专题强化04：圆与方程题型归纳【9大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化04：圆与方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：圆的方程 · 题型二：圆过定点问题 · 题型三：轨迹方程 · 题型四：圆的切线方程 · 题型五：圆的弦长问题 · 题型六：直线和圆的实际应用问题 · 题型七：圆与圆的位置关系 · 题型八：圆的公切线和共切弦问题 · 题型九：直线和圆的定点定值问题 【题型探究】 题型一：圆的方程 1．（24-25高二上·河南南阳）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 3．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 题型二：圆过定点问题 4．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 6．（21-22高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 题型三：轨迹方程 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：圆的切线方程 10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆的弦长问题 13．（24-25高二上·全国）已知直线与圆相交，且直线被圆截得的弦长为，则圆的一般式方程为 ． 14．（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 15．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足 则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 题型六：直线和圆的实际应用问题 16．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 17．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 题型七：圆与圆的位置关系 19．（24-25高二上·江西·阶段练习）若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 20．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 21．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 题型八：圆的公切线和共切弦问题 22．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 题型九：直线和圆的定点定值问题 25．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 26．（23-24高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 27．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【专题强化】 一、单选题 28．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆 相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 31．（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点是圆上任意一点，，则（　　） A．的最大值是4 B．的最小值是 C．的最小值是 D．直线与圆相交 33．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 37．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 38．（23-24高二下·江苏盐城）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 40．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 三、填空题 41．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 42．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 43．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 44．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知、、，且动点满足，则的最小值是 . 45．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 四、解答题 46．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 47．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 48．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知圆M：，圆N经过点，，． (1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系； (2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程． 49．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求. 50．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 51．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. (1)求曲线C的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化04：圆与方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：圆的方程 · 题型二：圆过定点问题 · 题型三：轨迹方程 · 题型四：圆的切线方程 · 题型五：圆的弦长问题 · 题型六：直线和圆的实际应用问题 · 题型七：圆与圆的位置关系 · 题型八：圆的公切线和共切弦问题 · 题型九：直线和圆的定点定值问题 【题型探究】 题型一：圆的方程 1．（24-25高二上·河南南阳）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 2．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程； （2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标. 【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 3．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 题型二：圆过定点问题 4．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 5．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 6．（21-22高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 题型三：轨迹方程 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以，所以． 所以点的轨迹方程为即． 故选：B 8．（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 题型四：圆的切线方程 10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B 11．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 12．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 题型五：圆的弦长问题 13．（24-25高二上·全国）已知直线与圆相交，且直线被圆截得的弦长为，则圆的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标及半径，再利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求出即可. 【详解】圆：的圆心为，半径， 点到直线的距离为， 则，而，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 14．（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 15．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足 则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 题型六：直线和圆的实际应用问题 16．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 17．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出示意图，计算台风距离城市的距离小于时，台风所走路程，然后计算时间即可. 【详解】由题得示意图 以城市为圆心作一个半径为的圆，只要台风经过圆内，即段，城市处于危险地区； 台风从地向移动,其中为中点，所以 所以 所以 又因为台风速度为 所以城市处于危险地区内的时长为 故选： 18．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 题型七：圆与圆的位置关系 19．（24-25高二上·江西·阶段练习）若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出两个圆的半径和圆心之间的距离，然后分外切和内切两种情况进行讨论，即可得到的值. 【详解】两圆的方程可分别化为和. 从而可求得两圆圆心之间的距离为. 如果两圆外切，则，得，即，从而. 如果两圆内切，则，得或，但，故，从而，得. 所以或. 故选：D 20．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 【答案】B 【分析】由直线与圆相切，得，则圆的圆心在圆上，两圆相交. 【详解】直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于圆的半径1， 即，得. 圆的圆心坐标为，半径为， 其圆心在圆上，所以两圆相交. 故选：B 21．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 题型八：圆的公切线和共切弦问题 22．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 23．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 24．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 题型九：直线和圆的定点定值问题 25．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点 ，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 26．（23-24高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)相离； (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离与半径进行比较可判断直线与圆的位置关系，圆上任意一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径的和； （2）由题意可知过，，三点的圆，即为以为直径的圆，设点坐标，表示圆心和半径，得出圆的方程，将其与圆的方程相减，可得公共弦所在直线方程，整理得出定点坐标即可. 【详解】（1）圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图：    过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； （2）因为点在直线上，可设，      过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 27．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)为定值2． 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）设直线l的方程为，与直线联立求出点坐标，根据垂径定理得到直线CP与直线l垂直，表达出直线CP的方程，与直线l联立得到点坐标，计算出. 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或． （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即． 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即． 则 ． 故为定值2． 【专题强化】 一、单选题 28．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆 相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆 的圆心，半径为， 若直线和圆 相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 29．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一 ：先求出，再由两角和的正切值求解即可得出答案；解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的立即等于半径，解方程即可得出答案. 【详解】解法一  由，得， 该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接， 易知， 所以，    解法二  由，得， 该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为， 则， 解得：或，所以． 故选：B． 30．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据已知条件有直线过圆心，则有，方法1：化为，利用基本不等式即可求解；方法2：化为利用权和不等式即可求解. 【详解】方法1：由曲线关于直线对称， 故直线经过圆心， 即有，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为； 方法2：由曲线关于直线对称， 故直线经过圆心， 即有，即， 由权方和得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D． 31．（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线和圆的位置关系知，与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而得到圆心与直线之间的距离，进而得到的值. 【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 32．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点是圆上任意一点，，则（　　） A．的最大值是4 B．的最小值是 C．的最小值是 D．直线与圆相交 【答案】B 【分析】利用三角换元求最值，将圆心到直线的距离和圆的半径比较可得到直线和圆的位置关系. 【详解】对于A，圆的方程可化为， 设，且， 当时，，的最大值是，则A错误； 对于B， ， 当时，的最小值是，则B正确； 对于C， ，其中 当时，的最小值是，则C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 所以直线和圆相离，则D错误； 故选：B. 33．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用几何法求得点P的轨迹方程，再转化为两个圆有公共点列式求解即可. 【详解】由圆的弦长为可知中点P到的距离即为， 所以动点P的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程为， 又圆上存在点P，则圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径为3，则，即， 解得或，即. 故选：C 34．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 35．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆关于直线的对称圆，则圆与圆有交点，利用圆心距和半径的关系列式求解即可. 【详解】圆：, 方程化为，， 则圆心坐标为，半径为5, 设关于直线的对称点为， 则,解得， 则， 所以圆关于直线的对称圆方程为， ， 由题中条件可知，圆与圆有交点， ,, 则，即， 解得， 故选：D. 36．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解. 【详解】设点P的坐标为，如图所示： 由可知：，而，∴ ∴，整理得，即. ∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意， 只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得. 故选：D 二、多选题 37．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【分析】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的方程可化为 ，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 38．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 39．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 40．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 41．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 42．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 是圆上任意一点，圆心，半径为， 则，解得 ， 即的取值范围为. 故答案为：. 43．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 【答案】 【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可. 【详解】圆，整理得，则其圆心为， 由题意得：直线过圆心， 所以，又，， 所以 ．（当且仅当，时，取“＝”）． 此时直线方程为，即. 故答案为：；. 44．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知、、，且动点满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】求出点P的轨迹方程，将化为，即可确定P在线段AC上时，最小，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】由题意知、、，且动点满足， 设，则， 整理得，即P点在圆上运动，A点在圆内，C在该圆外； 由于， 则当三点共线，即P在线段AC上时，最小， 最小值为， 故答案为： 45．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解. 【详解】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 四、解答题 46．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 47．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径或联立直线方程、圆的方程结合判别式均可以求出斜率的范围. （2）求出弦长和圆心到直线的距离后可求三角形的面积，或者求出两个交点的坐标后可求三角形的面积. 【详解】（1）法一：由已知可得圆，直线即， ∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得，故直线的斜率的取值范围为. 法二：设直线的方程, 联立方程得, 故，解得. 故直线的斜率的取值范围. （2） 以为直径的圆，且半径， 圆的方程为， 由圆和圆：可得： 的方程为：， 整理得直线的方程为. 法一：因为圆心到直线的距离即, ，， 所以的面积. 法二：联立方程，得， 解得或， 所以的面积. 48．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知圆M：，圆N经过点，，． (1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系； (2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程． 【答案】(1)，两圆外离 (2) 【分析】（1）根据题意可知圆N是以为直径的圆，进而可得圆N、圆M的圆心和半径，进而判断两圆位置关系； （2）设，根据切线长性质结合两点间距离公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆， 则圆N的圆心，半径， 所以：， 又因为圆M的圆心，半径， 可得， 即，所以两圆外离（相离）. （2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B， 由题意可得：， 设，则， 整理得， 所以点P的轨迹方程为：． 49．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线性质以及垂直关系分析可知圆M的圆心在直线上，进而可求圆心和半径，即可得结果； （2）联立方程，根据弦长公式求得，可知结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 代入点可得，解得， 可知圆M的圆心在直线上， 联立方程，解得， 即圆M的圆心，半径， 所以圆M的标准方程为. （2）设， 联立方程，消去y得， 则， 因为，解得， 此时，即符合题意， 设的倾斜角为，则，故， 所以. 50．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 51．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. (1)求曲线C的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；定点②详见解析. 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）①首先设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标； ②由几何图形可知，，再利用直角三角形，协办的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 由题意可知，， 所以， 整理得到曲线的方程为； （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点； ②如图所示： 因为为定值，且于点，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值， 因为，，所以由中点坐标公式得， 所以存在定点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹法求圆的方程，以及定点问题，定点问题的关键是设出直线，然后利用韦达定理求出参数的关系，即可得到对应的定点坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$