第13讲 一元一次方程及其解法（2考点7题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第13讲 一元一次方程及其解法 课程标准 学习目标 1 理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的形式特点。 2 学会运用等式的基本性质求解一元一次方程，掌握解方程的基本步骤。 3 能够将实际问题转化为一元一次方程，通过解方程解决实际问题。 1. 明确一元一次方程的定义、标准形式，熟悉方程的解的概念。 2. 熟练运用等式性质解一元一次方程，提高运算能力和逻辑思维能力。 3. 体会一元一次方程在生活中的应用价值，培养数学应用意识和解决问题的积极性。 知识点一、一元一次方程的概念 1.一元一次方程的定义：方程，，，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 知识点二、解一元一次方程 1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： （1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解. （3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确. 2.解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为. （2）解一元一次方程的步骤如下： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 题型01 利用一元一次方程的概念求字母的值 1．若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 2．已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．3或1 B．1 C．3 D．0 3．若方程（k﹣2）x|k|﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，k的值为　　． 4．关于x的方程（m+2）x|m|﹣1﹣3＝9是一元一次方程，求m的值． 题型02 构造一元一次方程求值 1．x取什么值时，代数式5（x+2）的值比代数式2（1﹣3x）的值小3？ 2．当x取什么值时，代数式的值与1的值相等？ 3．当x取什么值时，代数式与的差等于5． 1．解方程： （1）[x（x﹣1）]（x+2）． （2）7． 2．若a、b、c、d是正数，解方程4． 题型04 通过方程的解的关系求值 1．m为何值时，关于x的方程3x﹣m＝2x+1的解是4＝2x﹣1的解的2倍． 2．若关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5，求m的值． 3．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 题型05 关于一元一次方程的错解问题 1．小明解方程，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的﹣3没有乘6，由此求得的解为x＝2，试求a的值，并求出原方程的解． 2．小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解． 3．老师在批改嘉淇作业时发现，嘉淇在解方程时，把“2﹣x”抄成了“x﹣2”，解得x＝5，而且“■”处的数字也模糊不清了． （1）求“■”处的数字； （2）请你解出原方程正确的解． 题型06 关于一元一次方程的整数解问题 1．已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 2．若关于x的方程（k﹣2024）x﹣2022＝6﹣2024（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（　　） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 3．若关于x的一元一次方程的解是正整数，其中m是正整数．求m的值． 题型07 关于一元一次方程的新定义问题 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 2．【阅读材料】规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和谐方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2， 而﹣2＝﹣4+2， 所以方程2x＝﹣4为“和谐方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和谐方程”的有 　　；（填写序号） ①4x＝﹣2； ②； ③ （2）已知关于x的一元一次方程6x＝m是“和谐方程”，求m的值； （3）已知关于x的一元一次方程4x＝m+n是“和谐方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 3．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”， （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； 1．已知方程（k﹣1）x|k|+1＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D． 2．解方程，去分母后正确的是（　　） A．3（x﹣1）＝1﹣（2x+1） B．3（x﹣1）＝6﹣（2x+1） C．3x﹣1＝1﹣（2x+1） D．3（x﹣1）＝6﹣2x+1 3．已知2是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 4．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（　　） ①关于x的方程ax+b＝0可能是一元一次方程； ②关于x的方程ax＝ab的解为x＝b； ③当a，b（a≠0）互为相反数时，关于x的方程ax+b＝0的解是x＝1． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 5．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 6．已知关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣1，则a的值为 　 　． 7．若方程（k﹣1）x|k|+4＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为 　 　． 8．使方程（k﹣2023）x＝3600﹣2024x的解为整数的整数k有 　 　个． 9．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{2，﹣4}＝﹣4．则方程min{x，﹣x}＝3x+4的解为 　 　． 10．小军同学在解关于x的方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为 　 　． 11．解方程： （1）0.3x﹣0.25x＝21.5； （2）． 12．当k为何值时，关于x的方程8x＝7k+6x的解比关于x的方程k（2+x）＝x（k+2）的解大6． 13．如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程2x﹣4＝0是方程x﹣1＝0的“漂移方程”． （1）判断方程4x+3＝6x是否为方程2x﹣1＝0的“漂移方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的方程2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3）的“漂移方程”，求m的值． 14．定义一种新运算“△”，其规则为x△y＝xy﹣x+y． 例如：3△2＝3×2﹣3+2＝5． （1）计算4△5的值； （2）若（2m）△3＝m△4，求m的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 15．小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确求出方程的解． 16．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．请根据上述规定解答下列问题： （1）判断3x＝4.5是否为差解方程，并说明理由． （2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一元一次方程及其解法 课程标准 学习目标 1 理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的形式特点。 2 学会运用等式的基本性质求解一元一次方程，掌握解方程的基本步骤。 3 能够将实际问题转化为一元一次方程，通过解方程解决实际问题。 1. 明确一元一次方程的定义、标准形式，熟悉方程的解的概念。 2. 熟练运用等式性质解一元一次方程，提高运算能力和逻辑思维能力。 3. 体会一元一次方程在生活中的应用价值，培养数学应用意识和解决问题的积极性。 知识点一、一元一次方程的概念 1.一元一次方程的定义：方程，，，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 知识点二、解一元一次方程 1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： （1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解. （3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确. 2.解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为. （2）解一元一次方程的步骤如下： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 题型01 利用一元一次方程的概念求字母的值 1．若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程是一元一次方程”，即可解答． 【解答】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程， ∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0， 解得：， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解答本题的关键． 2．已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．3或1 B．1 C．3 D．0 【分析】根据一元一次方程的定义，得到|a﹣2|＝1和a﹣3≠0，解之即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： |a﹣2|＝1， 解得a＝3或a＝1， 因为a﹣3≠0， 所以a≠3， 综上可知：a＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 3．若方程（k﹣2）x|k|﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，k的值为　　． 【分析】依据一元一次方程的定义得到k﹣2≠0，|k|﹣1＝1，从而可求得k的取值． 【解答】解：∵方程（k﹣2）x|k|﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程， ∴k﹣2≠0，|k|﹣1＝1． 解得：k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 4．关于x的方程（m+2）x|m|﹣1﹣3＝9是一元一次方程，求m的值． 【分析】由一次方程的定义，列关于m的方程，通过求解即可得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x|m|−1−3＝9是一元一次方程， ∴|m|−1＝1且m+2≠0， 由|m|−1＝1得：m＝−2或m＝2， ∵m+2≠0，即m≠−2， ∴m＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解． 题型02 构造一元一次方程求值 1．x取什么值时，代数式5（x+2）的值比代数式2（1﹣3x）的值小3？ 【分析】根据题意列出方程，求解即可． 【解答】解：由题意得，5（x+2）﹣2（1﹣3x）＝﹣3， 整理得，11x＝﹣3﹣8， 解得x＝﹣1， 当x﹣1时，代数式5（x+2）的值比代数式2（1﹣3x）的值小3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解法，是基础知识要熟练掌握． 2．当x取什么值时，代数式的值与1的值相等？ 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得：1， 去分母得：6x+9＝6﹣2x+2， 移项合并得：8x＝﹣1， 解得：x． 【点评】此题考查了解二元一次方程，列出正确的方程是解本题的关键． 3．当x取什么值时，代数式与的差等于5． 【分析】根据题意列出关于x的方程，求出x的值即可． 【解答】解：由题意得，5， 去分母得，5（x+3）﹣2（x﹣7）＝50， 去括号得，5x+15﹣2x+14＝50， 移项得，5x﹣2x＝50﹣15﹣14， 合并同类项得，3x＝21， 系数化为1得，x＝7． 【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键． 题型03 解复杂的方程 1．解方程： （1）[x（x﹣1）]（x+2）． （2）7． 【分析】（1）先去中括号，再去小括号然后移项后把x的系数化为1即可； （2）根据分式的性质化简方程，再按照解方程的步骤解方程即可． 【解答】解：（1）[x（x﹣1）]（x+2）， x（x﹣1）x， xxx， 6x﹣3x+3＝8x+16， ∴x； （2）7． 整理得：70+15x﹣10＝30﹣100x， ∴115x＝﹣30， ∴x． 【点评】本题考查了解一元一次方程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 2．若a、b、c、d是正数，解方程4． 【分析】将4移项到方程左边变成﹣4，每项都﹣1，然后通分，利用乘法分配律，把（x﹣a﹣b﹣c﹣d）写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得x﹣a﹣b﹣c﹣d＝0，求出x即可． 【解答】解：原方程即：1111＝0， ∴0， ∴（x﹣a﹣b﹣c﹣d）（）＝0， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴x﹣a﹣b﹣c﹣d＝0， ∴x＝a+b+c+d． 【点评】本题考查了一元一次方程的解法，有一定的技巧性，每项都减1进行通分是解题的关键． 题型04 通过方程的解的关系求值 1．m为何值时，关于x的方程3x﹣m＝2x+1的解是4＝2x﹣1的解的2倍． 【分析】先求出方程4＝2x﹣1的解，进而得到方程3x﹣m＝2x+1的解，再把解代入方程即可求出m的值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【解答】解：由方程4＝2x﹣1得，， ∵方程3x﹣m＝2x+1的解是4＝2x﹣1的解的2倍， ∴方程3x﹣m＝2x+1的解为x＝5， 把x＝5代入方程3x﹣m＝2x+1得，15﹣m＝10+1， 解得m＝4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 2．若关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5，求m的值． 【分析】先求出第二次方程的解是x＝4，再求出第一个方程的解是x＝1，把x＝1代入第一个方程，再求出m即可． 【解答】解：解方程2x﹣3得：x＝4， ∵关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5， ∴方程x+m﹣3＝0的解是x＝5﹣4＝1， 把x＝1代入方程x+m﹣3＝0得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能求出第二个方程的解是x＝1是解此题的关键． 3．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可； （2）把m的值代入两个方程的解计算即可． 【解答】解：（1）由x﹣2m＝﹣3x+4得：xm+1， 依题意有：m+1+2﹣m＝0， 解得：m＝6； （2）由m＝6， 解得方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x6+1＝3+1＝4， 解得方程2﹣m＝x的解为x＝2﹣6＝﹣4． 【点评】本题考查了同解方程的问题，先求出两个方程的解的表达式，然后根据互为相反数的和等于0列式求出m的值是解题的关键． 题型05 关于一元一次方程的错解问题 1．小明解方程，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的﹣3没有乘6，由此求得的解为x＝2，试求a的值，并求出原方程的解． 【分析】先根据错误的做法：“方程右边的﹣3没有乘以6”而得到x＝2，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解． 【解答】解：去分母时方程右边的﹣3漏乘了6， 此时变形为2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣3， 将x＝2代入，得2（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣3， 解得：a＝1， 则原方程应为：， 去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣18， 去括号得：4x﹣2＝3x+3﹣18， 解得：x＝﹣13． 【点评】本题主要考查解方程，熟悉相关的解题步骤是解题的关键． 2．小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解． 【分析】依题意得方程的解为x＝2，根据一元一次方程根的定义可求出a＝2，进而得原方程为，然后再解原方程求出x即可． 【解答】解：依题意得：方程的解为x＝2， ∴， ∴， ∴2+a＝4， ∴a＝2， ∴原方程为， 去分母，方程两边同时乘以6，得：3（x﹣2）﹣6＝2（x+1）， 去括号，得：3x﹣6﹣6＝2x+2， 移项，得：3x﹣2x＝2+6+6， 合并同类项，得：x＝14． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键． 3．老师在批改嘉淇作业时发现，嘉淇在解方程时，把“2﹣x”抄成了“x﹣2”，解得x＝5，而且“■”处的数字也模糊不清了． （1）求“■”处的数字； （2）请你解出原方程正确的解． 【分析】（1）将x＝5代入程中，进而求出“■”处的数字； （2）将（1）中■的值代入原方程，求解即可． 【解答】解：（1）根据题意将x＝5代入1＝■中， 得1＝■， 解得■＝1， ∴“■”处的数字为1； （2）将■＝1代入原方程得，1＝1， 去分母得，3（x+1）﹣6＝6+2（2﹣x）， 去括号得，3x+3﹣6＝6﹣2x+4， 移项合并得，5x＝13， 系数化为1得，x． 【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键． 题型06 关于一元一次方程的整数解问题 1．已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案． 【解答】解：， 去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6， 去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6， 移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4， 将系数化为1，得， ∵是非负整数解， ∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4， ∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数， 则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 2．若关于x的方程（k﹣2024）x﹣2022＝6﹣2024（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（　　） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【分析】求方程的解，根据其解是整数，确定k的可能值即可． 【解答】解：解方程（k﹣2024）x﹣2022＝6﹣2024（x+1），得x， ∵是整数， ∴k＝±1或±2或±4， ∴整数k的取值个数是4． 故选：A． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是本题的关键． 3．若关于x的一元一次方程的解是正整数，其中m是正整数．求m的值． 【分析】先解一元一次方程，根据方程的解是正整数，m是正整数，即可求解． 【解答】解：去分母，得3x﹣1+2m＝10， 移项、合并同类项，得3x＝11﹣2m， 系数化为1，得． 又因为m是正整数，且方程的解是正整数， 所以m＝1或m＝4． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程是关键． 题型07 关于一元一次方程的新定义问题 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到y+1的值，从而求得方程的解． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”，理由： 解方程4x﹣（x+5）＝1得： x＝2， 方程﹣2y﹣y＝3的解为： y＝﹣1． ∵x+y＝2﹣1＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”； （2）关于x的方程3x+m＝0的解为：x， 方程4x﹣2＝﹣x+10的解为：x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝﹣x+10是“美好方程”， ∴， ∴m＝9； （3）方程的解为：x＝﹣2022， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：x＝2023． ∵关于y的方程就是：， ∴y+1＝x＝2023， ∴y＝2022． ∴关于y的方程的解为：y＝2022． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 2．【阅读材料】规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和谐方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2， 而﹣2＝﹣4+2， 所以方程2x＝﹣4为“和谐方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和谐方程”的有 　　；（填写序号） ①4x＝﹣2； ②； ③ （2）已知关于x的一元一次方程6x＝m是“和谐方程”，求m的值； （3）已知关于x的一元一次方程4x＝m+n是“和谐方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 【分析】（1）分别求出三个方程的解，再由“和谐方程”的定义判断即可； （2）由“和谐方程”的定义解答即可； （3）由“和谐方程”的定义及方程的解的定义解答即可． 【解答】解：（1）①方程4x＝﹣2的解是x，﹣2+4＝2，即2+4，所以方程4x＝﹣2不是“和谐方程”； ②方程的解是，，即，所以方程是“和谐方程”； ③方程的解是x＝﹣1，，即，所以方程不是“和谐方程”； 故答案为：②； （2）若关于x的一元一次方程6x＝m是“和谐方程”， 则， 解得m； （3）若关于x的一元一次方程4x＝m+n是“和谐方程”， 则， ∵它的解是x＝n， ∴， ∴m＝3n， ∴， 解得， ∴m＝﹣4． 【点评】本题考查了新定义，一元一次方程的解，理解“和谐方程”的定义是解题的关键． 3．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”， （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值； 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【解答】解：（1）方程2x＝5x﹣12的解是x＝4； 方程3（y﹣1）﹣y＝1的解是y＝2． 根据题意可得|x﹣y|＝|4﹣2|＝2， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值方程，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值方程的解法，理解新定义是解题的关键． 1．已知方程（k﹣1）x|k|+1＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D． 【分析】根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出k的值，然后再求解方程即可． 【解答】解：根据一元一次方程的定义可知，|k|＝1且k﹣1≠0， 解得：k＝﹣1， 原方程为：﹣2x+1＝0， 解得：x， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键． 2．解方程，去分母后正确的是（　　） A．3（x﹣1）＝1﹣（2x+1） B．3（x﹣1）＝6﹣（2x+1） C．3x﹣1＝1﹣（2x+1） D．3（x﹣1）＝6﹣2x+1 【分析】根据等式的法则解答即可． 【解答】解：， 两边同时乘以6，去分母得：3（x﹣1）＝6﹣（2x+1）， 故选：B． 【点评】本题考查了解含分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握去分母的法则等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数． 3．已知2是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【分析】把x＝2代入方程得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：∵2是关于x的方程的解， ∴， 解得：， ∴a的值为． 故选：B． 【点评】本题考查方程的解（能使方程左右两边相等的未知数的值）和解一元一次方程，解题的关键是代入x值列出关于a的方程， 4．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（　　） ①关于x的方程ax+b＝0可能是一元一次方程； ②关于x的方程ax＝ab的解为x＝b； ③当a，b（a≠0）互为相反数时，关于x的方程ax+b＝0的解是x＝1． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【分析】根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解． 【解答】解：①当a≠0时，方程ax+b＝0是一元一次方程，故原说法正确； ②当a≠0，b≠0时，方程ax＝ab的解为x＝b，故原说法错误； ③当a，b（a≠0）互为相反数，则a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴方程ax+b＝0变形为﹣bx+b＝0， ∴x＝1，故原说法正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 5．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 【分析】根据“*”的定义，分别当x≥3和x＜3时写出对应的方程并求解即可． 【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5； 若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）． 综上，x＝5， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次方程等，熟练掌握求解一元一次方程的方法是本题的关键． 6．已知关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣1，则a的值为 　6　． 【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出a的值． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：﹣2+a﹣4＝0， 解得：a＝6， 故答案为：6． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 7．若方程（k﹣1）x|k|+4＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为 　﹣1　． 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【解答】解：∵方程（k﹣1）x|k|+4＝0是关于x的一元一次方程， ∴k﹣1≠0且|k|＝1， ∴k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． 8．使方程（k﹣2023）x＝3600﹣2024x的解为整数的整数k有 　90　个． 【分析】依据题意，根据一元一次方程的整数解算出即可． 【解答】解：把方程变形为：（k+1）x＝3600， ∵x、k都是整数， ∴k+1是3600的约数． 又∵3600＝24×32×52， ∴3600的约数有90个． ∴k的值共有90个． 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的整数解是关键． 9．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{2，﹣4}＝﹣4．则方程min{x，﹣x}＝3x+4的解为 　x＝﹣2　． 【分析】根据题意，当x≥0时，﹣x＝3x+4；当x＜0时，x＝3x+4，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【解答】解：当x≥0时，x≥﹣x， ∵min{x，﹣x}＝3x+4， ∴﹣x＝3x+4， 解得x＝﹣1（﹣1＜0，舍去）； 当x＜0时，x＜﹣x， ∵min{x，﹣x}＝3x+4， ∴x＝3x+4， 解得x＝﹣2． 综上，可得方程min{x，﹣x}＝3x+4的解为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是注意分两种情况． 10．小军同学在解关于x的方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为 　x＝2　． 【分析】由题意可知x＝3是方程2x﹣1＝x+m﹣1的解，然后可求得m的值，然后将m的值代入原方程求解即可． 【解答】解：将x＝3代入2x﹣1＝x+m﹣1得：2×3﹣1＝3+m﹣1， 解得：m＝3， ∴原方程为， 去分母得：2x﹣1＝x+3﹣2， 移项合并得：x＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 11．解方程： （1）0.3x﹣0.25x＝21.5； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：（1）0.3x﹣0.25x＝21.5， 合并同类项，得0.05x＝21.5， 将系数化为1，得x＝430； （2）， 去括号，得x+10＝3x， 移项，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 12．当k为何值时，关于x的方程8x＝7k+6x的解比关于x的方程k（2+x）＝x（k+2）的解大6． 【分析】通过解关于x的方程8x＝7k+6x、k（2+x）＝x（k+2），分别求得它们的解，然后依题意列出关于k的方程，求出k的值即可． 【解答】解方程8x＝7k+6x的解是：x； 方程k（2+x）＝x（k+2）的解是：x＝k， 依题意，得k＝6， 解得，k． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 13．如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程2x﹣4＝0是方程x﹣1＝0的“漂移方程”． （1）判断方程4x+3＝6x是否为方程2x﹣1＝0的“漂移方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的方程2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3）的“漂移方程”，求m的值． 【分析】（1）求出两个方程的解，利用“漂移方程”的定义判定即可． （2）分别表示出两个方程的解，根据“漂移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【解答】解：（1）方程①4x+3＝6x是方程②2x﹣1＝0的漂移方程，理由如下： 解方程①得，解方程②得， ∴， ∴方程4x+3＝6x是方程2x﹣1＝0的漂移方程； （2）2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3），解得x＝3， ∵方程是关于x的方程2（x﹣4）﹣1＝3﹣（x+3）的“漂移方程”， ∴方程的解为x＝4， 把x＝4代入，得， 解得m＝4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“漂移方程”的定义是解题的关键． 14．定义一种新运算“△”，其规则为x△y＝xy﹣x+y． 例如：3△2＝3×2﹣3+2＝5． （1）计算4△5的值； （2）若（2m）△3＝m△4，求m的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义可得关于m的一元一次方程，解方程即可； （3）根据题中的新定义可知“△”运算不满足交换律，举例说明即可． 【解答】解：（1）4△5＝4×5﹣4+5＝21； （2）（2m）△3＝m△4， 故6m﹣2m+3＝4m﹣m+4， 解得：m＝1； （3）“△”运算不满足交换律，举例如下： 2△3＝2×3﹣2+3＝7，3△2＝3×2﹣3+2＝5，故2△3≠3△2． 【点评】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确求出方程的解． 【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可． 【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4）， 2（2x﹣1）+1＝5（x+a）， 把x＝4代入得：a＝﹣1， 将a＝﹣1代入原方程得：1， 去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5， 移项合并得：﹣x＝﹣13， 解得：x＝13． 【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． 16．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．请根据上述规定解答下列问题： （1）判断3x＝4.5是否为差解方程，并说明理由． （2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值． 【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解恰好相等，所以是差解方程； （2）解方程，根据差解方程的定义列式，解出即可． 【解答】解：（1）∵3x＝4.5， ∴x＝1.5， ∵4.5﹣3＝1.5， ∴3x＝4.5是差解方程； （2）5x＝m+1， x， ∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程， ∴m+1﹣5， 解得：m． 【点评】本题考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，解好本题是做好两件事：①熟练掌握一元一次方程的解法；②明确差解方程的定义，即b﹣a＝方程的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$