专题强化03：直线方程题型归纳【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化03：直线方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 · 题型二：两直线平行和垂直问题 · 题型三：直线方程问题 · 题型四：直线定点问题 · 题型五：直线的交点坐标和距离问题 · 题型六：直线方程的对称问题 · 题型七：直线方程的综合问题 【题型探究】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：两直线平行和垂直问题 4．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：直线方程问题 7．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 9．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 题型四：直线定点问题 10．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 11．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 12．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 题型五：直线的交点坐标和距离问题 13．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 15．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 题型六：直线方程的对称问题 16．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型七：直线方程的综合问题 19．（24-25高二上·天津滨海新）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程． (3)求过点且与直线平行的直线方程． 20．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 21．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线过定点P. (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【专题训练】 一、单选题 22．（24-25高二上·河北邢台）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 24．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或. D．或 29．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知，，直线的斜率，直线的斜率，且，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．16 30．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 二、多选题 32．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C．不能表示过点且斜率为的直线方程 D．设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 33．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线与直线之间的距离为 B．直线在两坐标轴上的截距之和为6 C．将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为 D．若直线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率为 34．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线 的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是. D．点在直线上运动，，，则时的最大值是 35．（24-25高二上·吉林·阶段练习）对于直线l：，下列选项正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 36．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 三、填空题 37．（24-25高二上·山西·阶段练习）若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为 ． 38．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是 ． 39．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ． 40．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 41．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 四、解答题 42．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 43．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线经过点． (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点 ①若时，求此时直线的纵截距． ②若取最小值时，求此时直线的方程． 44．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为. (1)求顶点C的坐标； (2)求直线的方程. 45．（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的一般式方程； (2)求直线的一般式方程及点的坐标. 46．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：直线方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 · 题型二：两直线平行和垂直问题 · 题型三：直线方程问题 · 题型四：直线定点问题 · 题型五：直线的交点坐标和距离问题 · 题型六：直线方程的对称问题 · 题型七：直线方程的综合问题 【题型探究】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 2．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围. 【详解】 ，而， 故直线的取值范围为， 故选：A. 题型二：两直线平行和垂直问题 4．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设 ， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5．（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 题型三：直线方程问题 7．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点写出直线的方程，与中线所在直线方程联立即可求得点的坐标； （2）根据为边上的高写出的直线方程，设出点的坐标，则点的坐标满足的直线方程，由点的坐标表示出的中点，又点的坐标满足直线方程，从而解出点的坐标，进而写出直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为，从而的直线方程为：，即， 联立方程与中线所在直线方程，可得， 故点的坐标为. （2）因为为边上的高，所以的直线方程为：. 设点的坐标为，由点在直线上可得； 的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即， 故可得，即点坐标为. 则直线的斜率为，故直线方程为：. 9．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 (2) 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【详解】（1）由菱形的性质可知 ，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 题型四：直线定点问题 10．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 11．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 12．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线过定点且互相垂直可确定点轨迹为圆，将问题转化为圆外一点到圆上的动点距离的最小值，进而求得结果. 【详解】因为，所以， 又知直线，可得直线恒过定点， 直线，可得直线恒过定点， 所以点在以AB为直径的圆上，且， 所以半径为，圆心C为AB的中点，即， 即所在的圆的方程为：， 可得， 所以O到圆上点P的最小距离． 故答案为：． 题型五：直线的交点坐标和距离问题 13．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 14．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 15．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案. 【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 题型六：直线方程的对称问题 16．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 17．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 18．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 题型七：直线方程的综合问题 19．（24-25高二上·天津滨海新）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程． (3)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. （3）利用平行关系得出直线斜率，结合点斜式化简计算即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即； （2）因为是边上的高，结合上问结论可知：， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. （3）因为直线过点且与直线平行，则其斜率， 所以其方程为， 所以过点且与直线平行的直线方程为. 20．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点； （2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解. 【详解】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 21．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线过定点P. (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或或 (2)24， 【分析】（1）求出直线过原点和直线不过原点两种情况讨论求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在，且，设直线，求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 令，即，即. 若直线过原点，且过点， 所以直线的方程为，即. 若直线不过原点，可设直线方程为， 因为点在直线上，所以， 若，则， 所以直线的方程为， 若，则， 所以直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或或. （2）由题意可知，直线的斜率存在，且， 设直线， 令，则；令，则， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 所以直线. 【专题训练】 一、单选题 22．（24-25高二上·河北邢台）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 23．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 24．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 25．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点后可求的取值范围. 【详解】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 26．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 27．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象，求出端点处的斜率，从而求出函数的斜率的取值范围即可. 【详解】 直线恒过定点， 直线过点时，设直线的斜率为， 所以， 直线过点时，设直线的斜率为， 所以， 要使直线与线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为. 故选：. 28．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或. D．或 【答案】C 【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 29．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知，，直线的斜率，直线的斜率，且，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．16 【答案】A 【分析】根据两直线垂直可得斜率之积为，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率，且， 所以， 所以， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 30．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 31．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 二、多选题 32．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C．不能表示过点且斜率为的直线方程 D．设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用直线倾斜角、斜率及斜率坐标运算逐项分析判断即得. 【详解】对于A，任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率，A正确； 对于B，若直线的斜率为，此时的倾斜角为，B错误； 对于C，由，得不能表示经过点的方程，C正确； 对于D，直线过定点，直线的斜率，直线的斜率， 依题意，或，解得或，D错误. 故选：AC.    33．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线与直线之间的距离为 B．直线在两坐标轴上的截距之和为6 C．将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为 D．若直线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】应用平行直线的距离公式计算判断A,根据直线的两轴截距计算判断B,应用旋转得出倾斜角求出斜率判断C,根据平移规则得出直线再应用待定系数法计算参数得出斜率判断D. 【详解】直线与直线之间的距离，故A正确； 对于直线0，令，得，令得，所以直线在两坐标轴上的截距之和为2，故B错误； 的倾斜角为，绕原点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角为，斜率为，故C正确； 设直线的方程为，向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得， 即与是同一条直线，所以，所以，故D正确. 故选:ACD. 34．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线 的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是. D．点在直线上运动，，，则时的最大值是 【答案】BD 【分析】A.讨论直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；B.根据一般式直线方程求直线的斜率，再根据三角函数求斜率的范围，即可求解倾斜角的范围；C.根据平行线间距离公式，即可求解；D.利用对称性，结合三点共线，即可求解. 【详解】A.过点，且过点的直线方程为， 若直线不过原点，设，，得，即， 所以满足条件的直线方程为或，故A错误； B. 直线的斜率，因为， 所以，则倾斜角的范围是，故B正确； C.直线，即与直线之间的距离，故C错误； D.设点关于的对称点为， 则，解得：，即， 如图，，当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为，故D正确.    故选：BD 35．（24-25高二上·吉林·阶段练习）对于直线l：，下列选项正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】求出过的定点判断A，当时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据的取值情况判断C；求出原点到定点的距离即判断D. 【详解】可变形为，由得所以直线l恒过点，故A正确； 当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确； 当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确； 因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD 36．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点，故A选项正确； 又因为：，即恒过定点， 由 和, 满足， 所以, 可得, 故B选项正确； 所以, 故C选项正确； 因为, 设为锐角, 则, ， 所以, 所以当时, 取最大值, 故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 37．（24-25高二上·山西·阶段练习）若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线与直线垂直与斜率的关系得到直线的斜率，再结合其截距即可得到答案. 【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 又直线在轴上的截距为4，即直线过点， 由点斜式可得直线，化简得. 故答案为：. 38．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】/ 【分析】先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为 . 故答案为： 39．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】设对称点坐标，根据对称性建立方程计算可得第一空，取上一点得出对称点结合对称性及点斜式计算即可. 【详解】设点关于的对称点为，则的中点，且， 所以，解方程得，即； 取上一点，易知关于对称的点为， 设直线关于直线对称的直线斜率为，则， 所以该直线过点，其方程为，整理得. 故答案为： 40．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答案. 【详解】由，整理可得， 令，解得，则直线过定点， 易知当时，原点到直线的距离最大，显然此时斜率都存在， 直线的斜率，直线的斜率， 由，则，解得. 故答案为：. 41．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出关于的对称点为，进而得到的最小值为 【详解】设关于的对称点为， 则解得，即． 因为， 所以的最小值为． 故答案为： 四、解答题 42．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. 【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 43．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线经过点． (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点 ①若时，求此时直线的纵截距． ②若取最小值时，求此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或； 【分析】（1）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果； （2）①根据截距式结合三角形面积建立方程计算即可；②设出直线点斜式方程，利用基本不等式及三角形面积公式计算即可求出结果. 【详解】（1）因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得， 此时直线为 所以直线的方程为或. （2）①由题意可设此时直线方程为，即此时， 则，且，解方程组得， 即此时该直线的纵截距为或； ②由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到， 由题知，，得到， ， 当且仅当，即时取等号， 此时直线方程为. 44．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为. (1)求顶点C的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求得的斜率，再求其方程，将其与的方程联立求解即得C的坐标； （2）设点，求得，利用点在上和的方程联立求出点坐标，最后结合点C即可求得直线的方程. 【详解】（1）因为，由，则， 又，利用直线的点斜式方程，可得直线的方程为：， 即， 由解得，故得点； （2）设点，因点是的中点，则， 又点在上，即，即， 因的方程为，故有， 由，可得， 又，故直线的方程为: ， 即直线的方程为：. 45．（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的一般式方程； (2)求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】(1) (2)    【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【详解】（1）∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 （2）∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 46．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依次求出圆心和半径即可得解； （2）由题意列出方程组即可求解； （3），当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m. 【详解】（1），圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； （2）由，得， 由， ∴直线l过定点； （3）∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$