24.2 解一元二次方程（第4课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.2 解一元二次方程 第4课时 因式分解法 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据； 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程； 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 　 温故知新 1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: (2)配方法: x2=a (a≥0) (x+m)2=n(n≥0) (3)公式法: 选择合适的方法解下列方程： （1）x2-5x=8 （2）2x2+6x-3=0 讲授新课 知识点一 因式分解法解一元二次方程 解下列方程： (1) (x＋2)2 =1； (2) x2－x=0. 直接开平方法 解：(1)∵ (x＋2)是1的平方根， ∴ x＋2 =±1， ∴ x=－2±， 即x1=－1，x2=－3. 你能想到几种解法？ 配方法 公式法 (2)配方，得 x2－2x= , ( x－ )2 = . 解这个方程，得 x－=±， 所以 x1=1，x2=0. 讲授新课 解下列方程： (2) x2－x=0. (2) ∵a=1、b=－1、c=0， b2－4ac=(－1)2-4×1×0=1＞0， ∴ ， ∴ . 还有其他方法吗？ 讲授新课 x2－x可以化为x(x－1) 解方程 x(x－1)=0就转化为解x=0或x－1=0 讲授新课 x(x－1)=0. 解：将方程的左边因式分解，得 此时x和x－1两个因式中至少有一个为0， x2－x=0 即 x=0或x－1=0， 所以 x1=0或x2=1. 二次转化为一次 讲授新课 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元一次方程的方法叫做因式分解法. 讲授新课 1. 能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件 ？ （1）方程的一边为0; （2）另一边能分解成两个一次因式的积. 2. 因式分解法的解题原理是什么？ 如果a·b=0，那么a＝0或b＝0. 讲授新课 典例精析 【例1】解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. 解：(2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, (x－2)(x＋1)=0. 讲授新课 【例2】用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 解： 3x（x + 5）- 5（x + 5）=0 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= 【分析】该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 【分析】方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 讲授新课 练一练 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 1.解方程： 讲授新课 知识点二 运用十字相乘法解一元二次方程 计算： (1) (2) (3) (4) 通过上面的运算我们可以发现什么规律？ 讲授新课 (1) (2) (3) (4) 根据等式的性质，反过来也是成立的： 反过来： 讲授新课 深入解析 二次项系数 1 一次项系数 a、b的和 常数项 a、b的积 当一个二次三项式满足上述特征就可以用这样的方法进行分解这种方法叫做十字相乘法. 讲授新课 思考：观察下列方程，等号左边的部分是否满足以下特征. (2) (1) -15可以分成哪两个整数的积？ 解： 解： 45可以分成哪两个整数的积？ 像上述特征的一元二次方程可以用十字相乘法来解.(初中阶段我们只对二次项系数为“1”或“-1”的一元二次方程考虑采用十字相乘法求解） 讲授新课 典例精析 【例3】解下列方程： 讲授新课 练一练 1、解下列一元二次方程 讲授新课 讲授新课 一元二次方程的解法选择基本思路 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 当堂检测 1.方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ） A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0 2.方程x2=3x的解为（　　） A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3 D C 3.方程x(x+2)=0的根是 (　　) A.x=2　　　　　　　　B.x=0 C.x1=0,x2=-2 D.x1=0,x2=2 C 当堂检测 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 4.填空： 当堂检测 5. 用适当方法解下列方程： （1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11. 解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4 解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5 当堂检测 6.用适当方法解下列方程. (1)x2+x=0; (3)3x2-6x=-3 解:(1)将方程左边分解因式, 得x(x+1)=0, ∴x=0或x+1=0. ∴x1=0,x2=-1. (2)将方程左边分解因式, 得 (3)移项,得3x2-6x+3=0, 将方程左边分解因式 得3(x-1)2=0 ∴x1=x2=1. 当堂检测 7.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 当堂检测 8.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图)，原空地一边减少了 1 m，另一边减少了 2 m，剩余空地面积为 12 m2，求原正方形空地的边长. 解: 设原正方形空地的边长为 x m． x2－2x－x＋1×2＝12， 解得 x1＝－2（舍去），x2＝ 5． 所以，原正方形空地的边长为 5 m． 当堂检测 9. 已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m2＝0有一个根为1，求m的值，并求这个方程的根. 解：∵方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m2＝0有一个根为1， ∴(m－2)－2(m－1)＋m2＝0， 即m2－m＝0，解得m＝0或m＝2. 当m＝0时，方程为－2x2＋2x＝0，它的根为x1＝0，x2＝1； 当m＝2时，方程为－2x＋2＝0，它的根为x＝1. 课堂小结 一、概念： 二、原理： 三、基本步骤： 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 课堂小结 四、十字相乘法解一元二次方程 基本类型 二次项系数 1 一次项系数 a、b的和 常数项 a、b的积 谢 谢~ $$