cosa=Icos(m,n〉1= m·n 5 ImlInl 3 平面AMN与平面PAB的夹角的余弦值为 3 (17分) 19.解析(I)点A(1,0)关于直线1：y=ax+b的对称点为B(-2,3),且线段AB的中点坐标为 -) 3-0 a x- -2-1=-1, [a=I. 解得 (3分) 3 20+b=2 b=2. ∴.l的方程为x一y+2=0.… (5分) (Ⅱ)圆E的方程可变形为(x-m)2+y2=m2+ 2m, 则圆心E的坐标为(m,0),且m㎡+了m>0.解得m>0或m<-行 2 圆E的半径r= m+ 2m. …(6分）》 一3 设圆心E到1的距离为d,则d=1m+2 …(7分)） ,解得-1<m<4, 又m<-或m>0-1<m<-或0<m<4, 此时1与圆E相离： (9分) 若d=r,则m=-1或m=4,此时1与圆E相切： (10分)》 若d<r,则m>4或m<-1,此时l与圆E相交 (11分)》 (Ⅲ)由题可知m+2=2,解得m=-4或m=0(舍去). (12分) 2 当m=-4时，圆E:(x+4)2+y2=14,圆心E(-4,0),半径1=14.…(13分) 由题可知圆C的圆心C在圆E内且两圆内切，记圆C的半径为2，由切点在劣弧M上，知1EC1=,-2, 六.2=万1-|EC引.…(14分） 点C在线段MN上，|EC|≥√2.…(15分) 当且仅当圆心C与线段MN的中点重合时，5最大，且(r)=√4-2. .圆G的半径的最大值为4-2。…(17分)》 4