精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷

辽宁省名校联盟2024年高一10月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，集合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】因为集合，集合，所以. 故选：C. 2. 设，则“且”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则，即充分性成立； 若，例如，满足， 但不满足且，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如果实数集的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素，则称X在中稠密.若的子集X在中不稠密，则（ ） A. 任意开区间都不含有X中的元素 B. 存在开区间不含有X中的元素 C. 任意开区间都含有X的补集中的元素 D. 存在开区间含有X的补集中的元素 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意根据全称量词命题的否定即可得结果. 【详解】命题“任意开区间都含有X中的元素”的否定是“存在开区间不含有X中的元素”. 故选：B. 4. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D. 5. 一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学生总人数为（ ） A. 66 B. 87 C. 99 D. 前三个答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的元素个数的性质列方程即可求解. 【详解】设只参加了数学、物理考试的学生人数分别为x，y， 参加了两门学科考试的学生人数为z， 根据题意得解得，所以学生总人数为. 故选:A 6. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可. 【详解】若时，， 则，则， 这与题意矛盾，故不满足题意； 故. 设A中元素的个数为， 则B中元素的个数为，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，满足题意； ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则；以上情况都满足题意； ③当时，即，则，， 但此时，故产生矛盾，所以不满足题意； ④当时，则由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有个， 即不同集合的个数有个； ⑤当时，则由，得，又， 所以，满足题意； 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且. 7. 设，若恒成立，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式恒成立，分析其组成，判断与符号同时变化，得到，且，将问题转化成求二次函数的最值来解决. 【详解】由恒成立，可得与符号同时变化， 即，且，则有， 故的最小值为. 故选：B. 8. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所解方程既是高次方程又是分式方程，所以对其进行是降次，同时注意到对任意的，必是原方程的一个根，所以只考虑时有三个实数解即可. 【详解】因为有四个实数解，显然，是方程的一个解， 下面只考虑时有三个实数解即可. 若，原方程等价于，显然，则. 要使该方程有解，必须，则，此时，方程有且必有一解； 所以当时必须有两解，当时，原方程等价于， 即(且)，要使该方程有两解，必须，所以. 所以实数k的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】理解数集符号、、，逐项判断即可. 【详解】A项，是实数，即，A正确； B项，，B错误； C项，是无理数，所以，C正确； D项，不是元素，D错误. 故选：AC. 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解. 【详解】由已知可得， 对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立. 对于B项，，因为，所以， 当时，，即，故B项不一定成立. 对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立. 对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立. 故选：ACD 11. 设，，，则（ ） A. ab最小值为4 B. 的取值范围是 C. 的最小值为 D. 若，则的最小值为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别应用基本不等式，结合应用常值代换乘以化简计算判断各个选项,注意取等条件. 【详解】对于A项，由，，，得，所以， 当且仅当时等号成立，A项正确； 对于B项，由，，，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，B项正确； 对于C项，， 当且仅当，即时取等号， 又，所以等号取不到，C项错误； 对于D项，由， 当且仅当时等号成立，又， 当且仅当时等号成立，D项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系，分类讨论元素对应相等，解方程并结合集合的三要素计算即可. 【详解】因为， 所以①当时，即， 此时，不符合元素互异性； ②当时，即或（舍）. 综上，. 故答案为：0 13. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得. 【详解】由题意，. 若甲正确，则且，即，则； 若乙正确，则且，即，则； 若丙正确，则由二次函数对称轴为，得，所以. 若，则乙丙两人论述错误，不满足题意； 若，则甲乙两人论述错误； 若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意. 综上所述，，即a的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】解法1：令，，，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 解法2：由数轴上点的距离公式，得到分别为线段的长，转化为求三个线段中最长线段的长的最小值，不妨设为，的长为，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 【详解】解法一：令，，，其中，，，所以， 若，则，可得， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立. 若，则，即， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立， 综上可得，的最小值为. 解法二：根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长， 如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值， 可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值， 不妨设为，的长为，则，即， 若，则，即，解得； 若，则，即，解得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】对于涉及不等式的基本性质问题的求解策略： 1、运用不等式的性质求解或判断是，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其也不能想当然捏造性质； 2、建立待求范围的整体与已知范围的整体关系，最后利用不等式的基本性质，进行运算，求得待求的范围； 3、注意利用同向不等式的两边相加时，这种转化不时等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，可能会扩大其取值范围； 4、若通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等. （1）设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题； （2）在（1）的条件下，设集合，，若，求p的取值范围. 【答案】（1）每只燕重斤，每只雀重斤 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组即可求解； （2）由（1）可得集合，结合题意分为和分析即可求解. 【小问1详解】 根据题意，可列方程组为 解得 所以每只燕重斤，每只雀重斤. 【小问2详解】 由（1）可得集合， 因为， ①当时，，解得； ②当时，即且且等号不同时成立， 解得 所以. 综上，p的取值范围是. 16. （1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可用反证法，分析法，综合法的任意1个方法证明； （2）结合先把1换成，再化简，结合基本（均值）不等式证明. 【详解】证明：（1）解法一（反证法）： 假设， 即， 两边平方得，即， 即，这与矛盾，因此假设不成立， 故. 解法二（分析法）： 要证， 只需证， 因为，， 所以只需证， 即证，即证， 因为成立， 所以成立. 解法三（综合法）： ， ， 因为， 所以. （2）由题意知，故 . 17. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点． （1）证明：的周长为定值； （2）设，且记的面积为．求当为何值时，取得最大值，并求出最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）时，． 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得到，从而求出的周长； （2）利用勾股定理得到，由面积公式得到，利用基本不等式求出的最小值，即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，，， 所以，所以， 所以， 所以的周长为定值． 【小问2详解】 在中，因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为． 18. 已知. （1）当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先利用一元二次方程的性质，得到，利用绝对值的几何意义求得的最小值为，根据题意，转化为，即可求解； （2）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，方程的两根分别为， 则，，所以， 因为，所以， 根据绝对值的几何意义，可得， 当且仅当时，等号成立， 又因为存在，使成立，可得，解得， 所以m的取值范围为. 【小问2详解】 解：若，不等式等价于， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为或； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为或. 19. 对于题目：已知，，且，求的最小值.同学甲的解法：因为，，所以，，所以，，，所以A的最小值为.同学乙的解法：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以A的最小值为3. （1）请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）； （2）为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知，，且. （i）求的最小值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）同学甲结果错误，同学乙结果正确，原因见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据不等式“”成立的条件，看看能不能取到最小值，判断两个同学的正确性. （2）通过转化，把问题都转化成已知的题型，利用已知的方法解决问题. 【小问1详解】 同学甲结果错误，同学乙结果正确. 甲同学连续两次运用基本不等式，取等号条件分别为，， 又，所以不能同时取等号， 即最小值是取不到的. 【小问2详解】 已知，，且. （i） ， 当且仅当，即，时等号成立. （ii） ， 当且仅当，即，时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省名校联盟2024年高一10月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“且”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如果实数集的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素，则称X在中稠密.若的子集X在中不稠密，则（ ） A. 任意开区间都不含有X中的元素 B. 存在开区间不含有X中的元素 C. 任意开区间都含有X补集中的元素 D. 存在开区间含有X的补集中的元素 4. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为 A. B. C. D. 5. 一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试学生人数的2倍，则这一群学生总人数为（ ） A. 66 B. 87 C. 99 D. 前三个答案都不对 6. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ） A 3 B. 6 C. 10 D. 64 7. 设，若恒成立，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11 设，，，则（ ） A. ab的最小值为4 B. 的取值范围是 C. 的最小值为 D. 若，则的最小值为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 13. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________. 14. 定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等. （1）设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题； （2）在（1）的条件下，设集合，，若，求p的取值范围. 16. （1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 17. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点． （1）证明：的周长为定值； （2）设，且记的面积为．求当为何值时，取得最大值，并求出最大值． 18. 已知. （1）当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； （2）若，求不等式的解集. 19. 对于题目：已知，，且，求的最小值.同学甲的解法：因为，，所以，，所以，，，所以A的最小值为.同学乙的解法：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以A的最小值为3. （1）请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）； （2）为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知，，且. （i）求最小值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$