精品解析：陕西省西安市第八十五中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度高一年级月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“,使”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时， C. 若，则 D. 若，则的最小值为2 6. 已知且，，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A. 6 B. C. D. 8. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个孤立元”给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个． 13. 若求______． 14. 若正实数满足，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，且，证明：． （2）证明：． 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 17. 已知集合． （1）当时，求 （2）已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 18. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产台需要另投入成本（万元），（万元），经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式： （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 19. 设函数．若，解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高一年级月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合，根据并集定义，即可求得答案. 【详解】 又， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，解题关键是掌握并集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2. 若命题“,使”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由命题“, ”是真命题，利用判别式小于等于零，列不等式求解即可. 【详解】因为命题“,使”是假命题， 所以命题“, ”是真命题， 由，解得， 故选D. 【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的应用，考查了一元二次不等式，属于基础题. 3. 已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断． 【详解】由题意，设，，下面的均为整数， 则，， ，不是偶数时，， ， 故选：AB． 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时， C. 若，则 D. 若，则的最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C，利用基本不等式判断B，利用对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A：令，，则，故A错误； 对于B：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：令，则，故C错误； 对于D：因为，又对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，故D错误. 故选：B 6. 已知且，，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 7. 若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 8. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个孤立元”给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若，不是孤立元，. 设另一元素为，假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，利用不等式的性质分析判断即可，对于CD，利用作差法分析判断 【详解】A 因为，，所以，， 若，则，所以，即故A正确； B.若，则，所以，即，故B正确； C.若，则，所以，即，故C不正确； D.因为，，所以，又，则， 所以，即故D正确． 故选：ABD． 10. 若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 不等式解集为，由题知，进而得，再结合各选项即可得答案. 【详解】解：设不等式的解集为，所以 不等式成立的充分条件是， 则，所以，即：. 所以实数的取值范围为的真子集均可. 故A，B，C均正确. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 11. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项. 【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确； 对于B，若，则， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若“”，则不一定有“且”， 而若“且”，则一定有“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，若，则或， 则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合运算的结果可以判断出两个集合之间的子集关系，根据子集的定义进行求解即可. 【详解】由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2或a2＝a，解得， 或a＝0或a＝1， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，不符合集合元素的互异性，舍去， 所以，0，共3个． 故答案为：3 【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值的个数问题，考查了数学运算能力. 13. 若求______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求集合，再根据二次函数的性质求集合. 【详解】由，得，解得， 所以 二次函数的对称轴为， 因为 所以当时，，当时，， 所以 所以 故答案为： 14. 若正实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即， 令，则有， 解得， 又因为正实数，所以， 所以，即，所以， 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】 （1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． 【解析】 【分析】(1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解. （2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为或 和是方程的两个实数根且 ，解得 【小问2详解】 由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得，解得， 的取值范围为 17. 已知集合． （1）当时，求 （2）已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求出集合，再求并集； （2）利用充分必要条件的定义确定，分类讨论解不等式可求得集合，根据集合的包含关系求解. 【小问1详解】 由，解得，所以 时，， 由，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以． 由，可得， 若，，不满足，则不符合题意; 若即时，，符合题意; 若，则， 因为，所以，解得， 综上，. 18. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产台需要另投入成本（万元），（万元），经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式： （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元） 【解析】 【分析】（1）根据利润关系式计算可得； （2）利用基本不等式求出利润最大值. 【小问1详解】 依题意可得； 【小问2详解】 因为 ， 当且仅当时，即时，上式取等号，即， 综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）. 19. 设函数．若，解关于的不等式． 【答案】当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为或，当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别讨论，，时不等式的解集. 【详解】不等式，即， ①当时，; ②当时，不等式可化为， 而，解得; ③当时，不等式可化为， （i）当，即时，不等式的解为， （ii）当，即时，不等式的解为或， （iii）当，即时，不等式的解为或， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $