第四章 整式的加减 4.2 整式的加法与减法-2024-2025学年七年级上学期《七年级上册数学题型大全精讲》（2024人教新版）

人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第四章 整式的加法与减法 4.2整式的加法与减法 学习目标 1.理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号的规律； 2.能熟练进行整式的加法与减法运算，化简求值； 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——同类项的辨别 题型2——根据同类项的概念求参数值 题型3——整式的加减运算 题型4——整式的化简求值 题型5——整式加减的实际应用 题型6——整式的加减与绝对值的综合 题型7——整式的无关型问题 题型8——整式的新定义问题 知识详解 知识点1：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 2． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3． 名师点拨 合并同类项法则：系数相加减，其它都不变． 知识点2：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点3：整式的加法与减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 典例大全 题型1 同类项的辨别 例题1．在下列单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 2．下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 3．下列各组代数式中，是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列单项式中，与的和为单项式的是（    ） A． B． C． D． 题型2 根据同类项的概念求参数值 例题2．如果与是同类项．那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练】 1．若与是同类项，则的值为（  ） A．5 B．8 C． D． 2．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知单项式与和为单项式，则等于（    ） A． B． C．16 D．9 4．关于x、y的单项式与是同类项，那么a、b的值分别为（    ） A．2、2 B．2、4 C．4、4 D．4、2 题型3 整式的加减运算 例题3．化简： (1)； (2)． 【变式训练】 1．化简： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．化简： (1)； (2)． 4．化简： (1)； (2)． 题型4 整式的化简求值 例题4. 已知，求代数式的值． 【变式训练】 1． 先化简，再求值：，其中． 2． 先化简，再求值：，其中，． 3． 先化简，再求值：，其中 4．先化简，再求值：，已知，． 题型5 整式加减的实际应用 例题5．某款手机后置摄像头模组如图所示．其中，大圆的半径为r，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（取3）． 【变式训练】 1．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是，计算： (1)窗户的面积； (2)窗户的外框的总长． 2．如图，一个长方形运动场被分隔成2个A，2个B，1个C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的正方形． (1)列式表示B区长方形场地的周长，并将式子化简； (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简； (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 3．劳动技术课程是基础教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创新思维、实践能力的一代新人．我校初中部将利用学校善思楼二楼空地展开一系列的劳动实践操作活动．如图所示，善思楼教学楼边有块长为20米，宽为10米的长方形空地，现在将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． (1)用含的式子表示菜地的周长； (2)当米时，求菜地的周长．（精确到0.1） 4．小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 题型6 整式的加减与绝对值的综合 例题6．在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练】 1．如图，数轴上的三个点对应的数分别是，，，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 3．若时，化简（    ） A．1 B． C． D． 4．若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型7整式的无关型问题 例题7．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【变式训练】 1．已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 2．小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 3．化简求值 (1)如果代数式的值与字母所取的值无关，试求代数式的值； (2)已知，，求代数式的值． 4．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 题型8 整式的新定义问题 例题8．对于任意式子，定义． (1)求的值； (2)先化简式子，再求当时，的值． 【变式训练】 1． 定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：．先化简，再求值：，其中． 2．定义新运算“”，对于任意有理数有， (1)求的值； (2)若，，请化简：． 3．先化简，再求值 (1)，其中 (2)定义两种新运算：，，化简，并求出当，时的值． 4．符号“f”表示一种运算，表示x在运算f作用下的结果，如表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，，…． 利用上述运算定义计算： (1)； (2)． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列说法不正确的是（　　） A．和是同类项 B．单项式的次数是2 C．单项式的系数是1 D．2020是整式 3．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（   ） A．22024 B．0 C．1 D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．下列去括号中正确的（　　） A． B． C． D． 7．下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 8．一个多项式加上得，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，是有理数，则式子化简的结果为（　　） A． B． C． D． 10．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题） 11．若与的和是单项式，则m+n的值为 ． 12．如图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 13．（1） ； （2） ． 14．若，，则的值为 ． 15．一列火车原有人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有人，则上车的人数是 ． 16．若，则代数式的值为 ． 17．已知，则 ． 18．若关于的多项式化简后不含项，则 19．如图，长方形内放置三个相同的小长方形①②③，若小长方形①的周长为5，则图中④和⑤部分的周长和为 . 20．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则 ． 三、解答题（本大题共5小题） 21．化简： (1)； (2)． 22．已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 23．先化简，再求值． (1)，其中，； (2)已知：，，求的值． 24．①已知多项式． （1）若多项式的值与字母的取值无关，求的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值； ②有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：．    25．小明正在做一个直径为d米的地球模型． (1)他想用一根铁丝围住赤道，大约需要铁丝的长度为______米； (2)如果要把这个模型的半径增加a米，要围住赤道需要增加的铁丝的长度为______米； (3)假设真为地球的赤道做一个铁丝箍，大约需要多长的铁丝？如图所示，如果想将铁丝箍所围圆的半径增加a米，那么需要增加多长的铁丝？（地球半径约为6370km）（写出解题过程） (4)比较（2）和（3）的结果，你发现了什么？为什么？______________________________ 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第四章 整式的加法与减法 4.2整式的加法与减法 学习目标 1.理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号的规律； 2.能熟练进行整式的加法与减法运算，化简求值； 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——同类项的辨别 题型2——根据同类项的概念求参数值 题型3——整式的加减运算 题型4——整式的化简求值 题型5——整式加减的实际应用 题型6——整式的加减与绝对值的综合 题型7——整式的无关型问题 题型8——整式的新定义问题 知识详解 知识点1：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 2． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3． 名师点拨 合并同类项法则：系数相加减，其它都不变． 知识点2：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点3：整式的加法与减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 典例大全 题型1 同类项的辨别 例题1．在下列单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关即可求解． 【详解】解：与是同类项的是， 故选：C． 【变式训练】 1．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查同类项，熟练掌握所含字母相同，相同字母指数也相同的项叫同类项是解题的关键． 根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、和，字母x的指数不同，不是同类项，故此选项符合题意； B、和100是同类项，故此选项不符合题意； C、和是同类项，故此选项不符合题意； D、和是同类项，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、 与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 故选：． 3．下列各组代数式中，是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，熟记同类项的含义是解题关键．根据同类项的定义分别判断即可：如果两个单项式，它们所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么称这两个单项式是同类项． 【详解】解：A．与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B．与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； C．与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； D．与所含字母不同，不是同类项，不符合题意， 故选：C． 4．下列单项式中，与的和为单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同类项．解题的关键是掌握同类项的定义，判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．直接利用同类项的定义：所含有的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，所以只要判断所含有的字母是否相同，相同字母的指数是否相同即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，x的指数是1，y的指数是2． A、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意； B、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意； C、x的指数是2，y的指数是2，不是同类项，故此选项不符合题意； D、x的指数是1，y的指数是2，是同类项，故此选项符合题意． 故选：D． 题型2 根据同类项的概念求参数值 例题2．如果与是同类项．那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此求得m、n的值，代入计算可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式训练】 1．若与是同类项，则的值为（  ） A．5 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，涉及同类项定义求参数，根据与是同类项，列等式求得，代入计算即可得到答案，熟练掌握同类项定义是解决问题的关键． 【详解】解：与是同类项， ，解得， ， 故选：C． 2．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项，根据题意可知这两个单项式是同类项，再根据同类项的定义解答即可．所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项是同类项． 【详解】解：根据题意，得和是同类项， ∴， 则． 故选：D． 3．已知单项式与和为单项式，则等于（    ） A． B． C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，同类项，乘方． 根据单项式与和为单项式，得到与是同类项，进而根据同类项的定义进行求解． 【详解】解：∵单项式与和为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 故选：A 4．关于x、y的单项式与是同类项，那么a、b的值分别为（    ） A．2、2 B．2、4 C．4、4 D．4、2 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的概念，相同字母的指数相同，进行求解即可． 【详解】解：与是同类项， ， 故选：D． 题型3 整式的加减运算 例题3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可； 本题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得解； （2）先去括号，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再根据整式的加减运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，掌握整式加减运算的一般步骤是解题的关键； （1）根据合并同类项法则计算即可求解； （2）根据去括号，合并同类项即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型4 整式的化简求值 例题4. 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握绝对值与偶次方的非负性、去括号法则和合并同类项法则．由题意得，解方程得，再利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴原式 ． 【变式训练】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，正确的化简是解题的关键：先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了去括号法则，合并同类项，熟记去括号法则和合并同类项法则是解题关键． 先去括号，然后合并同类项，然后将，的值代入计算即可得． 【详解】解： 其中，， 则 3．先化简，再求值：，其中 【答案】；3 【分析】本题主要考查整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，有理数计算，是解题关键．先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 4．先化简，再求值：，已知，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．整式的混合运算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值．解题的关键是去括号、合并同类项，正确代入计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型5 整式加减的实际应用 例题5．某款手机后置摄像头模组如图所示．其中，大圆的半径为r，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（取3）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减的几何应用、代数式求值，熟知圆的面积公式是解答的关键． （1）根据图形，根据大圆面积减去五个圆面积可求解； （2）将代入（1）中代数式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， ， 答：图中阴影部分的面积为； （2）解：当时， ， ∴图中阴影部分的面积为． 【变式训练】 1．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是，计算：    (1)窗户的面积； (2)窗户的外框的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，结合图形列出代数式是解题关键． （1）根据图示，用边长是的4个小正方形的面积加上半径是的半圆的面积，即可求出窗户的面积； （2）根据图示，用3条长度是的边的长度和加上半径是的半圆圆弧的长度，即可求出窗户的外框的总长． 【详解】（1）解： （）． 答：窗户的面积为； （2）解：（）． 答：窗户的外框的总长为． 2．如图，一个长方形运动场被分隔成2个A，2个B，1个C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的正方形． (1)列式表示B区长方形场地的周长，并将式子化简； (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简； (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【答案】(1)B区长方形场地的周长为 (2)整个长方形运动场的周长为 (3)整个长方形运动场的面积为 【分析】本题主要考查列代数式、去括号、合并同类项、求代数式的值等知识点，结合图形、理解每个正方形和长方形的边的表示方法是解题的关键． （1）由图形可知，B区长方形场地的长和宽分别可以由正方形A和正方形C的边长表示，列出代数式后再去括号、合并同类项即可解答； （2）整个长方形运动场的长为,宽为,列出代数式再去括号、合并同类项即可解答； （3）先列代数式，再将a、c的值代入所列的代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，B区长方形场地的长为，宽为， ∴， ∴B区长方形场地的周长为． （2）解：由题意得，整个长方形运动场的长为，宽为， ∴， ∴整个长方形运动场的周长为． （3）解：∵整个长方形运动场的长为，宽为， ∴整个长方形运动场的面积为， 当，时，， ∴整个长方形运动场的面积为． 3．劳动技术课程是基础教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创新思维、实践能力的一代新人．我校初中部将利用学校善思楼二楼空地展开一系列的劳动实践操作活动．如图所示，善思楼教学楼边有块长为20米，宽为10米的长方形空地，现在将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． (1)用含的式子表示菜地的周长； (2)当米时，求菜地的周长．（精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)菜地的周长是米． 【分析】本题考查了代数式的应用，关键根据长方形的周长公式列出代数式，并用代入法求出结果． （1）根据长方形的长20米，菜地的两边小路宽米，用减法表示出菜地的长；再根据长方形的宽10米，菜地的一边小路宽米，用减法表示出菜地的宽，最后用周长公式表示出菜地的面积； （2）把代入菜地周长的代数式中，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 米； （2）解：（米）， 答：菜地的周长是米． 4．小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 题型6 整式的加减与绝对值的综合 例题6．在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴、化简绝对值、有理数的加减、整式的加法，根据数轴得到，，再根据有理数的加减运算法则得到，，进而利用绝对值的性质化简绝对值，然后利用整式的加法求解即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ， 故选：C． 【变式训练】 1．如图，数轴上的三个点对应的数分别是，，，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴观察可以确定原点的位置，再由数轴可得＜0，b＞0，且且，依此再化简原式即可． 【详解】解：如下图数轴可得原点0的位置，且可得＞0， a点在原点左边，＜0， b点在原点的右边，b＞0，且，． 因此可得：，． 则： 故选：C． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据有理数在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式的加减运算，正确地判断式子的符号化简绝对值是解题的关键． 根据有理数在数轴上的位置求得，进而可得，，，进而化简绝对值即可求解． 【详解】解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得，， ∴，，， ∴， 故选B． 3．若时，化简（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了绝对值的性质．直接利用绝对值的性质化简求出答案． 【详解】解：， ∴，， ． 故选：A． 4．若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，， ∴ ， ， 故选：． 题型7整式的无关型问题 例题7．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可就出b的值，再带入即可求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解；由（1）可得， ∵的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴。 【变式训练】 1．已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，进行化简即可； （2）先求出A与B的差，根据结果不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵A与B的差不含x的一次项， ∴， ∴． 2．小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 3．化简求值 (1)如果代数式的值与字母所取的值无关，试求代数式的值； (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先去括号，然后合并同类项得到原式的化简结果为，再根据题意可得，据此求出a、b的值即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项得到原式的化简结果为，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与字母所取的值无关， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 4．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 题型8 整式的新定义问题 例题8．对于任意式子，定义． (1)求的值； (2)先化简式子，再求当时，的值． 【答案】(1) (2)，13 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算求解即可； （2）首先根据新定义运算进行运算化简，然后将代求值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当时， 原式 ． 【变式训练】 1．定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． 已知等式利用题中的新定义化简，再将然后代入计算即可； 【详解】解：由题意，得 原式 2．定义新运算“”，对于任意有理数有， (1)求的值； (2)若，，请化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据定义新运算，转化为有理数的混合运算即可； （）根据定义新运算，转化为整式的加减运算即可； 此题主要考查了有理数的混合运算以及整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则及其应用． 【详解】（1）； （2）， 把代入得： 原式， ， ． 3．先化简，再求值 (1)，其中 (2)定义两种新运算：，，化简，并求出当，时的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）根据整式的加减运算法则先化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）根据新定义运算对代数式进行转化，再根据整式的加减运算法则化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的加减化简求值，新定义运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ， ； （2）解：∵，， ∴原式 ， 当，时， 原式 ， ． 4．符号“f”表示一种运算，表示x在运算f作用下的结果，如表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，，…． 利用上述运算定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的乘法及整式的加减，掌握行定义运算法则，利用新定义规则转化为正常运算是解题关键． （1）按新定义的运算法则代入计算即可； （2）按新定义法则将，代入转化为正常运算，去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意，可知 ． （2）解： ． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此进行判断即可． 【详解】解：A、与，字母不同，不是同类项，不符合题意； B、与，是同类项，符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； D、与，字母不同，不是同类项，不符合题意； 故选B． 2．下列说法不正确的是（　　） A．和是同类项 B．单项式的次数是2 C．单项式的系数是1 D．2020是整式 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义、单项式的定义以及整式的定义，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．分别根据同类项的定义，单项式的定义以及整式的定义判断即可． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A．和是同类项，正确，不符合题意； B．单项式的次数是，不正确，符合题意； C．单项式的系数是1，正确，不符合题意； D．2020是整式，正确，不符合题意； 故选B． 3．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（   ） A．22024 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义．由题意推出与是同类项，再根据同类项的定义“所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同”列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，不是同类项不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意；     D．，不是同类项不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减运算，注意去括号时，括号前是负号，去括号时，括号里各项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变．先去括号，再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 故选：A． 6．下列去括号中正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，理解并掌握去括号法则是解题关键．去括号的原则即遇正不变，遇负变号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 8．一个多项式加上得，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减的应用，主要考查学生的计算能力．根据题意可知，这个多项式是，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】解：由题意可得， 这个多项式是： ， 故选：C 9．如图所示，是有理数，则式子化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：D． 10．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题） 11．若与的和是单项式，则m+n的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了同类项和合并同类项．与的和是单项式，则与是同类项，据此得到，求出,即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 12．如图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆面积列代数式，再化简即可． 本题主要考查了列代数式，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为： 13．（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． （1）根据去括号的方法，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号； （2）括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 14．若，，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，整理出是解答本题的关键． 将多项式展开整理得代入已知计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：2023． 15．一列火车原有人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有人，则上车的人数是 ． 【答案】人 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减化简计算解答即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：人． 16．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减混合运算，先将括号去掉，合并同类项，再将代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 17．已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查化简绝对值，整式加减运算，先判断式子的符号，然后化简绝对值，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：2． 18．若关于的多项式化简后不含项，则 【答案】4 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题意，先去括号，再合并同类项，根据不含项，则该项的系数为零，由此即可求解． 【详解】解： 由题意知，， 解得，， 故答案为：． 19．如图，长方形内放置三个相同的小长方形①②③，若小长方形①的周长为5，则图中④和⑤部分的周长和为 . 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，设小长方形的长为，宽为，由小长方形的周长得，分别列出第④⑤部分周长并用整式加法求和，代入计算，即可求解；能根据图形求出表示周长的整式，用整体代换的思想求解是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， ， 第④部分的周长为 ， 第⑤部分的周长为 ， 第④⑤部分的周长和为 ． 20．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，新定义，根据新定义得到，进而得到，再把所求式子先去括号，再合并同类项得到，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题） 21．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可解答； （2）先去括号，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 23．先化简，再求值． (1)，其中，； (2)已知：，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项化简，然后将、的值代入计算即可； （2）将、代入，再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： 24．①已知多项式． （1）若多项式的值与字母的取值无关，求的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值； ②有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：．    【答案】①（1），；（2），；② 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值． ①（1）先去括号、合并同类项，然后根据题意可得关于a、b的方程，进一步即可求出结果； （2）先去括号、合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子计算即可； ②根据有理数，，在数轴上的位置可判断且，再根据绝对值性质去绝对值符号，然后合并同类项即可． 【详解】解：①（1）∵ ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，； （2） , 当，时， 原式； ②由图可得，，且， ∴，，，， ． 25．小明正在做一个直径为d米的地球模型． (1)他想用一根铁丝围住赤道，大约需要铁丝的长度为______米； (2)如果要把这个模型的半径增加a米，要围住赤道需要增加的铁丝的长度为______米； (3)假设真为地球的赤道做一个铁丝箍，大约需要多长的铁丝？如图所示，如果想将铁丝箍所围圆的半径增加a米，那么需要增加多长的铁丝？（地球半径约为6370km）（写出解题过程） (4)比较（2）和（3）的结果，你发现了什么？为什么？______________________________ 【答案】(1) (2) (3)大约要千米长的铁丝，需增加米长的铁丝； (4)增加的长度与地球半径无关． 【分析】本题考查整式的加减，列代数式．掌握圆的周长公式是解题的关键． （1）大约需要多少的铁丝，即是求直径为d的圆的周长； （2）根据周长的计算公式，计算出半径增加后的模型的周长减去原来的周长即可求解； （3）根据地球的半径约为6370千米，计算出半径增加前与增加后的周长，然后相减即可； （4）通过（2）（3）的结果比较，无论球体的半径为多大时，当半径增加a米时，周长增加的长度都为2πa米． 【详解】（1）解：(米) 答：大约需要米长的铁丝； 故答案为：； （2）解：(米) 答：需增加米长的铁丝； 故答案为：； （3）解：①(千米)， ②(米) 答：大约要千米长的铁丝，需增加米长的铁丝； （4）解：通过（2）（3）的结果增加的长度与地球半径无关，增加的长度都是米． 答：增加的长度与地球半径无关． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$